Задачи и решения по эконометрике

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    08-Dec-2016

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  • N E W E C O N O M I C S C H O O L

    Stanislav Anatolyev

    INTERMEDIATE AND ADVANCED ECONOMETRICS P r o b l e m s a n d S o l u t i o n s

    S e c o n d e d i t i o n

    , 117418, , , 47 Suite 1721, Nakhimovsky Prospekt, 47, 117418, Moscow, Russia

    Tel: (7)(095) 129-3911 or 129-3722 fax: (7)(095)129-3722 E-mail nes@nes.ru http://www.nes.ru/

  • Stanislav Anatolyev Intermediate and advanced econometrics: problems and solutions

    Second edition

    KL/2005/011

    Moscow

    2005

  • .. . #KL/2005/011. .: , 2005 . 164 . (.) , . . : , , , , , , - , , , , , , , , . Anatolyev, Stanislav A. Intermediate and advanced econometrics: problems and solutions. #KL 2005/011 Moscow, New Economic School, 2005 164 pp. (Eng.) This manuscript is a collection of problems that the author has been using in teaching intermediate and advanced level econometrics courses at the New Economic School during last several years. All problems are accompanied by sample solutions. Key words: asymptotic theory, bootstrap, linear regression, ordinary and generalized least squares, nonlinear regression, nonparametric regression, extremum estimators, maximum likelihood, instrumental variables, generalized method of moments, empirical likelihood, panel data analysis, conditional moment restrictions, alternative asymptotics, higher-order asymptotics

    ISBN .., 2005 .

    , 2005 .

  • Contents

    I Problems 11

    1 Asymptotic theory 131.1 Asymptotics of transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Asymptotics of t-ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Escaping probability mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Creeping bug on simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Asymptotics with shrinking regressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6 Power trends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7 Asymptotics of rotated logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Trended vs. dierenced regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.9 Second-order Delta-Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Long run variance for AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.11 Asymptotics of averages of AR(1) and MA(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.12 Asymptotics for impulse response functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2 Bootstrap 192.1 Brief and exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Bootstrapping t-ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Bootstrap bias correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Bootstrapping conditional mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Bootstrap for impulse response functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3 Regression and projection 213.1 Regressing and projecting dice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Bernoulli regressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Unobservables among regressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Consistency of OLS under serially correlated errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Brief and exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    4 Linear regression 234.1 Brief and exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Variance estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Estimation of linear combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Incomplete regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5 Generated regressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.6 Long and short regressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.7 Ridge regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.8 Expectations of White and NeweyWest estimators in IID setting . . . . . . . . . . . 264.9 Exponential heteroskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.10 OLS and GLS are identical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.11 OLS and GLS are equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    CONTENTS 3

  • 4.12 Equicorrelated observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.13 Unbiasedness of certain FGLS estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    5 Nonlinear regression 295.1 Local and global identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Exponential regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Power regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Transition regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    6 Extremum estimators 316.1 Regression on constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2 Quadratic regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3 Nonlinearity at left hand side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.4 Least fourth powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.5 Asymmetric loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    7 Maximum likelihood estimation 337.1 MLE for three distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Comparison of ML tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.3 Invariance of ML tests to reparametrizations of null . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.4 Individual eects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.5 Misspecified maximum likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.6 Does the link matter? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.7 Nuisance parameter in density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.8 MLE versus OLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357.9 MLE versus GLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.10 MLE in heteroskedastic time series regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.11 Maximum likelihood and binary variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.12 Maximum likelihood and binary dependent variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.13 Bootstrapping ML tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.14 Trivial parameter space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    8 Instrumental variables 398.1 Inappropriate 2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.2 Inconsistency under alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.3 Optimal combination of instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398.4 Trade and growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408.5 Consumption function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    9 Generalized method of moments 439.1 GMM and chi-squared . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.2 Improved GMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.3 Nonlinear simultaneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.4 Trinity for GMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.5 Testing moment conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.6 Instrumental variables in ARMA models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.7 Interest rates and future inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.8 Spot and forward exchange rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459.9 Minimum Distance estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.10 Issues in GMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469.11 Bootstrapping GMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4 CONTENTS

  • 9.12 Eciency of MLE in GMM class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    10 Panel data 4910.1 Alternating individual eects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.2 Time invariant regressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4910.3 Dierencing transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5010.4 Nonlinear panel data model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5010.5 DurbinWatson statistic and panel data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    11 Nonparametric estimation 5311.1 Nonparametric regression with discrete regressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.2 Nonparametric density estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5311.3 First dierence transformation and nonparametric regression . . . . . . . . . . . . . 5311.4 Perfect fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.5 Unbiasedness of kernel estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.6 Shape restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5411.7 Nonparametric hazard rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    12 Conditional moment restrictions 5712.1 Usefulness of skedastic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.2 Symmetric regression error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.3 Optimal instrument in AR-ARCH model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5712.4 Optimal IV estimation of a constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.5 Modified Poisson regression and PML estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5812.6 Misspecification in variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5912.7 Optimal instrument and regression on constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    13 Empirical Likelihood 6113.1 Common mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.2 KullbackLeibler Information Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6113.3 Empirical likelihood as IV estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    14 Advanced asymptotic theory 6314.1 Maximum likelihood and asymptotic bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.2 Empirical likelihood and asymptotic bias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.3 Asymptotically irrelevant instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.4 Weakly endogenous regressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6414.5 Weakly invalid instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    II Solutions 65

    1 Asymptotic theory 671.1 Asymptotics of transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.2 Asymptotics of t-ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.3 Escaping probability mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.4 Creeping bug on simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.5 Asymptotics with shrinking regressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701.6 Power trends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.7 Asymptotics of rotated logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.8 Trended vs. dierenced regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.9 Second-order Delta-Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    CONTENTS 5

  • 1.10 Long run variance for AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.11 Asymptotics of averages of AR(1) and MA(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.12 Asymptotics for impulse response functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    2 Bootstrap 792.1 Brief and exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.2 Bootstrapping t-ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3 Bootstrap bias correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.4 Bootstrapping conditional mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.5 Bootstrap for impulse response functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    3 Regression and projection 833.1 Regressing and projecting dice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2 Bernoulli regressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.3 Unobservables among regressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.4 Consistency of OLS under serially correlated errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.5 Brief and exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4 Linear regression 874.1 Brief and exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Variance estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 Estimation of linear combination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.4 Incomplete regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5 Generated regressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.6 Long and short regressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.7 Ridge regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.8 Expectations of White and NeweyWest estimators in IID setting . . . . . . . . . . . 914.9 Exponential heteroskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.10 OLS and GLS are identical . . . . . . . . . ....

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