ΑΝΑΛΥΣΗ book_na

  • Published on
    02-Apr-2015

  • View
    1.658

  • Download
    4

Embed Size (px)

Transcript

.

13 2008

1

- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 (BOLZANO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 . . . . . . . . . . . . . . 1.3 MULLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 x = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 NEWTON - RAPHSON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Newton-Raphson (Halley) . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 - . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 x = g(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 GAUSS-JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 L-U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 JACOBI() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 GAUSS SEIDEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 . . . . . . . . . . 2.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 4 10 11 14 15 18 19 22 23 25 28 31 32 35 36 39 40 42 42 42 43 44 46 46 47 48

2

VI

3

& . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 LAGRANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 xi . . . . . . . . . . . 3.2.1 xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 (HERMITE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 TAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 SPLINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 50 51 52 54 56 57 58 59 65

4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 NEWTON-COTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Simpson(3/8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Filon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 78 80 80 80 82 84 86 88 89 91 93

5

6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1.1 Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.1.2 Euler & Euler - Heun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.1.4 Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.1 Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.2.2 Milne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.3 - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

VII

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.3.1 . . . . . 121 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 . . . . . . . . . .125 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.1.1 Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8.2.1 . . . . . . . . . . 131 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.3.1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 8.3.2 : Crank-Nicholson . . . . . . . . . . 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141 .0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 .0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 .0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 .0.4 O(hn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 .0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 .0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

1 -

, f (x) , x (a, b) :

f () = 0

(1.1)

- . - , . , ,

xn+1 = (xn )

(1.2)

x0 , x1 , . . . , x , . . . (1.1). : , x0 .

: K , , F x. :

F =K

12 x

1+

x 12

N

1

(1.3)

2

1 -

N . , (1.3). , N , , K NK ,

f (NK ) = F

12K x

1+

x 12

NK

1 =0

(1.4)

,

f (N ) = 0 .

(1.5)

, , . , , . ,

f (x) = 0 .

(1.6)

, , .

1.1 (BOLZANO) , . 1000 50 65000. ( ) , x1 = 0.10 x2 = 0.15, :

f (0.10) = 3286.4 f (0.15) = 3881.8 0.10 ( 10% ), 3286.4, 0.15 3881.8. , 0.125, (0.1, 0.15). x3 = 0.125 : 174.5 , (0.10, 0.125). , , x4 = 0.1125,

f (0.125) = 174.5

1.1 (BOLZANO)

3

f (0.1125) = 1585.6 . (0.1125, 0.125), , x5 = (0.1125 + 0.125)/2, . , 50 . Bolzano. : [a0 , b0 ], f (a0 ) f (b0 ) < 0. 0 = (a0 + b0 )/2, : () f (0 ) f (a0 ) < 0 () f (0 ) f (b0 ) < 0 () f (0 ) = 0 .

(), , [0 , b0 ] (II) [a1 , b1 ] = (1.7) [a0 , 0 ] (I)

1.1.

4

1 - REPEAT SET x3 = (x1 + x2 )/2 IF f (x3 ) f (x1 ) < 0 SET x2 = x3 ELSE SET x1 = x3 ENDIF UNTIL (|x1 x2 | < E) OR f (x3 ) = 0

1.1. - .

: ,

n = | xn | xn .

n

1 |an bn | 2

(1.8)

n+1 =

n 0 n1 = 2 = = n+1 2 2 2

(1.9)

. E :

n = log2

0 E

(1.10)

, 0 , E (1.10) , n, .

1.2 , . ,

1.2

5

. . : [x1 , x2 ] f (x), f (x1 ) f (x2 ) < 0, (x1 , f (x1 )) (x2 , f (x2 )) :

y (x) = f (x1 ) +

f (x1 ) f (x2 ) (x x1 ) x1 x2

(1.11)

Ox x3 :

x3 =

x2 f (x1 ) x1 f (x2 ) f (x1 ) f (x2 ) f (x2 ) = x2 (x2 x1 ) f (x2 ) f (x1 )

(1.12)

[x1 , x2 ] f (x) Ox . (1.12) . (1.12) . ( ) , : () f (x1 ) f (x3 ) < 0 x2 = x3 () f (x2 ) f (x3 ) < 0 x1 = x3 () f (x3 ) = 0

(1.12) :

xn+2 = xn+1

f (xn+1 ) (xn+1 xn ) . f (xn+1 ) f (xn )

(1.13)

xn xn+1 xn+2 - . ( ) , x1 = 0.1 x2 = 0.15

6

1 -

1.2.

x3 = 0.1229 f (x3 ) = 122.1 , , , , : x4 = 0.12375 f (x4 ) = 4.4. 1 2 3 4

x10.10 0.1229 0.12375 0.12378

x20.15 0.15 0.15 0.15

x30.1229 0.12375 0.1237787 0.1237798

f (x3 )122.114 4.361 0.156 0.00571

1.2

Recommended

View more >