Поверхностные модели в системах трехмерной компьютерной графики: Учебное пособие

  • Published on
    08-Dec-2016

  • View
    221

  • Download
    8

Transcript

  • 1

    ..

    2007

  • 2

    681.3 .. . . : , 2007. 60 .

    . , . .

    .

  • 3

    . 4

    1 .. 6

    1.1 .... 6

    1.2 ......

    8

    2 .. 12

    2.1 ..... 12

    2.2 .. 13

    2.3 .... 15

    2.4 ...... 18

    2.5 .... 20

    2.6 ...... 25

    3 ........

    29

    3.1 ........ 29

    3.2 ...... 32

    3.3 ...... 38

    .. 53

    ....... 54

    . ....

    54

    . B- ....

    56

    . - ...

    58

  • 4

    , ,

    : Photoshop, Corel Draw, .

    . (

    .., ..), ,

    , ,

    . ,

    ,

    , , . ,

    , , , .

    , , ,

    ,

    , , .

    .

    ,

    .

    .

    , ,

    , . ,

    , :

    ( ),

    .

    ,

    .

    (3D2D)

    .

  • 5

    ,

    , (), .

    .

    ,

    ,

    .

    ,

    .

    ,

    .

    [1,,5].

    ,

    : jkos@ diamond.stup.ac.ru

  • 6

    1

    1.1

    , ,

    (), ,

    , ()

    ( ).

    . ,

    ,

    ( )

    .

    , .

    .

    -

    . -.

    . ,

    . , .

    , .

    :

    , , , .

    , .

    , , ,

    ,

    .

  • 7

    : , ,

    .

    , .

    : , , .

    ,

    ,

    . ,

    ,

    , . ,

    (),

    .

    . (),

    . ,

    .

    .

    ,

    .

    :

    ,

    .

    . -,

    " " ,

    -, ,

    .

    .

    (, ,

  • 8

    ), .

    ,

    .

    , ,

    .

    1.2

    .

    . [2]: ,

    .

    ,

    . ,

    , .

    .

    , ,

    ,

    . ,

    , . ,

    , ,

    ,

    (" "). ,

    "" ,

    . ,

  • 9

    ,

    ( ). ,

    ,

    .

    ,

    ,

    .

    .

    1.1.

    -,

    , .

    , ,

    .

    , ,

    .

    , ,

    .

    ,

    .

    , , .

    ,

    .

    .

    . , ,

    , ().

    . ,

    , .

  • 10

    -

    -

    -

    -

    -

    1.1

  • 11

    . ,

    ,

    . ()

    .

    ,

    , .

    .

    .

    , .

    ,

    . ,

    , .

    , ,

    , .

    , ,

    . ,

    , , . ,

    -. ,

    , .

    , -

    .

    , .

    .

    ().

    , ,

    . -

    .

  • 12

    . ""

    , , , ,

    R- [2].

    .

    .

    ,

    - .

    , ,

    .

    , ,

    [1,2,4]. -

    .

    2

    2.1

    ,

    : .

    ,

    , .

    , 1.2.

    .

    ,

    .

    .

    , .

    ( ) ,

    .

  • 13

    (

    ),

    () .

    , .

    ,

    .

    ,

    . .

    , .

    ,

    . ( )

    ,

    .

    .

    .

    ,

    .

    2.2

    . ,

    ,

    . ,

    , .

    ( )

    .

  • 14

    .

    ,

    ,

    .

    ( ) .

    ,

    , .

    , . , -

    , ,

    , -, ,

    .

    [6,7].

    .

    ,

    ( ).

    .

    ( ),

    .

    ,

    : , , ,

    [2,7]. . ,

    ,

    . ,

    ..

    ( ),

    ( ).

  • 15

    . -

    ,

    ,

    .

    ( ).

    ,

    .

    [7].

    , .

    .

    ,

    . , -

    .

    .

    2.3

    ,

    .

    .

    ,

    .

    R R M = , (2.1) R - : R x y z= 1 ;

    R - (h ):

  • 16

    R x h y h z h h = ;

    M 44.

    ,

    ( , ). ,

    .

    ,

    . (DL), (TR),

    (RT) (PR) :

    ,

    1000

    100000100001

    ,

    1000000

    ,

    1010000100001

    ,

    1000000000000

    332313

    322212

    312111

    000

    ==

    ==

    v

    z

    y

    x

    zPR

    ttttttttt

    RT

    zyx

    TRM

    MM

    DL

    (2.2)

    M M Mx y z, , ;

    x y z0 0 0 , , ,

    ;

    t t11 33,..., ;

    vz .

    : x ( ), y () z ().

    .

    :

    .

    .

  • 17

    ,

    -. x

    y, y z, z x ,

    .

    . ,

    ( zv) ,

    , .

    :

    .

    1000010000cossin00sincos

    ,

    10000cos0sin00100sin0cos

    ,

    10000cossin00sincos00001

    =

    =

    = ZYX RTRTRT

    :

    .

    1000010000cossin00sincos

    ,

    10000cos0sin00100sin0cos

    ,

    10000cossin00sincos00001

    =

    =

    = ZYX RTRTRT

    M, ,

    () .

    . ,

    (xp,yp,zp)

    : 1) ,

    (xa,ya), 2)

    . RTZ

    z, , RTZ

    .

    (xa ),(ya), .

    .

    TR1. ,

    , (+xa),(+ya) TR2.

  • 18

    ,

    PR. (2.1),

    : M=TR1RTTR2PR.

    :

    ,

    10010000100001

    2,

    10010000100001

    1

    aaaa yx

    TR

    yx

    TR =

    = .

    1000010000cossin00sincos

    =ZRT

    2.4

    , , .

    , (

    ) . ,

    .

    L ,

    , N ,

    . ,

    . ,

    L N :

    cos =

    L NL N

    .

    ( )sgn L N > 0 , .

    L N :

    ,zzyyxx nlnlnlNL ++=

    lx, ly, lz nx, ny, nz L N ,

    .

  • 19

    ,

    .

    ,

    . lx=ly=0, lz= L .

    F(x,y,z),

    . ,

    :

    F(x,y,z)=Ax+By+Cz+D,

    A,B,C,D , .

    nz

    CzFnz =

    =

    vp : vp=sgn .

    ,

    .

    [6,7].

    . ,

    .

    z- ( )

    , ()

    .

    ,

    ( ).

    ,

    , .

    , , . ,

    ,

  • 20

    ,

    , .

    z-

    .

    .

    2.5

    ,

    ,

    .

    .

    (, )

    , .

    , ,

    ( ),

    .

    , "" .

    .

    ,

    (, , .).

    . -.

    . ,

    .

    22, . ,

    .

  • 21

    , -

    .

    . ,

    ,

    . ,

    .

    .

    , .

    ( )

    . ,

    .

    .

    .

    ,

    .

    , ,

    . 2.1

    , s,t, ,

    u,v.

    1 0.5

    1

    0 0

    s

    t

    a

    b

    c 1

    1

    0 0

    u

    v

    a

    b

    c

    2.1 : () () ()

  • 22

    , . , , 2.1,

    ,CBvAus ++= (2.3)

    ,FEvDut ++= (2.4)

    A,,F .

    .

    2.1

    , a,b c:

    a (2.3) 0=A0+B0+C, (2.4) 0=D0+E0+F,

    b (2.3) 0.5=A0+B1+C, (2.4) 1=D0+E1+F,

    c (2.3) 1=A1+B0+C, (2.4) 0=D1+E0+F.

    : A=E=1, B=0.5, C=D=F=0.

    s=u+0.5v,

    t=v,

    .

    .

    . ,

    -.

    , , ,

    .

    -,

    . ,

    ,

  • 23

    .

    ,

    .

    .

    , .

    ,

    .

    .

    , .

    ,

    , .

    ,

    .

    () .

    ,

    4 ( ) .

    .

    ,

    .

    , .

    mip-mapping [7].

    .

    .

    ,

    .

    ,

    , , ,

  • 24

    .

    ,

    [7]. I

    I, I , d

    , , ,

    :

    ( ),coscos nkkKdI

    kII ++

    +=

    ,kk

    ;

    k ;

    K ;

    - ;

    -

    ;

    n ,

    ( ).

    .

    , .

    .

    ,

    .

    .

    ,

    . ,

    , .

    ()

  • 25

    ,

    .

    ,

    .

    ,

    .

    ,

    .

    .

    2.6

    ,

    . :

    .

    2.2, v, o, p

    , .

    . :

    ;

    . ,

    ( V)

    ( );

    ( P1,P2), ,

    , ;

    .

    , , ( );

  • 26

    V

    1

    2

    s

    t

    xv

    yv

    zv

    x

    y

    z

    x

    z

    y

    2.2

  • 27

    .

    "".

    , .

    , -,

    ("") , -,

    .

    () .

    :

    , .

    ( );

    ,

    V;

    , ;

    ;

    , .

    ,

    ,

    .

    ,

    .

    , 2.2 ().

  • 28

    ( )

    , .

    .

    . ""

    , .

    .

    :

    ,

    .

    (-)

    .

    2.3.

    .

    -

    . ()

    .

    . ()

    ,

    .

    . ,

    , ,

    .

    (),

    z-

    2.3

  • 29

    . (),

    ().

    - ,

    .

    ,

    - .

    , , .

    3

    3.1

    () , ,

    .

    .

    , .

    V:

    V={v1,v2,,vL}, vi=(xi,yi,zi), L ;

    E:

    E={e1,e2,,eM}, ej=(pvj1,pvj2,fj1,fj2), M ;

    P:

    P={p1,p2,,pN}, pk=(pek1,pek2,,pekR), N ,

    R k- .

    vi, V,

    . ej

    .

    . , -,

  • 30

    pvj1,pvj2 ,

    j- , -, fj1,fj2

    .

    ,

    . pk

    .

    3.1

    , P1, P2,

    .

    , 3.1, P2

    .

    P2.

    , ,

    , .

    .

    N , , nx, ny,

    nz ( ), N

    .

    N = nxi + nyj + nzk ,

    P1 P2

    v1

    v3 v2

    v4

    e1

    e2 e4

    e3

    e5

    V={(x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3), (x4,y4,z4)};

    E={(pv1,pv2,1,0), (pv1,pv3,1,0), (pv2,pv3,1,0),

    (pv2,pv4,0,0), (pv3,pv4,0,0),};

    P={(pe1,pe2,pe3),( pe3,pe4,pe5)}.

    3.1

  • 31

    i,j,k , x,y z,

    ().

    ,

    , .

    2,1 RR ,

    ,

    3.2.

    N

    ,sin2121 == RRRRN

    3- [1]

    ,

    222

    111

    zyx

    zyx

    rrrrrrkji

    N =

    r1x,,r2z 2,1 RR .

    nx, ny, nz i, j, k,

    , 2- ,

    i-, j-, k- .

    ( )( ) ( )( )

    ( )( ) ( )( )

    ( )( ) ( )( ),

    ,

    ,

    1213131222

    11

    1213131222

    11

    1213131222

    11

    yyxxyyxxrrrr

    n

    zzxxzzxxrrrr

    n

    zzyyzzyyrrrr

    n

    yx

    yxz

    zx

    zxy

    zy

    zyx

    ==

    ==

    ==

    xn, yn, zn n- (n=1,2,3).

    .

    N

    1R

    2R V1

    V2

    V3

    3.2

  • 32

    . , -

    , ,

    .

    ,

    .

    (strip).

    ,

    .

    DirectX OpenGL [8]

    .

    3.2

    ,

    , .

    , , .

    ,

    .

    , ,

    .

    -

    (): ( ), , ,

    , .

    , .

    , , :

  • 33

    ,2222 Rzyx =++

    R .

    ()

    .

    : ,0),,( 2222 =++= RzyxzyxF

    : .),( 222 yxRyxz =

    ,

    ,

    , F(x,y,z)

    .

    , x,y ,

    z ( ).

    ,

    .

    , , [5].

    . .

    , -

    .

    .

    , , , , z

    P

    x y

    z

    P

    y

    z

    x

    z

    , , , z

  • 34

    ,

    z

    ...0,2..0, === R ...,2..0,22 RRzzR +===

    .cos,sinsin,cossin

    ===

    zyx

    .

    ,sin,cos

    zzyx

    ===

    , ,

    .

    .

    .

    .

    - .

    . -

    .

    ,

    , ,

    [3]. ,

    ,

    .

    . ,

    ( i+1) ,

    i () :

  • 35

    ( )( ) .sinsincoscoscoscos

    ,sincoscossinsinsin

    1

    1

    =+=+=+=

    +

    +

    iiii

    iiii

    sin , cos ,

    sin i, cos i .

    : sin 0=0, cos 0=1.

    ,

    . ,

    . , i-

    , , ,

    -

    .,,

    ii

    iizi

    ii

    iiyi

    ii

    iixi

    vy

    vx

    uy

    ux

    n

    vx

    vz

    ux

    uz

    n

    vz

    vy

    uz

    uy

    n

    =

    =

    = (3.1)

    u v , , .

    u v

    ,

    nx, ny, nz

    ,

    . , ,

    ,

    .

    : ( ) ( ) ( ).,,,,,,,,

    zzyxFn

    yzyxFn

    xzyxFn ziyixi

    =

    =

    =

    ,

    , , : nx=x, ny=y, nz=z.

  • 36

    ( ,

    ).

    ,

    . ""

    .

    ,

    .

    z . z

    .

    z ,

    . 3.3

    ,

    , z. ,

    A, zA,

    .

    ,2,..,0,,..,,

    ,sin

    ,cos

    maxmax

    ===

    =

    =

    zzzzz

    fy

    fx

    y

    x

    (3.2)

    fx , fy ( z) ,

    .

    (3.2)

    . , ,

    . 3.3

    A( AAA zyx ,, ) A

    y x

    z

    Az

    A

  • 37

    ,

    . fx , fy

    3.1, , ,

    N (nx,ny,nz).

    3.1

    -

    fx 2)(1 cza za zca )( a 2)(1 cza +

    fy 2)(1 czb zb zcb )( b 2)(1 czb +

    nx 2ax 2ax

    2ax 2ax

    2ax

    ny 2by 2by

    2by 2by

    2by

    nz 2cz 21 2cz 0 2cz

    3.1 : a b -

    , z

    z=0,

    z=1, z=c ,

    ; c ,

    , .

    -

    , . ,

    ,

    ,

    .

  • 38

    .

    3.3

    , ,

    ,

    . () ,

    .

    , 3D-

    .

    .

    .

    , .

    () .

    , .

    ,

    .

    ,

    .

    - .

    (spline) .

    .

    ( ) , ,

    .

    ,

    . , ,

  • 39

    ,

    , .

    , , ,

    .

    - .

    1 2, 3.4,

    S ,

    .

    , S

    .

    ,

    S :

    1) 2)

    1 2,

    ;

    3) 4) S 1 2

    (),

    .

    S ,

    .

    , , ,

    ,23 dcxbxaxy +++= a,b,c d.

    :

    1 2 S

    3.4 -

  • 40

    1) 1 ,121

    311 dcxbxaxy +++=

    2) 2 ,222

    322 dcxbxaxy +++=

    3) 1

    ,23 1211 cbxaxy ++=&

    4) 2

    .23 2222 cbxaxy ++=&

    , ,

    , .

    .

    () . ,

    .

    ,

    0 3. ,

    [3].

    ,

    .

    .

    . -,

    . -,

    , .

    .

    . , -, ,

    ,

    ,

    . ,

  • 41

    ( )( )( )( )

    = ==++++

    +++++

    +++++

    ++++=

    3

    0

    3

    0

    3333

    2323130

    2323

    2222120

    1313

    2121110

    0303

    2020100

    ,

    ),(

    i j

    ijjiXXXXX

    XXXX

    XXXX

    XXXX

    vuCvuCuCuCC

    vuCuCuCC

    vuCuCuCC

    vuCuCuCCvux

    (3.3)

    ,1,..,0 ,1,..,0 == vu

    u , v ( -);

    CX 00 ,...,CX 33 ,

    .

    y(u,v) z(u,v),

    CY 00 ,...,CY 33 CZ 00 ,...,CZ 33 , .

    (3.3) . u,v

    ,

    .

    . (3.3)

    ,

    .

    3.5.

    CP

    v

    u

    vCP

    uCP

    x

    y

    z

    xCP

    yCP zCP

    3.5

    0

    1

    1

  • 42

    .

    . ,

    ( ,

    ) ,

    ( )

    (

    ) [1,3].

    , .

    ( ),

    .

    ,

    .

    (3.3), ,

    .

    ,1..0,1..0,)()(),(

    ,)()(),(

    ,)()(),(

    3

    0

    3

    0

    3

    0

    3

    0

    3

    0

    3

    0

    ===

    =

    =

    = =

    = =

    = =

    vuPufvfvuz

    Pufvfvuy

    Pufvfvux

    i jjiZji

    i jjiYji

    i jjiXji

    (3.4)

    PX , PY , PZ x, y z- ;

    )(,)( vfuf ji ,

    -.

    )(,)( vfuf ji

    , .

    , :

  • 43

    x u v U M P M Vy u v U M P M Vz u v U M P M V

    XT T

    YT T

    ZT T

    ( , ) ,( , ) ,( , ) ,

    =

    =

    =

    (3.5)

    U, V u v:

    U u u u V v v v= =3 2 3 21 1, ;

    P P PX Y Z, , , x, y z

    , , , 3.6,

    ;

    33323130

    23222120

    13121110

    03020100

    xxxxxxxxxxxxxxxx

    PX =

    M , ,

    .

    . ,

    . ,

    .

    ,

    , (,

    ) . ,

    .

    , , ,

    .

    , (

    (3.5)) .

    .

    u, v.

  • 44

    3.6

    , 16 P00,,P33.

    .

    u, v (Puv)

    (

    ). ,

    v=const, , v=0,

    v=v, v=2v , v

    v.

    ,

    .

    (3.4)

    f u C u u f v C v vi mi i m i

    j nj j n j( ) ( ) , ( ) ( ) ,= = 1 1

    Cmi , Cn

    j ,

    (3.5) :

    M =

    1 3 3 13 6 3 03 3 0 01 0 0 0

    .

    3.6

    0

    x

    y

    P00

    P30

    P03

    P33

    z P10

    P20

    P01 P02

    u

    v

    P13 P23

  • 45

    , ,

    , 00. .

    (3.5) u=v=0,

    :

    =

    =

    =

    =

    =

    1000

    0001003303631331

    1000

    0001003303631331

    0001

    1000

    0001003303631331

    0001003303631331

    1000),(

    03020100

    33323130

    23222120

    13121110

    03020100

    33323130

    23222120

    13121110

    03020100

    xxxx

    xxxxxxxxxxxxxxxx

    xxxxxxxxxxxxxxxx

    vux

    ( ) ( ) ( ) ( ) .

    1000

    3336333 0000010002010003020100 xxxxxxxxxxx =++++=

    .

    : .

    ,

    . ,

    :

    .

    : u,

    v .

    , 3.7.

    S1,,S4. ,

    3.6 ( ).

  • 46

    ,

    .

    , -,

    .

    .

    , ,

    . ,

    .

    ,

    . ()

    . ,

    ,

    .

    3DStudioMAX.

    , -

    u,v (0,1)

    P1-33 P2-03 P3-00 P4-30

    S1

    S2 S3

    S4

    3.7

  • 47

    .

    , MathCAD.

    ,

    , - (-).

    (3.5). -

    , , , ,

    . -

    (3.4) [3]

    f u u f u u u

    f u u u u f u u

    03

    13 2

    23 2

    33

    16

    1 16

    3 6 4

    16

    3 3 3 1 16

    ( ) ( ) , ( ) ( ) ,

    ( ) ( ) , ( ) ,

    = = +

    = + + + = (3.6)

    ( fj(v) ,

    u v), M

    M =

    16

    1 3 3 13 6 3 03 0 3 01 4 1 0

    .

    (3.5) ,

    , , -

    . ,

    u=v=0 :

    ( ).441644361),( 221202211101201000 xxxxxxxxxvux ++++++++= (3.7)

    ,

    , ,

    . 11, ,

    u

    v.

  • 48

    B-

    . 16 ,

    44 , -

    .

    , 11, 12, 21, 22.

    ,

    u v ,

    11. MathCAD-

    - ,

    . ,

    u,v (0,1) -

    , .

    ,

    - ,

    . -

    ,

    .

    :

    1)

    . u,v.

    - ;

    2) 16 ( 4

    ). (3.5)

    ;

    3)

    u v.

    12 4 .

    (3.5)

    ;

  • 49

    4) 3) ,

    .

    .

    .

    -

    ,

    () .

    ,

    ,

    .

    . ,

    , .

    .

    .

    , ,

    .

    , , , mn ,

    (2m+2n+4) .

    3.8 ( -).

    16 - (00, 30,

    03, 33 ).

    ,

    . ()

    ,

    . , , ,

    , .

    . ,

    . .

    .

  • 50

    , ,

    , ,

    , .

    .

    , , ,

    , .

    , , ,

    00.

    (3.7). 00=10=01=11, 00

    , 3625 ,

    , 361 .

    , , -

    , .

    , .

    .

    P30

    P33

    3.8

    P00

    P03

  • 51

    , 3.8. ,

    (2m+2n+12).

    , 3.8,

    (

    ). .

    , . ,

    , ,

    , .

    .

    , MathCAD-

    .

    ,

    .

    ,

    .

    ,

    ,

    .

    , . ,

    (3.1), . ,

    , ,

    .

    .

    B- (Non-Uniform Rational B-

    Splines NURBS). (

    ),

  • 52

    .

    x u vw f u f v P

    w f u f v

    i j i j X i jji

    i j i jji

    ( , )( ) ( )

    ( ) ( ),= ==

    ==

    0

    3

    0

    3

    0

    3

    0

    3 (3.8)

    wi j ,

    .

    y u v z u v( , ) ( , ) (

    P PY Z ). f u f vi j( ) , ( )

    , -.

    B-

    . ,

    (3.8), ),,( ZYX PPP

    .

    .

    :

    ,),( TTTT

    VMWMUVMWXMUvux

    =

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

    ,,

    33323130

    23222120

    13121110

    03020100

    3333323231313030

    2323222221212020

    1313121211111010

    0303020201010000

    wwwwwwwwwwwwwwww

    W

    xwxwxwxwxwxwxwxwxwxwxwxwxwxwxwxw

    WX =

    =

    WX

    ;

    W .

    ,

    .

    NURBS .

  • 53

    1. ., . .

    : . . .: , 1982. 304 .

    2. .., .. / .

    .. . .: , 1995. 224 .

    3. ., . : .

    . .: , 2001. 604 .

    4. .. .

    .: -, 2003. 560 .

    5. .. . .:

    - , 2002. 472 .

    6. . : . . .:

    , 1989. 512 .

    7. . .

    OpenGL, 2 .: . . .: , 2001.

    592 .

    8. .., .. / . ..

    .: , 2005. 520 .

  • 54

    Y

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    2

    3

    3

    3

    3

    .

    () .

    3.6.

    , 1.

    1

    00 10 20 30 01 11 21 31 02 12 22 32 03 13 23 33

    xuv 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

    yuv 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

    zuv 0 1 -1 0.5 2 1.5 0 0.5 2 1.8 1.5 1.8 1.5 2 1.5 1.5

    xx, yy, zz.

    (3.5)

    .,,

    TT

    TT

    TT

    VMZMUzzVMYMUyyVMXMUxx

    =

    =

    =

    X

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    Z

    0

    1

    1

    0.5

    2

    1.5

    0

    0.5

    2

    1.8

    1.5

    1.8

    1.5

    2

    1.5

    1.5

  • 55

    M

    1

    3

    3

    1

    3

    6

    3

    0

    3

    3

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    xx,yy,zz. nu,nv,

    (0,10).

    u,v . 10

    , 0.1.

    .

    :

    nu 0 10..

    unu 0.1 nu.

    - U V,

    . u v

    . ,

    u v .

    .

    .

    Unu 0, unu3

    Vnv 0, vnv3

    MT MT

    nv 0 10..

    vnv 0.1 nv.

    Unu 1, unu2 Unu 2, unu Unu 3, 1

    Vnv 1, vnv2 Vnv 2, vnv Vnv 3, 1

  • 56

    v.

    VT VT

    xx U M. X. MT. VT.

    (Surface Plot)

    xx yy, zz,

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    0

    0.5

    1

    1.5

    . B-

    () -.

    3.6,

    :

    yy U M. Y. MT. VT. zz U M. Z. MT. VT.

  • 57

    Y

    0

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    2

    3

    3

    3

    3

    X

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    -

    M

    1

    3

    3

    1

    3

    6

    0

    4

    3

    3

    3

    1

    1

    0

    0

    06

    (3.5). ,

    .

    .

    :

    nu 0 10..

    unu 0.1 nu.

    , -.

    Unu 0, unu3

    Vnv 0, vnv3

    Z

    0

    1

    1

    0.5

    2

    1.5

    0

    0.5

    2

    1.8

    1.5

    1.8

    1.5

    2

    1.5

    1.5

    MT MT

    nv 0 10..

    vnv 0.1 nv.

    Unu 1, unu2 Unu 2, unu Unu 3, 1

    Vnv 1, vnv2 Vnv 2, vnv Vnv 3, 1

  • 58

    v.

    VT VT

    xx U M. X. MT. VT.

    (Surface Plot)

    xx yy, zz,

    11.2

    1.41.6

    1.8

    1

    1.5

    2

    0.5

    1

    1.5

    . -

    -,

    MathCAD- .

    ,

    .

    yy U M. Y. MT. VT. zz U M. Z. MT. VT.

  • 59

    1

    ( )

    2 ( )

    xx yy, zz,

    11.2

    1.41.6

    1.8

    1

    1.5

    2

    0.5

    1

    1.5

    xx yy, zz,

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0.20.4

    0.60.8

    1

    0.5

    1

    1.5

    xx yy, zz,

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    0

    0.5

    1

    1.5

    xx yy, zz,

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    0

    0.5

    1

    1.5

  • 60

    3

    ( )

    4 ( ).

    xx yy, zz,

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.050.1 0.150.2

    0.4

    0.6

    xx yy, zz,

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    xx yy, zz,

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    0

    0.5

    1

    1.5

    xx yy, zz,

    0

    1

    2

    3

    0

    1

    2

    3

    0

    0.5

    1

    1.5

Recommended

View more >