ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ТЕ-ВОЛН НА НЕЛИНЕЙНОМ СЛОЕ

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    05-Apr-2017

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<ul><li><p> 4 (24), 2012 - . </p><p> 73</p><p> 517.927, 519.624 . . , . . </p><p> - 1 </p><p> . - , ; . . : , , TE-, . Abstract. The article considers a boundary diffraction problem of a TE wave on a nonlinear layer. The nonlinearity in the layer is described by Kerr law. A numerical method to solve the problem is suggested and proved. Results of numerical calcula-tions are given. Key words: Maxwells equations, diffraction problem, TE waves, Kerr nonlinearity. </p><p>1. </p><p> , -, , , 0x x h - Oxyz . </p><p>1 0 , 3 0 , 0 -. , 1 0 , 3 0 , -, 1 , 3 . , </p><p>0 . [1]: </p><p> , , , , , cos , , sinx y z t x y z t x y z t E E E ; </p><p> , , , , , cos , , sinx y z t x y z t x y z t H H H , ; E , E , E , H , H , H . </p><p> , ,x y zE , ,x y zH : i E E E , i H H H , </p><p> , , Tx y zE E EE , , , Tx y zH H HH ; T ; </p><p> , ,x xE E x y z , , ,y yE E x y z , , ,z zE E x y z , </p><p>1 20092013 ., 14.37.21.1950, 14.A18.21.2054, 8860. </p></li><li><p> . </p><p> 74</p><p> , ,x xH H x y z , , ,y yH H x y z , , ,z zH H x y z . cos t sin t . E , H </p><p> rot ,rot ,</p><p>ii</p><p>H EE H</p><p> (1) </p><p> - 0x , x h : - x 0x x h . [2] </p><p>22 E , </p><p> 2 ; . </p><p> . . 1 . </p><p>0 x </p><p>z </p><p>h </p><p>I </p><p>R T </p><p>1 3 </p><p> . 1. </p><p> I ( ) , -</p><p> R ( ) T ( ) - (. . 1). </p><p>2. - </p><p> TE- </p><p> 0, ,0 TyEE , ,0, Tx zH HH , , ,x xE E x y z , , ,z zE E x y z , , ,y yH H x y z . </p></li><li><p> 4 (24), 2012 - . </p><p> 75</p><p> , E , H y [3]. , z , - z. , E , H </p><p> E i zy yE x e , H i zx xH x e , H i zz zH x e , (2) </p><p> . (2) (1), </p><p>H H E ,</p><p>E H ,</p><p>E H .</p><p>x z y</p><p>y x</p><p>y z</p><p>i x x i x</p><p>i x i x</p><p>x i x</p><p> 2 2E E Ey y yx x x . </p><p> 2 2 0 0k , </p><p>0, , , jj</p><p>d dx kx kdx dx k</p><p> ( 1,2,3j ). : E yY x x . -</p><p> , </p><p> 2Y x Y x , (3) </p><p>12</p><p>2</p><p>3</p><p>, 0,</p><p>, 0 ,, .</p><p>x</p><p>Y x hx h</p><p>3. </p><p> 0x 1 . (3) </p><p> 2 1Y Y , </p><p>2 21 1</p><p>1 2( )x xY x C e C e . </p><p> 2 21 1k , 1 :C R , 2 :C I . </p><p> 1 1k x k xY x Re Ie . (4) I , R </p><p> . </p></li><li><p> . </p><p> 76</p><p> 2 1 0 , - , -, , , . </p><p> x h 3 . (3) </p><p> 2 3Y Y , </p><p> 2 2</p><p>3 33 4</p><p>x h x hY x C e C e . </p><p> 4 0C . 2 23 3k , </p><p> 3 :C T , </p><p> 1x h kY x Te , (5) T . </p><p> , 0x , 2 3 0 . </p><p> (4), (5) 2 1 3max , . </p><p> 2 22Y x Y x Y x . (6) 4. </p><p> [4, 5], - . </p><p> yE zH . y</p><p>zE</p><p>i Hx</p><p>, , -</p><p> yEx</p><p>. </p><p> Y Y : </p><p> 0 0xY , 0x hY , </p><p> 0 0xY , 0x hY , (7) </p><p> 0 0 00 0</p><p>lim limx x x x x xf f x f x </p><p>0x x . </p><p> 0 0Y R I , 0Y h T , </p></li><li><p> 4 (24), 2012 - . </p><p> 77</p><p> 10 0Y R I k , 30Y h Tk . (8) ( NL): </p><p> R T Y x (6) , - (7), 0x x h - Y x (4), (5). </p><p>5. </p><p> (6) 0 </p><p> 22Y k Y , (9) </p><p> 2 22 2 0k . (9) </p><p>1 2 2 2cos sinY C k x C k x . </p><p> 0x , (7) (8) - </p><p> 1</p><p>1 2 2</p><p>,,</p><p>R I Ck R I k C </p><p> (10) </p><p>, 2C , </p><p> 12 1 2C k k R I . x h (7) (8) -</p><p> : </p><p> 1 2 2 23 2 1 2 2 2 2</p><p>cos sin ,sin cos .</p><p>T C k h C k hk T k C k h k C k h </p><p> (11) </p><p> (11) 1C 2C , (10), - </p><p>12 1 2 2</p><p>3 2 2 1 2</p><p>cos sin ,</p><p>sin cos .</p><p>T R I k h k k R I k h</p><p>k T k R I k h k R I k h</p><p> (12) </p><p> (12) </p><p>1 12 1 2 2 2 1 2 2</p><p>3 2 2 1 2 1 2 2 2</p><p>cos sin cos sin ,</p><p>sin cos cos sin .</p><p>T R k h k k k h I k h k k k h</p><p>k T R k k h k k h I k k h k k h</p><p> (13) </p><p> (13) , </p><p> 1 13 2 1 2 2 3 2 1 2 2cos sin cos sink R k h k k k h k I k h k k k h </p></li><li><p> . </p><p> 78</p><p> 2 2 1 2 1 2 2 2sin cos cos sin .R k k h k k h I k k h k k h </p><p>22 1 3 2 2 1 3 2</p><p>22 1 3 2 2 3 1 2</p><p>sin cos.</p><p>sin cos</p><p>k k k k h k k k k hR I</p><p>k k k k h k k k k h</p><p> (14) </p><p>, R , (12) </p><p> 12 1 2 2cos sinT R I k h k k R I k h , (15) </p><p>22 1 3 2 2 1 3 2</p><p>222 1 3 2 2 3 1 2</p><p>sin cos1 cos</p><p>sin cos</p><p>k k k k h k k k k hT I k h</p><p>k k k k h k k k k h</p><p>22 1 3 2 2 1 3 21</p><p>222 2 1 3 2 2 3 1 2</p><p>sin cos1 sin</p><p>sin cos</p><p>k k k k h k k k k hk I k hk k k k k h k k k k h</p><p>. </p><p> : </p><p> 1 2</p><p>22 1 3 2 2 3 1 2</p><p>2</p><p>sin cos</p><p>k k ITk k k k h k k k k h</p><p>. </p><p> 1C 2C </p><p>1 3 2 2 21 2</p><p>2 1 3 2 2 3 1 2</p><p>sin cos2</p><p>sin cos</p><p>k k k h k k hC I</p><p>k k k k h k k k k h</p><p> ; </p><p>1 2 2 3 22 2</p><p>2 1 3 2 2 3 1 2</p><p>2 sin cos</p><p>sin cos</p><p>Ik k k h k k hC</p><p>k k k k h k k k k h</p><p> . </p><p> , </p><p>22 1 3 2 2 1 3 2</p><p>22 1 3 2 2 3 1 2</p><p>1 222 1 3 2 2 3 1 2</p><p>1 3 2 2 2 2 2 2 3 2 222 1 3 2 2 3 1 2</p><p>sin cos,</p><p>sin cos</p><p>2 ,sin cos</p><p>2 sin cos cos sin cos sin.</p><p>sin cos</p><p>k k k k h k k k k hR I</p><p>k k k k h k k k k h</p><p>k k ITk k k k h k k k k h</p><p>Ik k k h k k h k x k k h k k h k xY x</p><p>k k k k h k k k k h</p></li><li><p> 4 (24), 2012 - . </p><p> 79</p><p> (14) (15) . - . </p><p>, (14) (15) ( !). (9) : </p><p>2 2 22 1Y k Y c , 1c . </p><p> (7) (8), </p><p> 2 22 2 2 2 21 3 2R I k T k k T R I . R </p><p> T . , () </p><p> . </p><p>6. </p><p> . , , - : 22 Y , - (6). </p><p> , (6) ( : (6) -), . -, , -, , (- ). [6]. . </p><p> - . , , R -, (8) (6) </p><p> 10 0 ,</p><p>0 0 .</p><p>Y R I</p><p>Y k R I</p><p> (16) </p><p> (6) (16). , 0Y h , : 0T Y h . </p><p> : 0 0F R Y h Y h . (17) </p><p> 30Y h k T , : 0T Y h , (17) </p><p> 30 0F R Y h k Y h . (18) </p></li><li><p> . </p><p> 80</p><p> , (18) - . , R R , 0F R , R </p><p> : 0,T Y h R , ,Y x R - (6) 0 0,Y R R I , 10 0,Y R k R I . </p><p> . , ,R R R R , </p><p> 0F R F R , ,R R R , R , : 0,T Y h R , ,Y x R (6) 0 0,Y R R I , 10 0,Y R k R I , . </p><p> NL. ,R R , -</p><p> ( 1)n , iR , 0,i n , 0R R , nR R . i : </p><p> 10 0 ,</p><p>0 0 .i</p><p>i</p><p>Y R I</p><p>Y k R I</p><p> i iF R , - jR 1jR , 1 0j jF R F R ( jR 1jR -). 1,j jR R , iR</p><p> , , . </p><p>, - (., , [7]). - , - (., , [810]). </p><p>7. </p><p> . 27 R T , I . </p><p> 2 , h , 1 , 2 , 3 , . I , </p><p> R R I . , . </p></li><li><p> 4 (24), 2012 - . </p><p> 81</p><p> . 2. R I . : </p><p>2 2,8 , 1 1 , 2 9 , 3 2 , 1h , 0,001 </p><p> . 3. T I . : </p><p>2 2,8 , 1 1 , 2 9 , 3 2 , 1h , 0 , 0,001 , 0,1 </p><p> . 4. R I . : 2 2,8 , 1 1 , 2 9 , 3 2 , 1h , 0,001 </p></li><li><p> . </p><p> 82</p><p> . 5. R </p><p> . : 2 2,8 , 1 1 , 2 9 , 3 2 , 1h , 1I </p><p> . 6. T I . : 2 2,8 , 1 1 , 2 9 , 3 2 , 1h , 0,001 </p><p> . 7. T </p><p> . : 2 2,8 , 1 1 , 2 9 , 3 2 , 1h , 1I </p></li><li><p> 4 (24), 2012 - . </p><p> 83</p><p> 1. Eleonski i , V. M. Cylindrical Nonlinear Waveguides / V. M. Eleonskii, L. G. Oga-</p><p>nesyants, V. P. Silin // Soviet physics JETP. 1972. V. 35, 1. P. 4447. 2. , . . . / . . , </p><p>. . . : , 2003. 304 c. 3. Smirnov, Yu. G. Electromagnetic wave propagation in nonlinear layered wave-</p><p>guide structures / Yu. G. Smirnov, D. V. Valovik. Penza : PSU Press, 2011. 248 c. 4. , . . / . . . . ; . : </p><p>, 1948. 540 . 5. , . . / . . . . : </p><p> , 1988. 440 . 6. Schrmann, H.-W. Reflection and transmission of a plane TE-wave at a lossless </p><p>nonlinear dielectric film / H.-W. Schrmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov // Physi-ca D. 2001. 158. P. 197215. </p><p>7. , . . / . . // . 1976. . 140. . 103129. </p><p>8. , . . -, / . . , . . // . 2013. . 58 ( ). </p><p>9. , . . - - , / . . , . . // . . - . 2012. 3. . 2937. </p><p>10. Valovik, D. V. Electromagnetic TM wave propagation in nonlinear multilayered waveguides. Numerical technique to obtain propagation constants / D. V. Valovik, E. V. Zarembo // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnet-ic Theory 2012, Proceedings. Kharkiv, 2012. P. 105108. </p><p> - , , , </p><p>Valovik Dmitry Victorovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University </p><p>E-mail: dvalovik@mail.ru </p><p> , </p><p>Ergasheva Ekaterina Rifkatovna Student, Penza State University </p><p>E-mail: mmm@pnzgu.ru </p><p> 517.927, 519.624 </p><p>, . . - / </p><p>. . , . . // . . - . 2012. 4 (24). . 7383. </p></li></ul>