ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

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    26-Nov-2015

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ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ

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<ul><li><p> pi </p><p>2010-11</p></li><li><p>I 1</p><p>1 31.1 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.2.1 pipi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>2 192.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.2 . . . . . . . . . . . . 212.1.3 . . . . . . . . . . . . 242.1.4 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>2.2 . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31</p><p>3 pi 353.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35</p><p>3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42</p><p>3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46</p><p>3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48</p></li><li><p>iv </p><p>3.5.1 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49</p><p>3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52</p><p>4 594.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>4.2.1 Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3 , , . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>4.3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67</p><p>4.4 pi . . . . . . . . . 694.4.1 Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71</p><p>4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>II pi 79</p><p>5 815.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3 Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87</p><p>5.3.1 Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4 * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.5 Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99</p><p>6 pi 1036.1 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.2 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.5 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120</p><p>III 127</p><p>7 1297.1 : . . . . . . . . . . . . . . . 129</p></li><li><p> v</p><p>7.2 : . . . . . . . . . . . . . . . 1347.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2.2 , pi . . . . . . . . . . . . . . . . 139</p><p>7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146</p><p>8 pi 1518.1 C(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2 pi Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157</p><p>IV 159</p><p> pi 161.1 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163</p></li><li><p> I</p></li><li><p> 1</p><p>1.1 pi</p><p> 1.1.1 (). X . X : X X R pi :</p><p>(i) (x, y) 0 x, y X (x, y) = 0 x = y ( ).</p><p>(ii) (x, y) = (y, x) x, y X ( ).(iii) (x, z) (x, y) + (y, z) x, y, z X ( ). X (X, ) . X .</p><p> 1.1.2. () R </p><p>d(x, y) = |x y|, x, y R.() Rm, m- ~x = (x1, . . . , xm)pi , : ~x = (x1, . . . , xm) ~y = (y1, . . . , ym) Rm,</p><p>2(~x, ~y) =</p><p>(mi=1</p><p>(xi yi)2)1/2</p><p>.</p><p>pi (pi 1.3).() X pi pi: : X X R </p><p>(x, y) =</p><p>{1, x 6= y0, x = y</p></li><li><p>4 </p><p> ( pi (i), (ii) (iii) ). X.</p><p>() X pi pi : f : X R pi 1-1, pi df X :</p><p>df (x, y) = |f(x) f(y)|, x, y X. df X.</p><p>() n- Hamming. </p><p>Hn = {0, 1}n ={</p><p>(x1, x2, . . . , xn) xi = 0 1, i = 1, . . . , n}.</p><p> h : Hn Hn R, pi h(x, y) pi pi n- x = (x1, . . . , xn) y = (y1, . . . , yn), </p><p>h(x, y) = card({</p><p>1 i n : xi 6= yi}).</p><p> h Hn. (Hn, h</p><p>) Hamming h Hamming.</p><p> 1.1.3 ( ). (X, ) . A pipi pi X, pi A : AA R </p><p>A(x, y) = (x, y), x, y A( pi A A) A. A pi pi pi A.</p><p> pi, pi R pi .</p><p> 1.1.4 (). () (X, ) . (X, ) pi C &gt; 0 x, y X (x, y) C. ,</p><p>sup{(x, y) : x, y X} </p></li><li><p>1.2 5</p><p> 1.1.5. () R d(x, y) = |x y| .</p><p>() R pi pi arctan : R (pi2 , pi2 ), </p><p>(x, y) = | arctanx arctan y|, x, y R</p><p> diam (R, ) = pi. diam (R, ) pi pi </p><p>diam (R, ) | arctann arctan(n)| n N, </p><p>diam (R, ) limn | arctann arctan(n)| =</p><p>pi</p><p>2(pi</p><p>2</p><p>)= pi.</p><p> pipi pi | arctan t| &lt; pi2 t R( ).</p><p>() R </p><p>(x, y) =|x y|</p><p>1 + |x y| , x, y R</p><p> pi , (x, y) &lt; 1 x, y R. diam (R, ) = 1.() X, (X, ) (, pi pi , 1).</p><p>1.2 </p><p> pi pi . pipi, . pi , pi pi .</p><p> 1.2.1 (). X pi . X : X R :() x 0 x X x = 0 x = ~0 ( ).</p><p>() x = || x R x X ( ).</p><p>() x+ y x+ y x, y X ( ).</p><p> X, (X, ) .</p></li><li><p>6 </p><p> 1.2.2. () X, d :X X R </p><p>d(x, y) = x y, x, y X ( pi pi X pi ). ,</p><p> d(x, y) = x y 0 x, y X d(x, y) = x y = 0 x y = ~0 x = y.</p><p> d(y, x) = y x = (1)(x y) = | 1| x y = x y x, y X. x, y, z X </p><p>d(x, z) = x z = (x y) + (y z) x y+ y z = d(x, y) + d(y, z).</p><p>pipi, d :</p><p> d pi , d(x+ z, y + z) = d(x, y) x, y, z X.</p><p> d , d(x, y) = ||d(x, y) x, y X R.</p><p> , pi pi pi pi - pipi. , pi pi pi pi pi pipi pi pipi pi .</p><p>() pi . X 6= {0} pi pi : x X, x 6= 0, pi span({x}) = {x : R} X pi pi ( , pi R). pi pi, pipi .</p><p> pi ( ) X pi pi pi pi . pi, X , pi : X R (x, y) = x y. pi pi: pi , pi x X,x 6= 0, </p><p>nx = nx = (nx, 0) = 1 n N x = 1/n n = 1, 2, . . ., pi pi pi.</p><p> pipi .</p></li><li><p>1.2 7</p><p>1.2.1 pipi </p><p>1. Rm supremum : Rm R : x =(x1, . . . , xm) Rm </p><p>x := max{|xi| : i = 1, . . . ,m}.</p><p>pi . </p><p>x+ y = |xi0 + yi0 |</p><p> pi i0 {1, . . . , n}. i0,</p><p>|xi0 + yi0 | |xi0 |+ |yi0 | x + y.</p><p>pi,x+ y x + y.</p><p> (Rm, ) `m.</p><p>2. Rm 1- 1 : Rm R </p><p>x1 := |x1|+ + |xm| =mi=1</p><p>|xi|.</p><p> pi pi R. (Rm, 1) `m1 .</p><p>3. Rm 2 : Rm R </p><p>x2 :=(</p><p>mi=1</p><p>|xi|2)1/2</p><p>.</p><p> pi pi pi pi CauchySchwarz.</p><p> 1.2.3 ( CauchySchwarz). x1, . . . , xm y1, . . . , ym pi- . , </p><p>mi=1</p><p>|xiyi| (</p><p>mi=1</p><p>|xi|2)1/2( m</p><p>i=1</p><p>|yi|2)1/2</p><p>.</p></li><li><p>8 </p><p>pi. pi pi pi Schwarz. B =mi=1 |xiyi|,</p><p>A =mi=1 |xi|2 C =</p><p>mi=1 |yi|2. pi B2 AC </p><p>(2B)2 4AC. p : R R </p><p>p() := (|x1|+ |y1|)2 + + (|xm|+ |ym|)2 0,</p><p> pi pi pi pi </p><p>p() = A2 + 2B+ C 0</p><p> R. A = 0 xi = 0 i = 1, . . . ,m pi ( ). pi pi A &gt; 0 p() pi R. pi pipi (2B)2 4AC 0, pi . 2</p><p>pi pi . </p><p>x+ y22 =mi=1</p><p>|xi + yi|2</p><p>=</p><p>mi=1</p><p>|xi|2 + 2mi=1</p><p>xiyi +</p><p>mi=1</p><p>|yi|2</p><p> x22 + 2mi=1</p><p>|xiyi|+ y22</p><p> x22 + 2x2y2 + y22pi pi CauchySchwarz. ,</p><p>x+ y22 (x2 + y2)2 = x+ y2 x2 + y2.</p><p> (Rm, 2) `m2 .</p><p>4. , Rm pi p-, 1 &lt; p </p></li><li><p>1.2 9</p><p> 1.2.4 ( Holder). x1, . . . , xm y1, . . . , ym pi p, q &gt; 1 1 1p +</p><p>1q = 1, </p><p>mi=1</p><p>|xiyi| (</p><p>mi=1</p><p>|xi|p)1/p( m</p><p>i=1</p><p>|yi|q)1/q</p><p>.</p><p>pi. pi log : (0,+) R , x, y &gt; 0 </p><p>log</p><p>(1</p><p>pxp +</p><p>1</p><p>qyq) 1p</p><p>log(xp) +1</p><p>qlog(yq)</p><p>log(xy) log(</p><p>1</p><p>pxp +</p><p>1</p><p>qyq).</p><p>pi log pi </p><p>() xy xp</p><p>p+yq</p><p>q x, y 0.</p><p> x1, . . . , xm y1, . . . , ym pi . pi pi (|x1|p+ +|xm|p)1/p 6= 0 (|y1|q+ +|ym|q)1/q 6= 0. x1 = = xm = 0 y1 = = ym = 0 </p><p>mi=1 |xiyi| = 0 pi </p><p> pi. </p><p>ai =|xi|</p><p>(|x1|p + + |xm|p)1/p , i = 1, . . . ,m</p><p>bi =|yi|</p><p>(|y1|q + + |ym|q)1/q , i = 1, . . . ,m</p><p> pi ai, bi 0 mi=1</p><p>api =mi=1</p><p>bqi = 1.</p><p> pi () ai, bi </p><p>aibi api</p><p>p+bqiq</p><p>1 p q .</p></li><li><p>10 </p><p> pi i = 1, . . . ,m pi </p><p>mi=1</p><p>aibi 1p</p><p>mi=1</p><p>api +1</p><p>q</p><p>mi=1</p><p>bqi =1</p><p>p+</p><p>1</p><p>q= 1.</p><p>, mi=1 |xi||yi|</p><p>(|x1|p + + |xm|p)1/p(|y1|q + + |ym|q)1/q 1,</p><p>pi :</p><p>mi=1</p><p>|xiyi| (|x1|p + + |xm|p)1/p(|y1|q + + |ym|q)1/q.</p><p>2</p><p> 1.2.5. Holder pi - CauchySchwarz: pipi pi p = q = 2.</p><p> 1.2.6 ( Minkowski). x1, . . . , xm y1, . . . , ym pi p &gt; 1, (</p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|p)1/p</p><p>(</p><p>mi=1</p><p>|xi|p)1/p</p><p>+</p><p>(mi=1</p><p>|yi|p)1/p</p><p>.</p><p>pi. pi pi mi=1 |xi+ yi|p &gt; 0, pi </p><p>. </p><p>(+)</p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|p =mi=1</p><p>|xi + yi|p1|xi + yi| mi=1</p><p>|xi + yi|p1|xi|+mi=1</p><p>|xi + yi|p1|yi|.</p><p> Holder mi=1 |xi + yi|p1|xi| pi</p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|p1|xi| (</p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|q(p1))1/q ( m</p><p>i=1</p><p>|xi|p)1/p</p><p>pi q p, 1p +1q = 1 q(p 1) = p. , pi</p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|p1|xi| (</p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|p)1/q ( m</p><p>i=1</p><p>|xi|p)1/p</p><p>.</p></li><li><p>1.2 11</p><p> pi pi</p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|p1|yi| (</p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|p)1/q ( m</p><p>i=1</p><p>|yi|p)1/p</p><p>.</p><p>, pi (+) </p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|p (</p><p>mi=1</p><p>|xi + yi|p)1/q ( m</p><p>i=1</p><p>|xi|p)1/p</p><p>+</p><p>(mi=1</p><p>|yi|p)1/p</p><p> (mi=1</p><p>|xi + yi|p)11/q</p><p>(</p><p>mi=1</p><p>|xi|p)1/p</p><p>+</p><p>(mi=1</p><p>|yi|p)1/p</p><p>.</p><p> pipi pi 1 1q = 1p . 2 x+ yp xp + yp p-</p><p> Minkowski (pi x = (x1, . . . , xm) y = (y1, . . . , ym)). (Rm, p) `mp .</p><p>5. pi pi pi pi dp(x, y) =x yp Rm. x = (x1, . . . , xm) y = (y1, . . . , ym) Rm, </p><p>dp(x, y) =</p><p>(mi=1</p><p>|xi yi|p)1/p</p><p> 1 p 0 : n N |x(n)| M}</p><p> pi pi. ` supremum : ` R </p><p>x := sup{|x(n)| : n = 1, 2, . . .}.</p><p>pi :</p></li><li><p>12 </p><p>() x 0 x `. x = 0, |x(n)| 0 n N, x(n) = 0 n = 1, 2, . . .. pi, x = 0.() x = supn |x(n)| = || supn |x(n)| = || x, R.() x, y ` n N. ,</p><p>|x(n) + y(n)| |x(n)|+ |y(n)| x + y. supremum pi n pi </p><p>x+ y = supn1|x(n) + y(n)| x + y.</p><p>2. c0 c0(N) , </p><p>c0 ={x : N R</p><p> limnx(n) = 0</p><p>} pi ( pi ` - ) pi. supremum pi pi `.</p><p>3. `1 `1(N) 1- 2 ,</p><p>`1 =</p><p>{x : N R</p><p> n=1</p><p>|x(n)| &lt; +}</p><p> pi c0. , n=1 |x(n)| &lt; + </p><p>limnx(n) = 0. 1 : `1 R </p><p>x1 :=n=1</p><p>|x(n)|.</p><p>4. , 1 p &lt; , `p `p(N) p- pi pi x : N R pi n=1 |x(n)|p &lt; +. `p p</p><p>xp :=( n=1</p><p>|x(n)|p)1/p</p><p>.</p><p>pi Minkowski pipi pi , pi p pi ( ).</p><p>2 pi pi pi .</p></li><li><p>1.2 13</p><p>5. c00 c00(N) . , x c00 pi n0 n0(x) N x(n) = 0 n n0. pi pipi pi p, 1 p .</p><p>1.2.3 </p><p>1. C([0, 1]) pi [0, 1] </p><p>C([0, 1]) = {f : [0, 1] R | f }</p><p> pi pi. C([0, 1]) : C([0, 1]) R, </p><p>f = sup{|f(t)| : t [0, 1]}.</p><p> sup pi, |f | : [0, 1] R , max , pi , pi . .</p><p>2. C([0, 1]) pi pi 1-</p><p>f1 := 10</p><p>|f(t)| dt</p><p> , 1 p </p></li><li><p>14 </p><p> t [0, 1]. pi pi 10|f(t)|pdt = 1</p><p>0|g(t)|qdt = 1,</p><p> pi () 10</p><p>|f(t)g(t)| dt 1p</p><p> 10</p><p>|f(t)|pdt+ 1q</p><p> 10</p><p>|g(t)|qdt</p><p>=1</p><p>p+</p><p>1</p><p>q= 1</p><p>=</p><p>( 10</p><p>|f(t)|pdt)1/p( 1</p><p>0</p><p>|g(t)|qdt)1/q</p><p>.</p><p> pipi, pi f g, f1 := f/fp g1 := g/gq.</p><p>pi, pi Holder pi pi Minkowski pipi ,pi p: Minkowski . f, g : [0, 1] R 1 p </p></li><li><p>1.3 15</p><p>1.3 </p><p>1. (X, ) . pi x y x y x, y X.</p><p>2. (X, ) . :</p><p>() |(x, z) (y, z)| (x, y) x, y, z X.() |(x, y) (z, w)| (x, z) + (y, w) x, y, z, w X.</p><p>3. R : RR R (a, b) = |a b|. pi (R, ) .</p><p>, : (X, ) d : X X R </p><p>d(x, y) =x y, x, y X,</p><p> (X, d) .</p><p>4. (X, d) . 1 = min{d, 1}, 2 = d1+d d = d</p><p> (0 &lt; &lt; 1) X.</p><p>5. d1, d2 X d1+d2, max{d1, d2}, min{d1, d2} X. d X, d2 X;</p><p>6. (X, d) . pi :</p><p>() diam(A) = 0 A = A (, A = {x} pi x X).() A B X diam(A) diam(B).() A,B X </p><p>diam(A B) min{diam(A),diam(B)} max{diam(A),diam(B)} diam(A B).</p><p> diam(A B) diam(A) + diam(B)</p><p> pi A,B X;</p><p>() (An) pi X diam(An) 0 n , </p><p>n=1An pi ( pi ).</p></li><li><p>16 </p><p>7. pi A (X, ) pi x0 X r &gt; 0 (a, x0) r a A.</p><p>8. A1, . . . , Ak pi (X, ). A1 A2 Ak pi .</p><p>9. () f : [0,) [0,) f(0) = 0 f(x) &gt; 0 x &gt; 0. pi pi f pipi, . f(x+ y) f(x) + f(y) x, y 0. : d X f d X.</p><p>() pi f : [0,) R+, pi pipi f :</p><p>(i) f .</p><p>(ii) x 7 f(x)x , x &gt; 0 .() pi () () 4 .</p><p>10. ( Holder ) f, g : [0, 1] R p, q (. p, q &gt; 1 1p +</p><p>1q = 1). 1</p><p>0</p><p>|f(t)g(t)| dt ( 1</p><p>0</p><p>|f(t)|p dt)1/p( 1</p><p>0</p><p>|g(t)|q dt)1/q</p><p>.</p><p>11. (C([0, 1]), p) </p><p>fp =( 1</p><p>0</p><p>|f(x)|p dx)1/p</p><p> .</p><p>12. S pi . (mk) , </p><p>kmk &lt; +. pi d S : </p><p>x = (x(n)), y = (y(n)) S, </p><p>d(x, y) =</p><p>n=1</p><p>mn|x(n) y(n)|</p><p>1 + |x(n) y(n)| .</p><p> (S, d) , pi .</p></li><li><p>1.3 17</p><p>13. P pi pi . p(x) =a0 + a1x+ + anxn pi pi P, p </p><p>h(p) = max{|ai| : i = 0, 1, . . . , n}.</p><p>() P pi h : P R P.() : P R, </p><p>(p) = |a0|+ |a1|+ + |an|</p><p> P.() h(p) (p) (n+ 1)h(p) pi p pi n.</p><p>14. (P, h) pi (c00, ). pi f : (P, h) (c00, ) </p><p>p(x) = a0 + a1x+ + anxn f7 f(p) := a = (a0, a1, . . . , an, 0, 0, . . .)</p><p> pi pi. , f 1-1,pi pipi </p><p>(i) f(p+ q) = f(p) + f(q),</p><p>(ii) f(p) = f(p),</p><p>(iii) f(p) = h(p) p, q P R.</p><p>15. pi pi p Z . m,n Z m 6= n, p(n,m) p pi |nm|, m 6= n, </p><p>p(m,n) = max{k 0 : m nmod pk}.</p><p> p : Z Z R </p><p>p(m,n) =</p><p>{2p(m,n), m 6= n0, m = n</p><p> p Z (Z, p) .</p></li><li><p>18 </p><p>16. 6= A (0,+). pi pi (X, ) </p><p>A = {(x, y) : x, y X, x 6= y}.</p><p>17. `p, 1 p c0.() : 1 p &lt; q `p `q .() : 1 p </p></li><li><p> 2</p><p>2.1 </p><p> pi pi . pi x : N R (pi R). , xn := x(n) n- x {xn}n=1 {xn} (xn).</p><p> (xn) R, (xn) pi x :</p><p> &gt; 0 pi n0 n0() : n N n n0(), |xn x| &lt; .</p><p> pipi, limxn = x limnxn = x , pi pi, xn x.</p><p> pi (xn) - (X, ). pi pi - pi : (xn) x X pi x {xn : n n0}. , (xn) x pi xnpi x 0 n pi. pi pi pi . pi- pi pi pi .</p></li><li><p>20 </p><p>2.1.1 </p><p> (X, ) . X x : N X. xn := x(n) n- x {xn}n=1 {xn} (xn) x = (x1, x2, . . . , xn, . . .). 2.1.1 ( ). (xn) (X, ) x X pi ( -) </p><p> &gt; 0 pi n0 n0() N n n0 (xn, x) &lt; . xn</p><p> x pi xn x. x - (pi ) .</p><p> 2.1.2. (xn) (X, ) x X. , xn</p><p> x ((xn, x))n pi .</p><p>pi. : ((xn, x))n R &gt; 0 pi n0 n0() N n n0 (xn, x) = |(xn, x) 0| &lt; . xn x. 2 2.1.3. (xn) (X, ). pi (xn), .</p><p>pi. pi xn x xn y, pi x, y X. x = y.</p><p>: n N 0 (x, y) (x, xn) + (xn, y).</p><p> &gt; 0, pi n0 N , n n0,</p><p>(xn, x) 0. </p><p>Mmk = max{|xm(i) x(i)| : i = 1, . . . , k}., k N Mmk 0 m (;). pi, pi k k() N 1</p><p>2k&lt; 2 . k M</p><p>mk+1 0, pi m0(, k) m0 N</p><p> m m0 Mmk+1 &lt; 2 . pi m m0, </p><p>d(xm, x) Mmk+1 +1</p><p>2k 0 pi n0 n0() N m,n n0 (xm, xn) &lt; . 2.1.7. (X, ) . , X Cauchy.</p><p>pi. (xn) . , pi x X xn x. &gt; 0. xn</p><p> x, pi n0 N n n0 (xn, x) &lt; 2 . m,n n0. ,</p><p>(xn, xm) (xn, x) + (x, xm) &lt; 2</p><p>+</p><p>2= .</p><p>pi, (xn) Cauchy. 2</p></li><li><p>2.1 25</p><p> 2.1.8 ( ). (xn) (X, ). (xn) A = {xn : n N} pi X. , pi C &gt; 0 (xm, xn) C m,n N. 2.1.9. (X, ) . , X .</p><p>, X .</p><p>pi. (xn) (X, ). , pi n0 &gt; 1...</p></li></ul>

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