BAB 4. PROBABILITAS DASAR dan DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT

  • Published on
    16-Jan-2017

  • View
    65

  • Download
    3

Embed Size (px)

Transcript

<p>PowerPoint Presentation</p> <p>PROBABILITAS DASARdanDISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRITBAB 4</p> <p>TOPIK PEMBAHASANKonsep Dasar Probabilitas- Ruang sampel dan peristiwa, Probabilitas sederhana, Probabilitas gabungan. Probabilitas Bersyarat- Independensi statistik, Probabilitas marjinal.Teorema BayesProbabilitas variabel acak diskritKovarians dan aplikasinya dalam keuanganDistribusi binomialDistribusi poissonDistribusi hipergeometrik</p> <p>Konsep Dasar ProbabilitasProbabilitas adalah peluang kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.Rumus : P (E) = X/NP: ProbabilitasE: Event (Kejadian)X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadiContoh : sebuah dadu untuk keluar mata lima saat pelemparandadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknyapermukaan dadu adalah 6)</p> <p>Konsep Dasar ProbabilitasRuang sampel (S) :Merupakan gabungan dari semua kemungkinan dalam suatu masalah probabilitas.*CONTOH;Ruang sampel pelemparan dadu 1 kaliS = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6</p> <p>Peristiwa (Event) :Merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.*CONTOH;- Eksperimen : melempar dadu 1 kali - Peristiwa A : Hasil pelemparan dadu berupa angka genap = { 2, 4, 6}n(A) = 3</p> <p>Lanjutan</p> <p>Ruang Sampel (S)Koleksi dari semua hasil yang mungkin- misalnya : Semua enam wajah dari dadu:</p> <p>- misalnya : Semua 52 kartu yang di tumpuk:</p> <p>Konsep Dasar ProbabilitasLanjutan</p> <p>Peristiwa (Event)Peristiwa sederhana- Hasil dari ruang sampel dengan satu karakteristik-misalnya: Sebuah kartu merah dari setumpuk kartuPeristiwa Gabungan- Melibatkan dua hasil secara bersamaan- misalnya: Sebuah as yang juga merah dari setumpuk kartu</p> <p>Memvisualisasikan PeristiwaTabel kontingensi</p> <p>Diagram pohon</p> <p>AsBukan AsTotalHitam22426merah22426Total44852</p> <p>Askartu merahkartu hitamBukan AsBukan As</p> <p>AsDeck penuh KartuKonsep Dasar ProbabilitasLanjutan</p> <p>Probabilitas Sederhana adalah suatu peristiwa yang hanya memuat 1 elemenProbabilitas Gabungan : peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi.*Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah P(A dan B) = P(A B) = P(A) x P(B/A)</p> <p>Konsep Dasar ProbabilitasLanjutan</p> <p>Peristiwa sederhanaPeristiwa dari Segitiga</p> <p>Peristiwa Gabungan</p> <p>Ada 5 segitiga dalam koleksi ini dari 18 objekPeristiwa segitiga DAN berwarna biruDua segitiga yang berwarna biru</p> <p>Peristiwa Khusus</p> <p>1. Kejadian/peristiwa Kosong (Null Event) Club &amp; Diamond pada tarikan 1 kartu 2. Komplemen dari peristiwa Untuk setiap Kejadian A, Seluruh peristiwa tidak dalam A : A3. Peristiwa Mutually Exclusive Peristiwa yang tidak terjadi serentak 4.Peristiwa saling eksklusif - Dua peristiwa tidak bisa terjadi bersama-sama*misalnya : - A: ratu wajik; B: ratu klub- Peristiwa A dan B ini saling bertolak - Peristiwa Secara bersama lengkap - Salah satu peristiwa harus terjadi - Seperangkat peristiwa meliputi ruang sampel secara keseluruhan*misalnya : - A: semua kartu As; B: semua kartu hitam; C: semua wajik; D: semua hati - peristiwa A, B, C dan D secara bersama lengkap - peristiwa B, C dan D juga secara bersama lengkapNull Event</p> <p>Tabel KontingensiAsBukan AsTotalMerah22426Hitam22426Total44852</p> <p>Sebuah Deck dari 52 KartuAs MerahRuang sampel</p> <p>Diagram PohonPeristiwa yang mungkinDeck Kartu lengkap</p> <p>Kartu merahKartu hitamAsBukan AsAsBukan As </p> <p>Menghitung Probabilitas GabunganProbabilitas dari Peristiwa gabungan, A dan B:P(A dan B) = P(AB)= jumlah hasil dari kedua A dan Bjumlah total hasil yang mungkin di ruang sampelMisalnya : P(kartu merah dan As) = 2 As Merah=152 jumlah kartu26Peluang gabungan Dengan menggunakan tabel KontingensiPeristiwaPeristiwaTotalB1B2A1P(A1 dan B1)P(A1 dan B2)P(A1)A2P(A2 dan B1)P(A2 dan B2)P(A2)Total P(B1) P(B2)1</p> <p>Peluang gabunganPeluang Marjinal yang (sederhana)</p> <p>Menghitung Probabilitas MajemukProbabilitas dari peristiwa senyawa, A atau B:P(A atau B) = P(A U B)= jumlah hasil dari A atau B atau keduanyajumlah hasil dalam ruang sampelMisalnya : P(kartu merah atau As)4 As + 26 kartu merah 2 As merah52 jumlah nomor pada kartu= 28 = 7 52 13</p> <p>Probabilitas Majemuk (Penambahan Aturan)P(A1 or B1 ) = P(A1) + P(B1) - P(A1 and B1)PeristiwaPeristiwaTotalB1B2A1P(A1 and B1)P(A1 and B2)P(A1)A2P(A2 and B1)P(A2 and B2)P(A2)TotalP(B1)P(B2)1</p> <p>Untuk peristiwa yang mutually Eksklusif: P (A atau B) = P (A) + P (B)</p> <p>Probabilitas BersyaratProbabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi.Independensi statistik Dua peristiwa dikatakan independen (bebas) jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa satu tidak mempengaruhi atau tidak dipengaruhi oleh peristiwa yang lain. Jika X dan Y merupakan dua peristiwa yang independen, maka probabilitas untuk terjadinya kedua peristiwa tersebut adalah : P(X Y) = P(X) x (Y)Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi.*Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa A tersebut adalahP(A) = P(B A) = P(Ai) x P(B/Ai), i = 1, 2, 3, ..</p> <p>Menghitung Probabilitas BersyaratProbabilitas kejadian A mengingat bahwa peristiwa B telah terjadi:P(A | B) = P(A and B)P(B)Misalnya:P(Kartu merah diberikan bahwa itu adalah As)= 2 As merah = 14 As 2</p> <p>Probabilitas Bersyarat Dengan Menggunakan Tabel KontingensiTipeWarnaTotalMerahHitamAs224Bukan As242448Total262652</p> <p>Ruang Sampel direvisiP(As | Merah) = P(As dan Merah) = 2/52 = 2 P(Merah) 26/52 26</p> <p>Probabilitas Bersyarat Statistik IndependensiProbabilitas (peluang) bersyarat:P(A|B) = P(A and B)P(B)Aturan perkalianP(A and B) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A)Kegiatan A dan B independen jikaP(A|B) = P(A)Atau P(B|A) = P(B)Atau P(A dan B) = P(A) P(B)Peristiwa A dan B adalah independen ketika probabilitas dari satu peristiwa, A, tidak terpengaruh oleh peristiwa lain, B.</p> <p>TEOREMA BAYESMerupakan probabilitas bersyarat dari suatu kejadian yang terjadi setelah adanya kejadian lain.</p> <p>P(B i |A) = P(A|B i)P(B i) P(A|B1)P(B1)++P(A|Bk) P(Bk)= P(B i dan A) P(A){Kegiatan yang sama}</p> <p>Misalnya: kantong A berisi 5 bola biru dan 3 bola kuning, sedangkan kantong B berisi 2 bola biru dan 6 bola kuning. Dengan teori Bayes, kita dapatkan nilai probabilitas untuk pengambilan bola biru dari kantong A adalah 5/7.</p> <p>Bayes Teorema Menggunakan Tabel KontingensiLima puluh persen dari peminjam melunasi pinjaman mereka. Dari mereka yang dibayar, 40% memiliki gelar sarjana. Sepuluh persen dari mereka yang gagal memiliki gelar sarjana. Berapa probabilitas bahwa peminjam yang dipilih secara acak yang memiliki gelar sarjana akan membayar kembali pinjaman?P(R)=.50P(C|R)=.4P(C|)=.10P(R|C)=?Membayar kembaliMembayar kembaliTOTALPerguruan tinggi.2.05.25Perguruan tinggi.3.45.75TOTAL.5.51.0</p> <p>Probabilitas Variabel Acak DiskritVariabel acak :Hasil dari eksperimen dinyatakan secara numerik misalnya: Aduk mati dua kali; menghitung berapa kali jumlah 4 muncul (0, 1 atau 2 kali).Distribusi probabilitas variabel acak diskrit menggambarkan bagaimana suatu probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x). Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.Variabel acak diskrit:Diperoleh dengan menghitung (1, 2, 3, dll) Biasanya jumlah terbatas nilai yang berbeda misalnya: Aduk koin lima kali; menghitung jumlah ekor (0, 1, 2, 3, 4, atau 5 kali).</p> <p>Contoh Distribusi Probabilitas Diskrit 2002 Prentice-Hall, Inc. </p> <p>Chap 4-20 Distribusi kemungkinan NilaiKemungkinan 01/4 = .2512/4 = .5021/4 = .25 </p> <p>TAcara: Aduk dua koinMenghitung jumlah ekor</p> <p>T</p> <p>T</p> <p>Distribusi Probabilitas DiskritDaftar semua kemungkinan [X j, p (X j)] pasangan- X j = nilai variabel random- P (X j) = probabilitas yang terkait dengan nilai </p> <p>Mutually eksklusif (tidak ada kesamaan) Kolektif lengkap (tidak ditinggalkan)</p> <p>T</p> <p>Mengukur SummaryNilai yang diharapkan (mean) - Rata-rata tertimbang dari distribusi probabilitas</p> <p>- Misalnya: Aduk 2 koin, menghitung jumlah ekor, menghitung diharapkan nilai</p> <p>Perbedaan Berat rata-rata kuadrat deviasi terhadap mean </p> <p>Misalnya Toss dua koin, menghitung jumlah ekor, varians menghitung</p> <p>Kovarians adalah suatu pengukur yang menyatakan variasi bersama dari dua variable acak. Kovarians antara dua variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan xy dan didefinisikan sebagai berikut dimanaXi = nilai variable acak X ke-iYi = nilai variable acak Y ke-iP(xi, yi) = probabilitas terjadinya xi dan yii = 1, 2, , N</p> <p>XY = P(XY)</p> <p>X : variabel acak diskritX : th hasil dari XY : variabel acak diskritY : th hasil dari Y P(XY) : probabilitas terjadinya hasil th dari X dan hasil th dari YKovarians dan Aplikasinya dalam KeuanganXi E(X)</p> <p>Kovarians dan Aplikasinya dalam KeuanganNilai harapan dari penjumlahan dua variable acak adalah sama dengan penjumlahan dari nilai harapan masing-masing variabel acak. =&gt;E(X + Y) = E(X) + E(Y)Varians dari penjumlahan dua variabel acak adalah sama dengan jumlah varians dari masing-masing variabel ditambah dua kali kovarians.Setelah mendefinisikan kovarians, dll, maka dapat menerapkan konsep-konsep tersebut pada studi mengenai sekelompok asset yang merujuk pada apa yang disebut sebagai portfolio. Dengan menanamkan investasi yang disebarkan pada tidak hanya satu perusahaan, investor mengkombinasikan pengembalian dan meminimumkan resiko. Dalam studi portfolio, kita menggunakan penimbang untuk setiap jenis investasi dengan proporsi asset pada investasi tersebut. Hal ini memungkinkan kita untuk menghitung portfolio expected return dan portfolio risk.Portfolio expected return untuk investasi dua asset sama dengan penimbang bagi asset X dikalikan dengan expected return dari asset X ditambah dengan penimbang bagi asset Y dikalikan dengan expected return asset Y.E(P) = E(X) + (1 - ) E(Y)Dimana =&gt; E(P) = portfolio expected returnE(X) = expected return asset Xw = proporsi nilai portfolio dari asset XE(Y) = expected return asset Y(1 - ) = proporsi nilai portfolio dari asset YLanjutan</p> <p>Komputasi Mean untuk Pengembalian InvestasiKembali per $ 1.000 untuk dua jenis investasi</p> <p>InvestasiP (Xi Yi) kondisi ekonomiDow Jones dana XPertumbuhan Stock Y.2Resesi- $ 100 - $ 200 .5Stabil Ekonomi + 100 + 50 .3Memperluas Ekonomi + 250 + 350</p> <p>Menghitung Variance untuk Pengembalian InvestasiInvestasiP (Xi Yi) kondisi ekonomiDow Jones dana XPertumbuhan Stock Y.2Resesi- $ 100 - $ 200 .5Stabil Ekonomi + 100 + 50 .3Memperluas Ekonomi + 250 + 350</p> <p>Distribusi Probabilitas Binomial Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi: Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya Hanya ada dua kemungkinan hasil Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnyaProbabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-pProbabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b</p> <p>Distribusi Probabilitas Binomial 'N' uji identik Misalnya: 15 kali pelemparan koin; sepuluh bola lampu yang diambil dari gudang Dua hasil saling eksklusif pada setiap persidangan Misalnya: Kepala atau ekor di setiap lemparan koin; bola lampu cacat atau tidak cacatUji independen Hasil dari satu percobaan tidak mempengaruhi hasil yang lainProbabilitas konstan untuk setiap percobaan Misalnya: Probabilitas mendapatkan ekor adalah sama setiap kali kita melemparkan koin Dua metode pengambilan sampel Populasi tak terbatas tanpa penggantian Populasi terbatas dengan penggantianLanjutan</p> <p>Fungsi Distribusi Probabilitas BinomialP(X)= n!. p(1-p) - X!(n-X)!P(X) : probabilitas keberhasilan X diberikan n dan pX : jumlah "keberhasilan" dalam sampel (X = 0,1, ..., n)P : probabilitas dari setiap "kesuksesann: ukuran sampel</p> <p>Ekor di 2 lemparan dari CoinX P(X) 0 1/4 = .251 2/4 = .502 1/4 = .25</p> <p>Karakteristik Distribusi BinomialMean-- Misalnya:Varians dan Standar Deviasi-</p> <p>- Misalnya:</p> <p>Distribusi Binomial dalam PHStatPHStat | probabilitas &amp; prob. distribusi | binomium Misalnya di excel spreadsheet </p> <p>n = 5 p = 0.1</p> <p> 0.2.4.6012345XP(X)</p> <p>Distribusi Probabilitas PoissonDistribusi Poisson adalah suatu Observasi yang dapat dilakukan pada kejadian diskret dalam suatu area kesempatan.*contoh: Jumlah telepon panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dllMerupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n&gt;&gt; dan p</p>