Logica conjuntos

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    29-Jul-2015

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1. Lgica, conjuntos, o relaciones y funciones Alvaro Prez Raposo e Universidad Autnoma de San Luis Potos o Universidad Politcnica de Madrid ePublicaciones Electrnicas o Sociedad Matemtica Mexicana a 2. A la memoria de mi madre, Cecilia Raposo Llobet. 3. Prlogo o Este libro es una exposicin muy elemental de los tpicos fundamentales de o o las matemticas que anuncia el t a tulo: lgica, conjuntos, relaciones y funciones. o Mi aportacin es tener un libro en espaol, elemental y riguroso. Todos los o n resultados enunciados tienen su demostracin y sigo el esquema habitual de una o teor matemtica de axiomas, deniciones y teoremas, todos ellos entrelazados a a por las reglas de la lgica. La otra caracter o stica que he buscado al escribirlo es la brevedad. Se ha conseguido un libro con un contenido importante pero expuesto en pocas pginas. A pesar de ello no carece de explicaciones o ejemplos all donde a se han cre necesarios. do El primer cap tulo trata de lgica. Es una exposicin de los principios de o o la lgica que se usan en matemticas para desarrollar sus teor o a as. Partiendo de la denicin de variable lgica, se llega hasta el concepto de razonamiento o o lgico, que es el que permite demostrar teoremas. En este cap o tulo todas las demostraciones de resultados se han hecho mediante tablas. Es un mtodo que se e puede evitar en algunos casos, pero es ms seguro cuando an no se ha expuesto a u en qu consiste un razonamiento lgico. Desde el punto de vista del primer e o cap tulo, podemos pensar en un libro de lgica (cap o tulo 1) con un ejemplo, la teor de conjuntos, desarrollado en detalle (cap a tulos 2, 3 y 4). El segundo cap tulo expone los axiomas y deniciones iniciales de la teor a de conjuntos, adems del lgebra de las operaciones habituales de complemena a to, unin e interseccin. He optado por un desarrollo axiomtico riguroso de la o o a teor Sin embargo no uso el sistema completo de axiomas de Zermelo y Fraena. kel, sino una simplicacin del mismo reducida a cinco axiomas. La reduccin o o es posible porque no distingo entre clases y conjuntos ni entro en el terreno de los conjuntos ordinales ni de los cardinales, por lo cual la exposicin es elemeno tal. A partir de los axiomas y las deniciones introducidas se van demostrando teoremas segn las reglas de inferencia lgica expuestas en el cap u o tulo anterior. El tercer cap tulo trata de relaciones, que son la forma de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto. En particular se analizan las relaciones de equivalencia y las relaciones de orden parcial y total. El cuarto cap tulo est dedicado a la idea de funcin que, junto con la de a o conjunto, es el concepto ms fruct a fero en matemticas. Este cap a tulo describe todo el material necesario para llegar a dos teoremas: el que caracteriza las funciones invertibles como las biyectivas y el de descomposicin cannica de o o una funcin. o iii 4. iv PROLOGODesde el punto de vista de estos tres ultimos cap tulos, el libro se puede ver como un libro de teor elemental de conjuntos con un cap a tulo previo de lgica. o Bajo cualquiera de las dos interpretaciones, se trata de un libro de texto dirigido a alumnos de primer curso de matemticas, f a sica, ingenier o, en gea neral, a cualquier estudiante que desee adquirir soltura en el manejo de estos conceptos, que son herramientas comunes en los cursos de clculo y lgebra. a a No est pensado como un libro de autoestudio, sino como un libro para seguir a con la gu de un profesor. Cada cap a tulo contiene, al nal, una lista de ejercicios propuestos al lector que tienen la misin de analizar ejemplos concretos o de la teor revisada. Tambin hay algunos ejercicios en los que se ampl sta a e a e pues se propone demostrar algn resultado. Los ejercicios considerados de mayor u dicultad se han marcado con un asterisco. No presupongo conocimientos de lgica o conjuntos en el lector. Sin embargo o s uso propiedades de los nmeros naturales, enteros, racionales, reales y comple u jos, aunque nunca en el desarrollo de la teor sino en los ejemplos o en algunos a, ejercicios. Las demostraciones de los teoremas se concluyen con el s mbolo . Quiero aprovechar estas l neas para expresar mi agradecimiento a la Sociedad Matemtica Mexicana por la publicacin de este libro en su seccin de a o o publicaciones electrnicas, cuya iniciativa de poner los libros a disposicin de o o los lectores interesados de forma completamente gratuita me parece acertad sima. Asimismo, agradezco a los revisores las sugerencias que hicieron pues han contribuido a mejorar la presentacin de este texto. Por ultimo agradezco a los o estudiantes de la Facultad de Ciencias de la Universidad Autnoma de San Luis o Potos el buen recibimiento que dieron a una versin previa de este libro pues o con ello me animaron a completar esta versin denitiva, muy mejorada con la o experiencia de la interaccin con ellos. o 5. Indice general Prlogo oIII1. Lgica o 1.1. Proposiciones y variables lgicas o 1.2. Conectores de proposiciones . . . 1.3. Leyes del lgebra proposicional . a 1.4. Cuanticadores . . . . . . . . . . 1.5. El razonamiento lgico . . . . . . o 1.6. Axiomas, deniciones y teoremas. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .1 1 3 8 13 17 192. Conjuntos 31 2.1. Axiomas y primeras deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2. Complemento, unin e interseccin . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 o o 2.3. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. Relaciones 47 3.1. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2. Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3. Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4. Funciones 4.1. Denicin de funcin . . . . . . . . . . . . o o 4.2. Funcin inyectiva, suprayectiva y biyectiva o 4.3. Funcin inversa . . . . . . . . . . . . . . . o 4.4. Descomposicin cannica de una funcin . o o o. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .67 67 72 75 77Lista de s mbolos87Bibliograf a89 Indice alfabtico e91v 6. vi INDICE GENERAL 7. Cap tulo 1Lgica o Este primer cap tulo es una breve introduccin a la lgica, que es la herrao o mienta que usan las matemticas para desarrollarse. El objetivo del mismo es a describir en qu consiste una teor matemtica. Para lograrlo, primero hay que e a a exponer sucintamente las reglas de la lgica de proposiciones, denir con precio sin qu es un razonamiento lgico y, por ultimo, explicar en qu consiste una o e o e teor matemtica (brevemente, una serie de axiomas, deniciones y teoremas a a relacionados entre s mediante argumentos lgicos). o La lgica es un esquema de reglas que permite deducir verdades a partir de o otras verdades. El medio que lleva de las primeras verdades a las otras deducidas se llama razonamiento lgico. La lgica estudia, precisamente, los razonamientos o o lgicos, estableciendo cundo un razonamiento es vlido, independientemente o a a del contenido de las verdades que se enuncien. Slo le interesan las manipulao ciones que se hacen con los enunciados, no su contenido. Todos los resultados mostrados en este cap tulo se prueban rigurosamente. Sin embargo, no se usa para ello el razonamiento lgico, que se dene en la o seccin 1.5, sino el simple y ecaz camino de las tablas introducidas en la seccin o o 1.1. Por supuesto, algunos resultados s se podr demostrar a partir de otros an anteriores mediante las leyes del lgebra de proposiciones, que se exponen en la a seccin 1.3. Pero hemos preferido dejar todo el cap o tulo en manos de las tablas, pues en el resto del libro son los argumentos lgicos los protagonistas. o Por contra, aunque hasta la seccin 1.6 no hablamos de axiomas, deniciones o y teoremas en las teor matemticas, desde el principio llamamos teoremas a as a los resultados que vayamos obteniendo.1.1.Proposiciones y variables lgicas oPuesto que la lgica busca deducir verdades a partir de otras verdades, su o materia prima son los enunciados de esas verdades. Eso es lo que llamamos proposiciones: un enunciado que se puede juzgar como verdadero o falso. 1.1 Ejemplo. El enunciado 2 es un nmero racional es una proposicin, u o 1 8. 2 CAP ITULO 1. LOGICApues se puede juzgar que es falso. Pero los enunciados los nmeros enteros son u interesantes o los nmeros complejos son ms complicados que los reales no u a son proposiciones, pues no pueden ser juzgados objetivamente. Deliberadamente no escribimos una denicin formal del concepto de propoo sicin en nuestra teor por dos razones. Primero, en mucho casos es cuestin de o a o opinin si un enunciado se puede juzgar como verdadero o falso, o simplemente, o el juicio no ser unnime. La segunda razn es que las proposiciones no son a a o parte de la lgica. Son los ladrillos con los que se construyen los razonamieno tos lgicos. Sin embargo, no son parte de la lgica. La lgica se ocupa de las o o o relaciones entre las proposiciones, no de su contenido. No nos interesa, pues, estudiar cada proposicin en particular. Por ello deo bemos usar s mbolos que representen proposiciones cualesquiera y estudiar las relaciones entre estos s mbolos independientemente de su contenido particular. Utilizaremos letras latinas minsculas, especialmente p, q, r, s, t . . . para repreu sentar proposiciones cualesquiera. La unica caracter stica que nos recuerda que representan proposiciones es que estos s mbolos pueden tener dos valores: verdadero o falso. Y como representan proposiciones cualesquiera, pueden tomar cualquiera de los dos. Estos s mbolos no son proposiciones sino variables, y s damos una denicin formal de ellos; la primera del libro. o 1.2 Denicin. Una variable lgica o variable proposicional es un s o o mbolo que puede tomar dos valores: verdadero (representado por 1) o falso (repres