ΑΝΑΛΥΣΗ book_na

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    02-Apr-2015

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<p> . </p> <p> 13 2008</p> <p>1</p> <p> - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 (BOLZANO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 . . . . . . . . . . . . . . 1.3 MULLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 x = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 NEWTON - RAPHSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Newton-Raphson (Halley) . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 - . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 x = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 GAUSS-JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 L-U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 JACOBI() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 GAUSS SEIDEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 . . . . . . . . . . 2.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>1 2 4 10 11 14 15 18 19 22 23 25 28 31 32 35 36 39 40 42 42 42 43 44 46 46 47 48</p> <p>2</p> <p>VI</p> <p>3</p> <p> &amp; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 LAGRANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 xi . . . . . . . . . . . 3.2.1 xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 (HERMITE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 TAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 SPLINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .</p> <p>49 50 51 52 54 56 57 58 59 65</p> <p>4</p> <p> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 NEWTON-COTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Simpson(3/8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Filon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 78 80 80 80 82 84 86 88 89 91 93</p> <p>5</p> <p>6</p> <p> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1.1 Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.1.2 Euler &amp; Euler - Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.1.4 Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.1 Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.2 Milne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.3 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109</p> <p>VII</p> <p>7</p> <p> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.3.1 . . . . . 121 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 . . . . . . . . . .125 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.1.1 Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8.2.1 . . . . . . . . . . 131 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.3.1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.3.2 : Crank-Nicholson . . . . . . . . . . 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 .0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 .0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 .0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 .0.4 O(hn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 .0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 .0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145</p> <p>8</p> <p> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147</p> <p>1 - </p> <p> , f (x) , x (a, b) :</p> <p>f () = 0</p> <p>(1.1)</p> <p> - . - , . , , </p> <p>xn+1 = (xn )</p> <p>(1.2)</p> <p> x0 , x1 , . . . , x , . . . (1.1). : , x0 .</p> <p> : K , , F x. :</p> <p>F =K</p> <p>12 x</p> <p>1+</p> <p>x 12</p> <p>N</p> <p>1</p> <p>(1.3)</p> <p>2</p> <p>1 - </p> <p> N . , (1.3). , N , , K NK , </p> <p>f (NK ) = F </p> <p>12K x</p> <p>1+</p> <p>x 12</p> <p>NK</p> <p>1 =0</p> <p>(1.4)</p> <p>, </p> <p>f (N ) = 0 .</p> <p>(1.5)</p> <p> , , . , , . , </p> <p>f (x) = 0 .</p> <p>(1.6)</p> <p> , , .</p> <p>1.1 (BOLZANO) , . 1000 50 65000. ( ) , x1 = 0.10 x2 = 0.15, :</p> <p>f (0.10) = 3286.4 f (0.15) = 3881.8 0.10 ( 10% ), 3286.4, 0.15 3881.8. , 0.125, (0.1, 0.15). x3 = 0.125 : 174.5 , (0.10, 0.125). , , x4 = 0.1125, </p> <p>f (0.125) = 174.5</p> <p>1.1 (BOLZANO)</p> <p>3</p> <p>f (0.1125) = 1585.6 . (0.1125, 0.125), , x5 = (0.1125 + 0.125)/2, . , 50 . Bolzano. : [a0 , b0 ], f (a0 ) f (b0 ) &lt; 0. 0 = (a0 + b0 )/2, : () f (0 ) f (a0 ) &lt; 0 () f (0 ) f (b0 ) &lt; 0 () f (0 ) = 0 .</p> <p> (), , [0 , b0 ] (II) [a1 , b1 ] = (1.7) [a0 , 0 ] (I)</p> <p> 1.1. </p> <p>4</p> <p>1 - REPEAT SET x3 = (x1 + x2 )/2 IF f (x3 ) f (x1 ) &lt; 0 SET x2 = x3 ELSE SET x1 = x3 ENDIF UNTIL (|x1 x2 | &lt; E) OR f (x3 ) = 0</p> <p> 1.1. - .</p> <p> : , </p> <p> n = | xn | xn . </p> <p>n </p> <p>1 |an bn | 2</p> <p>(1.8)</p> <p>n+1 =</p> <p>n 0 n1 = 2 = = n+1 2 2 2</p> <p>(1.9)</p> <p> . E :</p> <p>n = log2</p> <p>0 E</p> <p>(1.10)</p> <p> , 0 , E (1.10) , n, .</p> <p>1.2 , . , </p> <p>1.2 </p> <p>5</p> <p> . . : [x1 , x2 ] f (x), f (x1 ) f (x2 ) &lt; 0, (x1 , f (x1 )) (x2 , f (x2 )) :</p> <p>y (x) = f (x1 ) +</p> <p>f (x1 ) f (x2 ) (x x1 ) x1 x2</p> <p>(1.11)</p> <p> Ox x3 :</p> <p>x3 =</p> <p>x2 f (x1 ) x1 f (x2 ) f (x1 ) f (x2 ) f (x2 ) = x2 (x2 x1 ) f (x2 ) f (x1 )</p> <p>(1.12)</p> <p> [x1 , x2 ] f (x) Ox . (1.12) . (1.12) . ( ) , : () f (x1 ) f (x3 ) &lt; 0 x2 = x3 () f (x2 ) f (x3 ) &lt; 0 x1 = x3 () f (x3 ) = 0</p> <p> (1.12) :</p> <p>xn+2 = xn+1 </p> <p>f (xn+1 ) (xn+1 xn ) . f (xn+1 ) f (xn )</p> <p>(1.13)</p> <p> xn xn+1 xn+2 - . ( ) , x1 = 0.1 x2 = 0.15 </p> <p>6</p> <p>1 - </p> <p> 1.2. </p> <p>x3 = 0.1229 f (x3 ) = 122.1 , , , , : x4 = 0.12375 f (x4 ) = 4.4. 1 2 3 4</p> <p>x10.10 0.1229 0.12375 0.12378</p> <p>x20.15 0.15 0.15 0.15</p> <p>x30.1229 0.12375 0.1237787 0.1237798</p> <p>f (x3 )122.114 4.361 0.156 0.00571</p> <p> 1.2. </p> <p> , , , , . : </p> <p>1.2 </p> <p>7</p> <p> .</p> <p> : () (x1 , x2 ) REPEAT SET x3 = x2 f (x2 ) f (xx2 x1 ) )f (x IF f (x3 ) f (x1 ) &lt; 0 SET x2 = x3 ELSE SET x1 = x3 ENDIF UNTIL |f (x3 )| &lt; E 1.3. .2 1</p> <p> ( 1.3) , , , x2 . , , , . 1.2 . , , x1 x2 (1.13) x3 , x3 x1 , x2 , |f (x)| . , : () (x1 , x2 ) REPEAT x x SET x3 = x2 f (x2 ) f (x 2 1 ) )f (x2 1</p> <p>(x1 ) | &lt; |f (x2 ) | SET x2 = x3 ELSE SET x1 = x3ENDIF UNTIL |f (x3 )| &lt; E 1.4. .</p> <p>IF |f</p> <p> f (x) x2 </p> <p>8</p> <p>1 - </p> <p>f (x2 )/2 . : () ( )</p> <p>F1 = f (x1 ) F2 = f (x2 ) S = f (x1 )REPEAT x SET x3 = x2 F2 F2 x1 2 F1 IF f (x3 ) F1 &lt; 0 SET x2 = x3 SET F2 = f (x3 ) IF f (x3 ) S &gt; 0 SET F1 = F1 /2 ENDIF ELSE SET x1 = x3 SET F1 = f (x3 ) IF f (x3 ) S &gt; 0 SET F2 = F2 /2 ENDIF ENDIF SET save = f (x3 ) UNTIL |f (x3 )| &lt; E 1.5. </p> <p> . n = | xn | f (x) = 0 x = xn , </p> <p>n+1 = k 1.618 n</p> <p>(1.14)</p> <p> , . </p> <p>xn+2 = xn+1 </p> <p>f (xn+1 ) (xn+1 xn ) f (xn+1 ) f (xn ) xn = + n</p> <p>(1.15)</p> <p>(1.16)</p> <p>1.2 </p> <p>9</p> <p> f () = 0. , n ( ) xn . Taylor x1 , x2 x3</p> <p>f (xi ) = f ( + i ) = f () + i f () +</p> <p>2 i f () 2</p> <p>(1.17)</p> <p> + n+2 = + n+1 </p> <p>n+1 f () + 2 f ()/2 n+1 (n+1 n ) 1 f () (n+1 n ) + 2 f () 2 2 n n+1 n f () 2 f () f () 2f ()</p> <p> :</p> <p>n+2 = n+1 1 1 </p> <p>= n+1 n</p> <p> n + 2 n + 1 n. n+1 = k m k n m . , n + 1 n + 2 :</p> <p>n+1 = k m n n+2 = k m n+1 1 m1</p> <p> k m = n+1 n n+1</p> <p>f () 2f ()</p> <p>n+1 =</p> <p>1 k</p> <p>1</p> <p>m1 n A m1</p> <p>1</p> <p> A =</p> <p>f () 2f ()</p> <p>(1.18)</p> <p> n+1 n k m. </p> <p>k</p> <p>m n</p> <p>=</p> <p>A k</p> <p>1 m1</p> <p>n</p> <p>1 m1</p> <p>k= m=</p> <p>A 1/(m1) k 1 m1</p> <p> m2 m 1 = 0</p> <p>m=</p> <p> f () 1 5 = 1.618 k m = A = 2 2f ()</p> <p> :</p> <p>n+1 = k 1.618 n</p> <p>(1.19)</p> <p> .</p> <p>10</p> <p>1 - </p> <p>1.3 MULLER Muller . xi2 , xi1 , xi , f (x) 2- P (x) . xi : f (xi ) P (xi ) = Ax2 + Bxi + (1.20) i</p> <p> 3 </p> <p>B = (2q + 1) P (xi ) (1 + q) P (xi1 ) + q 2 P (xi2 ) = (1 + q) P (xi )</p> <p>A = qP (xi ) q (1 + q) P (xi1 ) + q 2 P (xi2 )2</p> <p>(1.21)</p> <p>xi xi1 . (1.22) xi1 xi2 xi+1 q= Ax2 + Bx + = 0 . (1.23)</p> <p>xi+1 = xi (xi xi1 )</p> <p> . :</p> <p>2 B B 2 4A</p> <p>(1.24)</p> <p>n+1 = k1.84 n</p> <p>(1.25)</p> <p> . : .</p> <p>1.4 x = g(x)</p> <p>11</p> <p>1.4 x = g(x) , g (x) , p = g (p). pn+1 = g (pn ) n = 0, 1, ... . : g (x) pn , . lim pn = p,n</p> <p> p g (x). f (x) f () = 0 x = g (x) , , f () = 0 = g(), xn = g(xn ) . , </p> <p>xn+1 = g (xn ) n</p> <p>(1.26) (1.27)</p> <p>lim xn = .</p> <p>: I = ( , + ) f (x) = 0 , x = g(x) |g (x)| &lt; 1, x0 I n . , f (x) I . xn I , </p> <p>xn+1 = g(xn ) g() = |g (xn )| &lt; 1,</p> <p>g(xn ) g() (xn ) = g (n )(xn ) xn </p> <p>|xn+1 | |xn | &lt; |xn | n </p> <p>|xn | n |x0 | lim |xn | = 0n</p> <p>, 1 , </p> <p> 1 =</p> <p>g() g(1 ) ( 1 ) = g ()( 1 ) 1</p> <p> |g ()| &lt; 1 </p> <p>| 1 | | 1 | &lt; | 1 | . I .</p> <p>12</p> <p>1 - </p> <p> 1.3. x = g(x) g (x) &lt; 1.</p> <p> 1.3 1.4 . 1.3 |g (x)| &lt; 1 1.4 |g (x)| &gt; 1 (1.4), , :</p> <p>xn+1 = g (xn ) =</p> <p>12K F</p> <p>1+</p> <p>xn 12</p> <p>N</p> <p>1</p> <p> , , |g (x)| &gt; 1 x [0.05, 0.15] , . , </p> <p>xn+1 = g1 (xn ) = 12</p> <p>xn F 1 12k</p> <p>1/N</p> <p>1</p> <p> ( ) |g1 (x)| &lt; 1 (.. x = 0.1, g1 (x) 0.108)</p> <p> n n = xn , :</p> <p>1.4 x = g(x)</p> <p>13</p> <p> 1.4. x = g(x) g (x) &gt; 1. 1 2 3 4 5 ... 29</p> <p>xn0.1 0.1043 0.1080 0.1111 0.1136 ... 0.12376 1.6.</p> <p>(xn )/-0.157 -0.1275 -0.1028 -0.0825 ... -0.000135</p> <p>14</p> <p>1 - </p> <p>n+1 = xn+1 = g () g(xn ) = g ()( xn ) = g () n g () , y () = g (). :</p> <p>n+1 = g ()n</p> <p>(1.28)</p> <p>, g (x) . f (x) = x+ln(x) [0.1, 1]. : |g (x)| =xn</p> <p>xn+1 = ln(xn )</p> <p> 1 [0.1, 1] . xn+1 = e |y (x)| = |ex | e0.1 0.9 &lt; 1 . : x = (x + ex )/2 1 |g (x)| = 1 |1 ex | 2 |1 e1 | = 0.316 . 2 x 1 1 x = x+2e |g (x)| = 3 |12ex| 3 |12e1 | = 0.03 . 3 xn + 2exn . 3</p> <p>1 x</p> <p> :</p> <p>xn+1 =</p> <p>1.4.1 Aitken , , en+1 = g ()en , , n , , . n xn+1 = g (xn ) :</p> <p> xn+1 g ()( xn ) n + 1 :</p> <p> xn+2 g ()( xn+1 ) </p> <p> xn+1 g ()( xn ) = xn+2 g ()( xn+1 )</p> <p>1.5 NEWTON - RAPHSON</p> <p>15</p> <p> :</p> <p> = xn </p> <p>(xn xn1 )2 xn 2xn1 + xn2</p> <p>(1.29)</p> <p> Aitken. 1.6 x = g(x) x0 = 0.1080, x1 = 0.1111 x2 = 0.1136, Aitken r = 0.1240 = 0.00024. 25 x = g(x).</p> <p>1.5 NEWTON - RAPHSON f (x) f (x) f (x) , , f (x) = 0 . Newton-Raphson , 1 f (x). x0 , . (x0 , f (x0 )) Ox x1 f (x1 ) = 0. , x1 x0 A (. 1.5) :</p> <p>tan = f (x0 ) =</p> <p>f (x0 ) x1 x0</p> <p>(1.30)</p> <p> x1 :</p> <p>x1 = x0 </p> <p>f (x0 ) . f (x0 )</p> <p>(1.31)</p> <p> x1 x2 . 1 2 3</p> <p>x00.15 0.1247 0.12378</p> <p>x10.1247 0.1237810 0.1237798</p> <p>f (x1 )-132.475 -0.01681 -0.00101</p> <p> 1.7. Newton-Raphson .</p> <p>16</p> <p>1 - </p> <p> 1.5. Newton-Raphson.</p> <p> (1.31) . xn+1 xn xn+1 xn+1 = xn + n . :</p> <p>f (xn+1 ) = f (xn + n ) = f (xn ) + n f (xn )...</p>

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