Математическое моделирование школьникам. 1 Линейные модели

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    27-Dec-2016

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  • . .

    1

    2007

  • 517.122 22.143

    A-13

    - - - -

    : .-. , . .

    : .-. . ., .-. . .

    A-13 . . 1. -

    : / .: -, 2007.112 .

    ISBN 978-5-93000-045-0

    , , , , , - , , , . . , .

    ISBN 978-5-93000-045-0 c , 2007

    c ..,2007

  • 5

    6

    1. 71.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. . . . . . . . 171.4.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2. 282.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2. . . . . . . 312.3.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3. 423.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2. . . . . 473.3. . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. . . . . . . . . . . . . . . . 533.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    4. 574.1.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.

    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5. . . . . . 684.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

  • 4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5. - 765.1. . . . . . . . . . . . . . . . . 765.2. . . . . . . . . 785.3. . . . . . . . . . . . . . . . 825.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    6. 916.1. 916.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3.

    - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    103

    110

  • - - , - - . - , , - . , - , , , , , - () . . , , - - , , - , . - . - - -, , -, . , , . - , , , -, -. - , .

    , -, , , , - , , .

    . .

  • , , - . - .

    -, . , - , -.

    - ( ), , , , , , - .

    - , , , -, - .

    , 41 . . - - - .

    , .

    . .

  • 1.

    1.1.

    . ( ) . - . , . . (-) ().1 , . -.2 .

    . l, O, - . O , , . - M, l, x R :

    (1) O x = 0;(2) M ,

    x := OM , OM OM ;

    (3) M , - x := OM .

    x M . x R M l: x = 0, M = O; x > 0, M - OM x; x < 0, M OM - x. , (-

    1 . . [11].

    2 (15961650) , , -. (1637) - .

  • 8 1.

    , . [14]):

    -

    ,

    .

    , C AB, c a b A B -, . . , A , a < c < b.

    . . - O. . , , - . - . - , , ( Ox), - , , ( Oy). - xOy.

    6

    -O

    1

    1 x

    y

    M

    x0

    y0

    . 2.

    M (x0; y0), x0 y0 - M Ox Oy -. x0 M , y0 M (.. 2).

    , - - (. [14]), - :

    -

    -

    .

    , :(1) -

    ;

  • 1.1. 9

    (2) - , - .

    . X , . . X R. x X ( ) f - y. y f(x). , , X, , , X R, f : X R. f(x) x f f x y = f(x) f : x 7 y. x X - . x - x0, . . x := x0, x0 f(x0) y0 = f(x0). - X f . , y = f(x) (x X), - .

    : , -, , . .

    () : y = 6x+ 20.() :

    x 10 11 12 13 14 15 16 17y 80 88 96 104 112 120 128 136

    () : 1, - 0, . .

    () : -, , - , . y = |x|. ,

    y = |x| :={

    x, x > 0,

    x, x < 0.

    () (. . 1):

  • 10 1.

    6

    -O

    32

    3

    x

    y

    . 1.

    f : X R g : Y R - f = g, X = Y f(x) = g(x) x X. , , , (), y = 2x + 3 (x R); , (), y = 8x(x {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}), , (), y =

    x2.

    graph(f) f : X R (x; f(x)), x - X; ,

    graph(f) := {(x; f(x)) : x X}.

    xOy. - , f : M R - xOy (x; f(x)), x -.

    . -. (VVI . . .) . (16431727), -, . , XVII - , XVII , (15691650) , - ; - . , , . - (16011665) ,

  • 1.2. 11

    1694 . - (16461716), . . , , -. , -. (17071783). - (18051859). . . . ( ) . , ( ) - [3].

    1. .2. ?3. .4. .5. ?6. -

    .7. ?8. -

    .

    1.2.

    . R R - , y = kx + b(x R), k b (-), x .

    y = kx+ b.1.

    R.2. , b = 0; , k = 0;

    , k 6= 0 b 6= 0.3. y = kx + b k 6= 0

    x = b/k, k = 0 b 6= 0, k = 0 b = 0.

    4. y = kx + b k > 0 (. . 3) k < 0 (. . 3).

  • 12 1.

    6

    -O

    y = kx+ b

    bk

    b

    x

    y

    k > 0

    )

    6

    -O

    bk

    b

    x

    y

    y = kx+ bk < 0

    )

    . 3.

    6

    -O x

    y

    y = kx,

    k > 0

    . 4.

    . . b = 0, y = kx ( -). - , - (. . 4).

    . k = 0, - y = b . , Ox (b 6= 0) Ox (b = 0).

    (-), Oy ( Ox) . -, , . y = kx+ b, k b , . .

    1. . , -

    y = kx+ b, k b , - .

  • 1.2. 13

    C . - l .

    1. l (. 5). - Oy , , (0; b). l Ox, y = b. y 6= b. -, , (0; b) y = b.

    6

    -O x

    y

    b l

    a)

    6

    -x

    y

    O

    M

    M1x0

    y0

    N

    N1x1

    y1

    )

    6

    -O x

    y

    N

    x1

    y1

    N1

    M

    x0

    y0

    M1

    )

    6

    -

    l

    l

    O

    K

    B

    M

    x

    y

    x

    y

    )

    . 5.

    6

    -O x

    y

    K

    M

    l

    l

    B

    x

    y

    )

    2. l -. l , . . I III (. . 5) l - , . . II IV (. . 5).

    l M(x0; y0) - N(x1; y1), M N

  • 14 1.

    . M N , - Oy. M1(x0; 0) N1(x1; 0) - Ox.

    , MOM1 NON1 , MOM1. :

    MM1M1O

    =NN1N1O

    .

    : l I III - (. 5), MM1M1O = k, l -

    II IV (. 5), MM1M1O = k.

    y0x0=

    y1x1= k.

    N(x1; y1) , (x; y) l, . . yx = k. , (x; y) l y = kx, l - y = kx.

    3. l . Oy , -, B(0; b), b 6= 0. - l b > 0 . 5 5. b < 0 .

    l, - l. l M(x; y) - , Oy. K l - OBKM . OB MK OB = b, MK = b, K (x; kx). M(x; y) l - y = kx, K (x; kx + b), . . y = kx+ b. (x; y) l y = kx+ b, . . l y = kx+ b

    . y = kx+ b. y = kx+ b (x; kx+ b) .

  • 1.2. 15

    (0; b) (1; k+ b), - . (0; b) (1; k + b) l. , l - , , y = kx+b. (0; b) (1; k + b) , -: b = b, kx+b = kx+b, . . k = k. l y = kx+ b, .

    . y = kx + b - , (0; b) (b/k; 0).

    k b. b - . - y = kx+ b Oy.

    k y =kx+ b. k > 0, - , . . k = tg ( . 6 = MNM )., - tg = MM

    M N = k (. 1, 2).

    k < 0, , - (k = tg) (. 6 = MNM ). , tg = MM

    M N = k (. - 1, 2).

    6

    -O

    y = kx+ b

    M

    M

    x2

    y2

    Nx1

    x

    y

    k > 0

    )

    . 6.

    6

    -O

    y = kx+ b

    x

    y

    k < 0

    Nx1

    M

    M

    x2

    y2

    )

    . y = k1x+ b1 y = k2x+ b2.

    , , , k1, k2, b1 b2.

  • 16 1.

    () , k1 = k2 b1 = b2.

    6

    -O x

    y

    y = k1x+ b1

    y = k2x+ b2

    . 7a.

    C , k1 = k2 b1 = b2, , - . -, y =k1x+ b1 y = k2x+ b2 , . .

    graph(f1) = {(x; k1x+ b1) : x R} == graph(f2) = {(x; k2x+ b2) : x R},

    (. . 7). (x1; k1x1+b1) (x2; k2x2+b2) -, x1 = x2 k1x1 + b1 = k2x2 + b2.

    k1x + b1 = k2x + b2 x R. , (k1 k2)x = b2 b1, x, x := 0 , b1 = b2, x := 1 k1 = k2. B

    () , k1 = k2 b1 6= b2.

    C k1 = k2 , (. .7). b1 6= b2, (a). -, .

    , y = k1x + b1 y = k2x + b2. - . - c 6= 0 , y = k1x+ b1 + c y = k2x+ b2. , k1x+ b1 + c = k2x+ b2 x R. , (), b2 = b1 + c 6= b1 k1 = k2. B

    6

    - O x

    yy = k1x+ b1

    y = k2x+ b2

    )

    6

    -O x

    y

    y = k1x+ b1

    y = k2x+ b2

    )

    . 7.

  • 1.3. 17

    () , k1 6= k2.C ,

    . () () - , k1 6= k2,(. . 7 ).

    , k1 6= k2, , () (). B

    1. .2. .3. ?4. y =

    kx + b?5. -

    ?6. y = kx?7. y = b?8. y = k1x + b1

    y = k2x + b2 , , ?

    1.3.

    . ax+by+c = 0, a, b, c - (), x y , ( 1- ) . a b , c .

    x0 y0 x y , - , . (x; y). - x y (x0; y0), x0 x y0 y.

    - . , . -, (. . -). ,

  • 18 1.

    . . , - , .

    - . . , , .

    (a) a 6= 0 b 6= 0. ax+by+c = 0 - y y = abx cb . , ax + by + c = 0 y = abx cb . , - , . 1 1.2. , , - (0; cb ) ( ca ; 0), (. 8).

    6

    -O x

    y

    ca

    cb

    ax+ by + c = 0

    a 6= 0, b 6= 0

    a)

    6

    -O x

    y

    cb

    ax+ by + c = 0a = 0, b 6= 0

    )

    . 8.

    6

    -O x

    y

    ca

    ax+ by + c = 0a 6= 0, b = 0

    )

    () a = 0, b 6= 0, 0x+ by+ c = 0. - y, y = c/b x, . 1 . 1.2. - . , , (0;c/b) . , (x;c/b), x (. 8).

  • 1.3. 19

    () a 6= 0, b = 0, ax + 0y + c = 0. x x = c/a y . - y, x.

    , Oy - (c/a; 0) . (c/a; y), y (. 8).

    () , a b -. a = 0, b = 0, 0x + 0y + c = 0. c 6= 0 , . c = 0 - (x; y), , xOy .

    ()() 1 . 1.2 .

    2. ax+by+c = 0, a b , . -,

    -

    , .

    ax+by+c = 0 - . , , - , -, , - . , ax + by + c = 0 6= 0, , .

    1. .2. a, b c ax + by + c = 0?3. -

    ?4. ?5. ?6. -

    ?

  • 20 1.

    7. ?

    1.4.

    . , .

    - (x0; y0), .

    . -, .

    -. l1 l2, a1x+b1y+c1 = 0 a2x+b2y+c2 =0, , ai, bi, i = 1, 2 - . , , . - a1, b1, a2, b2 c1, c2, .

    (1) l1 l2 , , a1 = a2, b1 = b2 c1 = c2.

    C , , . . a1 = a2,b1 = b2 c1 = c2, l1 l2 .

    . l1 l2 . l1 l2, 1.3 () a1 6= 0, a2 6= 0, b1 = b2 = 0 - (c1/a1; 0) = (c2/a2; 0), , c1/a1 = c2/a2. c1 = 0, c2 = 0 := a1/a2. c1 6= 0, c2 6= 0 := c1/a1. . l1 l2 , 1.3 () a1 = a2 = 0 - := b1/b2 6= 0, c1 = c2 = 0, := c1/b1 = c2/b2 6= 0, c1 6= 0, c2 6= 0. .

  • 1.4. 21

    , 1.3 () -, : (0;c1/b1) =(0;c2/b2) (c1/a1; 0) = (c2/a2; 0), a1,b1,a2,b2 .

    c1b1= c2b2

    c1a1= c2a2

    b1b2= c1c2 =

    a1a2

    . := c1/c2, . B(2) l1 l2 ,

    , a1 = a2, b1 = b2 c1 6= c2.

    C , l1 l2 . -, b1 = b2 = 0, a1 6= 0 a2 6= 0. := a1/a2, a1 = a2, b1 = b2. c1 = c2, (1) l1 l2 - , , c1 6= c2. l1 l2.

    l1 l2 , b1 6= 0 b2 6= 0, , y. , l1 l2 y = a1b1 x

    c1b1

    y = a2b2 x

    c2b2

    . 1.2 (), - l1 l2

    a1b1= a2b2

    c1b16= c2b2 . := a1/b1,

    . , a1 = a2, b1 = b2 c1 6= c2 -

    6= 0. , , l1 - (), b1 = 0 (, a1 = 0), a2 =

    1a1 = 0 (b2 =

    1b1 = 0), , -

    (). , l1 l2 . , - , -, 1.2 (), a1a2 =

    b1b2= 6= c1c2 . B

    (3) l1 l2 , a1b2 = a2b1.

    C l1 l2 (1) (2)a1 = a2, b1 = b2 6= 0. a1b2 = (a2)b2 =a2(b2) = b1a2.

    , , a1b2 = a2b1. a1 = 0, b1 6= 0, a2 = 0. , b1 = 0, a1 6= 0, b2 =0. , l1 l2 , . a2 6= 0 b2 6= 0, a1b2 = a2b1 a2b2, a1a2 =b1b2=: . a1 = a2, b1 = b2, (1) (2) ,

    l1 l2 . B

  • 22 1.

    (4) l1 l2 , a1b2 6= a2b1.

    C , - . , (3). B

    . - .

    -:

    {

    a1x+ b1y + c1 = 0,

    a2x+ b2y + c2 = 0.(1.1)

    - a1, b1, a2, b2 c1 c2.

    l1 l2 a1x+b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 . (1.1) l1 l2. .

    () (1.1) -, a1 = a2, b1 = b2 c1 = c2 6= 0. , 1.4 (1) l1 l2 .

    () (1.1) , a1 = a2,b1 = b2 c1 6= c2 6= 0. 1.4 (2) , , .

    () (1.1) , a1b2 6= a2b1. 1.4 (4) l1 l2 -, .

    1. (1.1) - , (), (), () :

    a1a2=

    b1b2=

    c1c2

    ;

    a1a2=

    b1b26= c1

    c2 ;

    a1a26= b1

    b2 .

  • 1.4. 23

    2. , a1, b1, a2, b2 - , c1, c2 . a1/a2 = b1/b2, , , . a1/a2 6= b1/b2, O(0; 0).

    c1 = 0, c2 6= 0, a1/a2 = b1/b2 ,, ; a1/a2 6= b1/b2 -.

    3. (1.1) , :

    1) 6

    -

    l1

    l2

    O x

    y

    a2 = 0,

    {

    a1x+ b1y + c1 = 0,

    b2y + c2 = 0;

    2) 6

    -

    l2

    l1

    O x

    y

    b2 = 0,

    {

    a1x+ b1y + c1 = 0,

    a2x+ c2 = 0;

    3) 6

    -

    l1

    l2

    O x

    y

    b1 = 0, a2 = 0,

    {

    a1x+ c1 = 0,

    b2y + c2 = 0;

    4) 6

    -

    l1

    l2

    O x

    y

    a1 = 0, a2 = 0,

    b1 6= b2,

    {

    b1y + c1 = 0,

    b2y + c2 = 0;

  • 24 1.

    5) 6

    -

    l1 l2

    O x

    y

    b1 = 0, b2 = 0,

    a1 6= a2,

    {

    a1x+ c1 = 0,

    a2x+ c2 = 0.

    1)3) , . . - . 4- 5- , b1 6= b2(a1 6= a2), ; - b1 = b2 (a1 = a2), - , [1].

    1. ?

    2. -?

    3. -?

    4. , , ?

    5. - , , .

    1.5.

    1. , )) -? .

    a)6

    -x

    y

    O

    )6

    -x

    y

    O

    )6

    -x

    y

    O

  • 1.5. 25

    )6

    -x

    y

    O

    )6

    -x

    y

    O

    2. ?

    ) y = 5x+ 2; ) y = 3x;) y = 45 2x; ) y = 3x2 + 1;) y = 2x+ 5x; ) y = 6;

    ) y = (3x+ 2)/6; ) y = x2

    x + 1;

    ) y =

    {

    x2

    x + 1, x 6= 0,1, x = 0.

    ) y =

    {

    ax2+(a+b)x+bx + 1, x 6= 1,

    b a, x = 1.3.

    ))?

    6

    -

    00,4

    2

    x

    y) 6

    -

    0

    1

    3

    x

    y) 6

    -0

    6

    2x

    y)

    4. ( ):

    ) y = 4x y = 4x 3; ) y = 0, 5 + 2x y = 3x;) y = 2 y = 6x+ 4; ) y = 7x 12 y = 63,5x0,5 .

    5. , :

  • 26 1.

    ) 2x y + 3 = 0; ) y 5 = 0;) 5x 4 = 0; ) 2x2 + y = 15;) 3x y + 1 = 3x y 1; ) 12x 3y3 + 1 = 0;) x+ 3y = 50; ) 7x2 2 = 0.

    6. (2; 1) -

    2x y + 3 = 0.

    7. 4x y + 3 = 0.8. , 3x+ y 2 = 0

    x/2 + y/6 1/3 = 0 .9. , -

    B(1, 3);10. , (0; 4)

    y = 3x.

    11. , :

    ) (1; 2) (3; 4); ) (1; 2) (2;1).12. :

    )

    {

    x+ y 2 = 0,x+ y 3 = 0;

    )

    {

    2x+ 3y = 5,

    3x 4y = 6;)

    {

    2x 4y = 6,x 2y = 3.

    13. :

    {

    3x y 1 = 0,2y x 12 = 0.

    14. , :

    {

    x y + 1 = 0,x y + 2 = 0.

    15.

    {

    2x+ 2y 1 = 0,4x 4y + 2 = 0.

  • 1.5. 27

    16. a b, , , :

    a)

    {

    ax+ y = 5,

    x+ 2y = b 3.)

    {

    x+ (a 1)y = a,3x ay = b+ 2.

    17. a, , :

    a) y = 2ax 1 y = x+ 3,) y = ax+ 2 x+ y = a 1.18. a, :) 4ax + y = 2 x + ay = 1 III

    (x < 0, y < 0);) y = x 2 y = 2x+ a 1 IV

    (x > 0, y < 0).

  • 2.

    2.1.

    . , , . . , - . , , l, , -:

    1) l, ;2) A B ,

    l, AB l;3) A , C , -

    AC l (. 9) [4].

    lA

    B

    C

    )

    6

    -

    A

    B

    C

    O x

    y

    )

    . 9.

    (x; y) , ax + by = c, ax+ by > c ax+ by < c. , A B , - AB , ax+by = c; A C , AC , ax+ by = c.

    ( ). A0A1 c -

  • 2.1. 29

    A0(x0; y0) A1(x1; y1). At(xt; yt) A0A1 A0At = t A0A1 0 < t < 1, :

    xt = (1 t)x0 + tx1, yt = (1 t)y0 + ty1.

    6

    -

    A0

    B1

    A1

    Bt

    At

    x0 x1x(t)

    y0

    y1

    y(t)

    O x

    y

    . 10.

    C , - A0AtBt A0A1B1 (. 10),

    A0BtA0B1

    =A0AtA0A1

    = t.

    A0Bt = xt x0 A0B1 =x1 x0, xt x0 = t(x1 x0), - xt = (1 t)x0 + tx1. - , yt = (1 t)y0 + ty1. B

    ax+ by = c, (x; y) , , , , .. , ax + by = c, : ax+ by > c ax+ by < c.

    3. l xOy ax + by = c. , , , -

    ax + by > c, , -

    ax+ by 6 c.

    C , A0(x0; y0) A1(x1; y1) - , l, ,

    (ax0 + by0 c) (ax1 + by1 c) < 0.

    A0 A1 - , A0A1 l , , At,

  • 30 2.

    A0A1 t, 0 < t < 1. - , At(xt; yt) :

    xt = (1 t)x0 + tx1, yt = (1 t)y0 + ty1.

    At l, - ax+ by = c, . .

    a((1 t)x0 + tx1) + b((1 t)y0 + ty1) = c.

    - (1 t)c+ tc = c,

    (1 t)(ax0 + by0 c) + t(ax1 + by1 c) = 0.

    ax0 + by0 c = u, ax1 + by1 c = v,

    (1 t)u+ tv = 0

    t(u v) = u.

    t u v. , u 6= 0 v 6= 0, A0 A1 l.

    t, 0 0 v > 0, 0 < t < 1 (1 t)u + tv > 0; u < 0 v < 0, t (1 t)u + tv < 0. , u v < 0 (. . u v ), , t = uuv t(u v) = u , , 0 < t < 1. , , , t = uuv =

    |u||u|+|v| , 0 < t 0. A1(x1; y1), l. A1(x1; y1) 1, , , - ax1 + by1 c > 0; A1(x1; y1) l, ax1 + by1 c = 0; A1(x1; y1) 2, - l, ax1 + by1 c < 0. -, 1 ax...

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