. Tentukan a2 +b2 +c2 +d2 jika 1 8 1 8 3 8 5 8 7 1 6 1 6 3 6 5 6 7 1 4 1 4 3 4 5 4 7 1 2 1 2 3 2 5 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...

  • Published on
    06-Feb-2018

  • View
    217

  • Download
    3

Transcript

  • 301. Jika 10,,, =+++> dcbadandcba . Buktikan 161111 +++dcba

    Jawab :

    164414

    41111

    11111111+++

    +++

    ++++++ dcba

    dcbadcba

    dcba

    302. Jika a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan real positif, tunjukkan bahwa

    4+++ad

    dc

    cb

    ba

    Jawab :

    414

    ...4

    4 ++++++

    +++

    ad

    dc

    cb

    baa

    ddc

    cb

    ba

    ad

    dc

    cb

    baa

    ddc

    cb

    ba

    303. Diketahui akar-akar persamaan 0543 23 =++ xxx adalah a, b dan c. Tentukan nilai 333 cba ++

    Jawab :

    ( ) ( )

    543543543

    543054314.232

    414

    313

    23

    23

    23

    2323

    22222

    ==

    ===++

    ==++++=++

    ===++

    ===++

    cccbbbaaa

    xxxxxxbcacabcbacba

    acbcacab

    abcba

    +( ) ( ) 24153.41.31543 222333 ==++++=++ cbacbacba

    304. Diketahui akar-akar persamaan 08 234 =++ cbxaxxx membentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Tentukan nilai a, b dan c !Jawab :Misal akar-akar persamaan : 6,4,2, 4321 +=+=+== pxpxpxpx

    ( ) ( ) ( )

    ccxxxxbbbxxxxxxxxxxxx

    aaaxxxxxxxxxxxxxxxxMaka

    pppppxxxx

    ====+=+++

    ==+++=+++++====

    ==++++++=+++

    158151553

    1415535315,3,1,1

    186428

    4321

    432431421321

    434232413121

    4321

    4321

    305. Diketahui dan merupakan dua akar persamaan 013 =+ xx . Tunjukkan bahwa merupakan akar-akar persamaan 0123 =+ xx Jawab :Misal akar-akar persamaan 013 =+ xx adalah dan, maka :

    ( )

    ( ) 0111:)1()2(

    )2.......(11

    )1.....(11

    0

    22

    2

    =+=

    ==

    ==++=++

    =+==++

    keSubstitusi

    ac

    ab

    Jadi merupakan akar-akar persamaan 0123 =+ xx

  • 306. Tentukan 2222 dcba +++ jika

    178583818

    176563616

    174543414

    172523212

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    22

    2

    =

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    =

    +

    +

    +

    dcba

    dcba

    dcba

    dcba

    Jawab :

    Sistem persamaan di atas memenuhi persamaan 17531 22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    +

    + x

    dxc

    xb

    xa

    dengan akar-akar 242

    32

    22

    1 86,4,2 ==== xdanxxx .( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )

    ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )

    3675318642

    0.......75310531731

    7517537531

    7531531731751753

    2222

    222222222222

    4321

    3222222224

    22222222

    222222222222

    22222222

    222222222222

    =+++

    +++++++=+++

    =+++

    =++++++++=

    =+++

    dcbadcba

    abxxxx

    xdcbaxxxxdxxxc

    xxxbxxxaxxxx

    xxxxxxxdxxxcxxxbxxxa

    307. Diketahui a, b dan c bilangan real positif. Buktikan bahwa ( )cbaabcaccbba ++++ 222222

    Jawab :

    ( )cbaabcbcaabcacb

    cbabaccab

    accbbaaccbbaaccbba

    ++++

    +++++=

    +++++=++

    )2()2()2(

    )()()(

    )()(

    2212

    212

    21

    22221222

    21222

    21

    22222221222222

    21222222

    308. Diketahui a, b dan c bilangan real positif dan a+b+c = 1. Tunjukkan bahwa

    31++ acbcab

    Jawab :( )

    bccbaccaabba

    bcacabcbabcacabcba

    cba

    222

    )1.......(22211222

    1

    22

    22

    22

    222

    222

    2

    +++

    =++=+++++

    =++

    +( )

    312221)1(

    2222 222222

    ++++

    ++++++++

    bcacabbcacabbcacabDari

    bcacabcbabcacabcba

  • 309. Jika a, b, c dan d bilangan positif, maka tunjukkan bahwa ( ) ( ) cdabdbca +++Jawab :

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) cdabdbcacdabdbca

    abcdcdabdbca

    Daribcadcdabdbca

    abcdbcadbcad

    +++

    +++

    ++++

    +++=+++

    2

    2

    2

    :)1(

    )1......(20

    310. Jika a dan b bilangan real positif, tunjukkan bahwa 333

    22

    ++ baba

    Jawab :( ) ( ) ( )

    ( )333

    333

    223333

    332233

    22332233

    22

    22

    8:44

    3344

    )(3333

    000

    ++

    ++

    ++++

    ++++

    ++++

    baba

    baba

    abbababa

    baabbaba

    abbabaabbababababa

    311. Diketahui x, y dan z adalah bilangan real positif sedemikian hingga x+y+z = 1. Buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) xyzxzzxzyyzyxxy 4222 +++++Jawab :

    xyzxyzzxyyzxxyzyzxzxyxyzxyzzxyyzxyzxzxy

    xyzxyzzxyyzxyzxzxy

    zyx

    zyx

    zyx

    zyx

    zyxzyxzyx

    4610

    10

    10

    101

    93313

    3

    222

    222

    222

    111

    111

    111111111

    ++++++++++

    +++++

    +++++

    +++

    ++++

    ++

    ++

    ( ) ( ) ( ) xyzxzzxzyyzyxxy 4222 +++++

    312. Diketahui a, b dan c bilangan positif dan (1+a) (1+b) (1+c) = 8. Buktikan bahwa 1abcJawab :(1+a) (1+b) (1+c) = 81 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc

    ( ) ( )( )( )

    ( )( )

    11

    21

    81

    8331

    31

    31

    31

    32

    31

    3

    +

    +

    +++

    abcabc

    abc

    abc

    abcabcabc

  • 313. Diketahui a, b, c dan d bilangan real positif dan a+b+c+d = 1. Buktikan bahwa 614141414

  • Jawab :( )

    ( ) ( ) ( )( )( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) )2.........(444

    222

    222...222

    )1.........(333

    222

    222222

    2

    2

    2222

    2

    2

    222122

    2122

    21

    2222

    bcacabcba

    bcacabbaccabcbacba

    bcacabccbbaabcacabcbacba

    bcacabcba

    bcacabbcacabcba

    bcacabcbcababcacabcbacba

    ++

  • Jawab :

    212111

    111)1(

    212)1(

    321

    323121

    321

    3

    333321

    3

    232323121

    ==++=++

    ===

    ===++

    xxxxxxxxx

    xxx

    aaxxx

    aaxxxxxx

    320. Akar-akar persamaan 014 23 =++ qpxxx merupakan deret geometri dengan rasio 2. Tentukan nilai p dan q yang memenuhi !Jawab :Misal akar-akar tersebut adalah axaxax 4,2, 321 ===

    648.4.2

    56321681

    8,4,2

    2144214114

    321

    323121

    321

    321

    ===

    ==++=++

    ===

    ==++==++

    qqqxxx

    pppxxxxxx

    xxxBerarti

    aaaaxxx

    321. Jika dan akar-akar persamaan ( )Rbabaxx =+ ,02 . Bentuklah persamaan

    kuadrat yang akar-akarnya

    33 dan

    Jawab :

    ( ) ( ){ } ( )

    ( )

    ( ) 2233

    22422233

    222222224433

    .

    2422

    222

    b

    bbbaa

    bbba

    bdana

    ==

    +==+

    +=+=+=+

    ==+

    Jadi persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah :

    ( ) 024024 322422224

    2 =++=+

    + bxbbaabxataubxb

    bbaax

    322. Jika a, b dan c adalah akar-akar persamaan kubik 0532 23 =+ xxx . Tentukan

    persamaan kubik yang ketiga akarnya c

    danba

    11,1

    Jawab :

    5211153111

    515

    313

    212

    =++=++

    =++=++

    ==

    ==++

    ==++

    abccba

    bcacab

    abcbcacab

    cba

    abc

    bcacab

    cba

    Persamaan kubik yang dimaksud adalah :

  • 01235

    051)()(

    01111111

    0111

    23

    522

    533

    23

    =+

    =+

    =

    +++

    ++

    =

    xxx

    xxx

    abcx

    bcacabx

    cbax

    cx

    bx

    ax

    Catatan :1. Keterbagian

    a habis dibagi b ditulis b/aa tidak habis dibagi b ditulis b/aSifat-sifat keterbagian :1. a/b dan b/c maka a/c2. ab/c maka a/c dan b/c3. a/b dan a/c maka a/(ax+by) dimana x,y B

    A. Keterbagian oleh n21. Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya habis dibagi 22. Suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirnya habis dibagi 43. Suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 angka terakhirnya habis dibagi 8

    B. Keterbagian 3, 9, 11Misal bilangan 0121 ........ aaaaaa nnn =1. Bilangan a habis dibagi 3 jika ( )0121 ..... aaaaa nnn +++++ habis dibagi 32. Bilangan a habis dibagi 9 jika ( )0121 ..... aaaaa nnn +++++ habis dibagi 93. Bilangan a habis dibagi 11 jika ( )0121 ..... aaaaa nnn habis dibagi

    11

    323. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b !Jawab :72 = 8 x 9 maka 8/a1989b sehingga 8/89b atau b = 6 9/a1989b sehingga 9/(a+1+9+8+9+6) atau 9/(33+a) atau a = 3

    324. Tentukan semua pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga 199122 = baJawab :(a-b)(a+b) = 1.1991 atau (a-b)(a+b) = 11.181a+b = 1991 a+b = 181a-b = 1 a-b = 11Maka a = 996 dan b = 995 maka a = 96 dan b = 85

    Catatan :Bilangan Kuadrat1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6 dan 92. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 13. Jika p bilangan prima dan p/ 2n maka 22 / np

    325. Carilah suatu bilangan kuadrat sempurna yang angka-angkanya berturut-turut adalah : k(k+1)(k+2)(3k)(k+3)

    Jawab :1. Angka pertama k yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,92. Angka keempat 3k yang mungkin adalah 0,1,2,3Dari (1) dan (2) maka k yang mungkin adalah 1,2,3Bilangan kuadrat yang mungkin adalah 12334, 23465 atau 3459612334 dibagi 4 sisa 2 , jadi 12334 tidak mungkin23465 dibagi 5 adalah 4693 tidak dapat lagi dibagi 5, jadi 23465 tidak mungkin34596 = 222 3132 xx merupakan bilangan kuadrat yang dimaksud.

    Catatan :

  • Bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n ditulis a b(mod n) jika a dan b memberikan sisa yang sama jika dibagi oleh n.

    326. Jika a dan b kongruen modulo m, buktikan bahwa selisihnya dapat dibagi mJawab :

    )/()()(mod

    21

    21

    bammqqbarmqbdanrmqamba

    =+=+=

    327. Buktikan bahwa ( ) )mod(nbban mm +Jawab :Membuktikan bahwa ( ) )mod(nbban mm + sama artinya dengan membuktikan ada bilangan bulat k sehingga ( ) knbban mm =+( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ){ }kn

    nbamanamana

    bbbanmbanmanbbanmmm

    mmmmmmm

    =+++=

    ++++=+

    121

    11

    .....

    ......

    328. Tentukan angka satuan bilangan 19911997Jawab :Angka satuan 19911997 sisa pembagian 19911997 oleh 10

    ( )

    ( )( )

    )10mod(3)10mod(31

    )10mod(3432421

    )10mod(77

    )10mod(7)10mod(7

    )10mod(710199

    497

    34974

    34974

    1991

    1991

    +

    +

    xx

    x

    x

    x

    Jadi angka satuan 19911997 adalah 3.

    329. Tentukan sisa 193 dibagi 14Jawab :

    )14mod(3)14mod(3 16319 + x

    ( )( )( ) )14mod(31

    )14mod(31142

    )14mod(33

    6

    6

    163

    x

    xx

    x

    )14mod(3319 Jadi sisa pembagian 193 oleh 14 adalah 3.

    330. Tentukan sisa pembagian 19903 oleh 41Jawab :

    )41mod(3)41mod(3 249741990 + x

    ( )( )( )

    ( ))41mod(32

    )41mod(941)41mod(9

    )41mod(91

    )41mod(91412

    )41mod(33

    497

    497

    24974

    x

    xx

    x

    Jadi sisa pembagian 19903 oleh 41 adalah 32.

    331. Tentukan bilangan empat digit abcd yang memenuhi 4x(abcd) = dcbaJawab :4x(abcd) = dcba (empat digit), maka nilai a yang mungkin adalah 1 atau 2

  • 4x(abcd) = ..a (bersatuan genap), maka a tidak mungkin 1.Jadi a = 2 sehingga d = 8 32bc8 4 x8cb24xb < 10 maka b yang mungkin 0,1,24xc+3 tidak mungkin bersatuan 0 atau 2, jadi b = 1Karena b = 1 maka c = 7Jadi bilangan yang dimaksud 2178.

    332. Jika ditulis dalam bilangan basis 10, tentukan banyaknya angka bilangan 2516 54 xJawab :

    27252525725322516 1027,1101285225254 xxxxxx ====Jadi banyaknya 28 angka

    333. Tentukan banyaknya angka 0 terakhir dari 1000!Jawab : Angka satuan yang menghasilkan angka 0 adalah kelipatan 5 dikali kelipatan 2, yakni

    sebanyak 2005

    1000 =

    Angka puluhan yang menghasilkan angka 0 sebanyak 40251000 =

    Angka ratusan yang menghasilkan angka 0 sebanyak 96251000

    1251000 =+

    Jadi banyak angka 0 terakhir dari 1000! Adalah 200+40+8+1=249

    334. Tentukan dua angka terakhir dari 12343Jawab :Dua angka terakhir 12343 = sisa pembagian 12343 oleh 100

    )100mod(3)100mod(3 420651234 + x

    ( )( )( )( )( )( )

    )100mod(69)100mod(39691

    )100mod(81492401

    )100mod(8149

    )100mod(811989

    )100mod(8143

    )100mod(81243

    )100mod(33

    51

    51

    1512

    103

    1032

    206

    42065

    +

    xxx

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    Jadi dua angka terakhir dari bilangan 12343 adalah 69.

    335. Tunjukkan bahwa 105105 43 + habis dibagi 7Jawab :

    ( ) )7mod(373)7mod(43 105105105105 ++( ))7mod(0

    )7mod(33 105105

    +

    Jadi 105105 43 + habis dibagi 7.

    336. Untuk n bilangan asli, buktikan bahwa nn 53 + habis dibagi 6Jawab :

    nnnnnnnnn 6)1()1(65 33 ++=+=+Karena (n-1)n(n+1) habis dibagi 6 dan 6n juga habis dibagi 6 maka nn 53 + habis dibagi

    6.

  • 337. Tentukan yx

    lim yx

    yx

    yx

    yx tantan)1(1

    tantan+

    Jawab :

    yx lim

    yxyx

    yx+

    11.

    tantan1tantan

    = yx

    limyxyyx

    ).tan(

    Misal x y = z maka :

    =0

    limz

    yyzz =.tan

    338. Tiga bilangan real a, b dan c memenuhi persamaan :(a+b)(a+b+c) = 120(b+c)(b+c+a) = 96(c+a)(c+a+b) = 72Tentukan nilai 3a + 2b + cJawab :Misal a+b+c = x maka :a+b = xc, x+c = x-a, c+a = x-b( )( )( ) 7272

    9696120120

    2

    2

    2

    ======

    bxxxbxaxxxaxcxxxcx

    +( )

    122882

    28832883

    2

    22

    2

    ==

    =

    =++

    xx

    xxcbaxx

    262121223612

    4961214496212012144120

    2

    2

    =++=++==++

    ======

    cbaJadibcba

    aaaxxcccxx

    339. Persamaan 032 =+ nnxx mempunyai akar-akar dan . Tentukan n untuk nilai minimum 33 +

    Jawab :

    ( ) ( )

    min1086max00

    01830'93

    3

    2

    23333

    ====

    ===++=+=

    ==

    ==+

    znzn

    nnznnzMisal

    nac

    nab

    340. Tentukan jumlah n suku pertama dari deret ......32log8log2log 777 +++Jawab :

  • ( ) ( ) 2log.4log).1(2log.2)1(24log

    28log2log8log

    727721

    21

    7777

    nnnbnanS

    b

    n =+=+=

    ===

    341. Tentukan nilai dari ( )2

    222

    2.22.42

    +

    + tt

    tt

    Jawab :

    3142

    22.2222

    22

    22222

    22

    2242

    === +++

    +

    ++

    t

    tt

    t

    tt

    342. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan 0322 =+ xx , maka tentukan persamaan

    kuadrat yang akar-akarnya 21

    21

    22 ++ qdan

    pJawab :

    ( ) ( )

    91

    4491

    21.

    21

    92

    44942

    424

    21

    21

    :2

    12

    1

    2642)(32

    22

    222

    22

    22

    22

    222

    =+

    =++

    =

    =+

    +=+++

    ++=+

    ++

    =+

    +=

    +=

    ==+=+=

    =+

    qp

    qppqqp

    qp

    makaq

    danp

    Misal

    pqqpqppqqp

    Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan adalah :( ) 012900 2919222 =+=+=++ xxatauxxxx

    343. ABCD adalah bidang empat beraturan (tetrahedron) dengan panjang rusuk 4 cm. Hitung jarak antara AB dan CD !Jawab :

    D D F F

    C A

    C E E B

    ( ) 222121224

    22

    22

    ==

    ===

    EF

    ECED

    344. Tentukan persamaan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik (3,0) dan (-3,0) adalah 10 !Jawab :

    Berupa ellips dengan persamaan 122

    2

    2

    =+by

    ax

    11625

    169253510222

    2

    =+

    =====yxellipsnyapersamaanJadi

    bsehinggacdanaa

  • 345. Tentukan nilai 2

    6

    22 sintan

    d

    Jawab :

    121sin1

    sincos

    sintan

    2

    6

    2

    6

    2

    6

    222=+=

    ==

    dd

    346. Polinomial derajat tiga 023 =+++ cbxaxx dengan a = b+c mempunyai akar-akar

    321, xdanxx . Tentukan nilai 23

    22

    21 xxx ++

    Jawab :

    ( ) ( ) ( ) babaac

    abxxxxxxxxxxxx 2222 22

    2

    3231212

    32123

    22

    21 ==

    =++++=++

    = 222 )22(2)( cbcbbcb ++=+

    347. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan bidang alas ABCD. Berapakah sudut antara diagonal AF dan BH ?Jawab :

    H G H

    P P E F

    Q Q D C R

    A B

    ( )

    900

    22.

    23.2

    cos

    2322

    2452

    422

    43

    21

    21

    2452

    212

    ==+

    =

    ==

    ==

    =+=

    ss

    sss

    sHBHQ

    sPRPQ

    sssHP

    348. Berapakah umur B jika diketahui kuadrat umur A dikurangi kuadrat umur B adalah 1817 tahun ?Jawab :

    ( ) ( ) thBdanthABABABA 28511817181722 ===+=

    349. Berapakah radius alas kerucut dalam sebuah bola yang berjari-jari a cm agar kerucut volumenya maksimum ?Jawab :

    A

    t O r C x D

    B

  • ( )( ) ( )

    ( )( )

    2

    98

    232

    22

    :

    02..'

    32

    22

    2222

    22222

    2233122

    32

    32

    22212

    3122

    32

    32

    222312

    31222

    312

    31

    21

    21

    ax

    xa

    andikuadratkaxxaa

    xxaxaa

    xxaxxaxax

    xxaxxaxaxV

    xaxaxxaaxtxV

    =

    =

    =

    =+

    =+

    =++=

    +=+==

    350. Jika x, y dan z adalah suku ke-m, ke-n dan ke-p dari deret geometri, berapakah nilai dari pmmp yx .

    Jawab :

    ( ) nmpmnmpmnppmnp zzzrx

    rxxrxyx

    xrzdanxry

    ======

    ==

    13

    3

    11.1...

    351. Diketahui persamaan kuadrat 02 2 =++ qxx dengan akar-akar 1x dan 2x . Jika 1x , 2x dan 212

    1 xx membentuk deret geometri, maka tentukan nilai q !Jawab :

    ( )

    121).1.(2

    21

    21)1(101

    21

    :)2()1(

    )2.......(

    22

    )1.......(21

    21

    212

    1212

    11

    212

    122

    212

    122

    2

    2121

    1

    2

    2121

    1221

    ==

    ====+=

    ===

    ==

    ==+

    qJadi

    xxxxx

    keSubstitusi

    xxxxxxxx

    xx

    xxqqxx

    xxxx

    352. Tentukan suku negatif pertama dari barisan 500, 465, 430, 395, Jawab :

    25)35.(15500150)35)(1(5000

    16 =+=>

  • 354. Jika garis 0233 = yx diputar dengan pusat O(0,0) sebesar 45 berlawanan arah dengan jarum jam, maka tentukan bayangannya !Jawab :

    03203''2

    20232''3

    2''

    0233

    2''

    2''

    22'22'

    2222

    45cos45sin45sin45cos

    ''

    21

    21

    21

    21

    21

    21

    21

    21

    ==

    =

    +

    =

    =+=

    +==

    +

    =

    =

    yxatauyx

    xxyyxyx

    xyyyxxyxyyxx

    yxyx

    yx

    yx

    355. Y

    2 xy = I II

    0 4 X

    Berapa luas I : luas II ?Jawab :Luas persegi panjang = L = 4 x 2 = 8

    2:1316:

    38:

    38

    3168

    3164

    032

    4

    0

    23

    ==

    ===

    =

    ==

    III

    III

    II

    LL

    LLL

    xdxxL

    356.

    1s

    2s

    x

    3s

    Radius lingkaran besar adalah R. Hitung keliling daerah yang diarsir !Jawab :

    ( ) RxxRRssss 2.2.2.2. 212121321 =++=++=

    357. Suatu lingkaran dengan jari-jari 5 cm dipotong pada bagian yang bersudut 144 . Sisanya dibuat kerucut. Tentukan volume kerucut yang terjadi !

  • Jawab :

    144 5 t

    3

    124.3....4925

    231

    31 ===

    ==

    tLVt

    alas

    358. Pada persegi ABCD, AE adalah garis bagi pada BAC. Jika sisi persegi adalah 10 cm, maka tentukan panjang AB + BE !Jawab :

    D 10 C

    10 E o o A B

    ( )210)12(10105,22tan1010

    5,22122

    )1.(1.4425,22tan

    015,22tan25,22tan5,22tan15,22tan245tan 22

    =+=+=+

    =+

    =

    =+

    =

    BEAB

    Ikuadrandikarena

    359. Tentukan koordinat fokus dari ellips 0369636169 22 =+++ yxyxJawab :( ) ( )

    ( )3,2779161

    93

    162 22

    =

    ===++

    FFokus

    cyx

    360. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva ( ) xxy sincos= di titik A(0,3)Jawab :

    ( )

    3)0(03)(

    0)0.(cos0sin0)(cossin)sin.(cossin'

    11

    10sin2

    1sin21sin

    ==

    ====

    ===

    yxy

    xxmyymx

    xxxxxym xx

    361. Y

    A

    B

  • x

    0 C X x g

    Jika luas segitiga ABC = 24 dan luas daerah yang diarsir adalah ( )93641 , maka tentukan persamaan garis g !Jawab : Y

    A (0,a)

    a - x B

    x C (b,0) 0 X x b - x g

    Misal persamaan garis g : ax + by = ab

    ( ) ( ) ( )

    12348412:12348124:

    412124)2()1()2.....(1636669969363

    24296936

    424936

    )1.......(4824

    2

    1

    22

    21

    212

    41

    41

    21

    =+=+=+=+

    =====++==

    +=

    =

    ==

    yxatauyxgyxatauyxgJadi

    baataubadanDaribabaxAmbil

    axxbxx

    xxxaxxbx

    abab

    362. Sejumlah murid SMA X ingin mengumpulkan uang sebanyak Rp 960 dimana setiap murid membayar sama. Ternyata diketahui ada 4 orang tidak bisa membayar. Untuk menutupi kekurangannya, murid-murid menambah iurannya masing-masing Rp 20. Tentukan banyaknya murid yang membayar iuran !Jawab :Misal jumlah murid = x dan jumlah iuran masing-masing = p

    Maka : 960 = px atau x

    p 960=

    MxTMx

    xxx

    xxx

    pxpxpx

    1612

    0192480960420960960

    80420960)20)(4(960

    2

    ==

    =

    +=

    +=+=

    jadi jumlah murid yang membayar = x 4 = 16 4 = 12 murid

    363. Bila x235log4 = maka tentukan 8log04,0

    Jawab :

    xx 2

    1143

    5log1

    43

    5log21

    23

    25log1

    23

    5log1

    232log

    232log8log

    23

    444253504,0 2

    =

    =

    ======

  • 364. Tentukan nilai 18sin36sin54sin72sinJawab :

    ( )( ) ( )

    ( )

    5

    136sin36sin41

    36sin54cos4

    118cos18sin

    54cos2118cos18sin18sin54cos2

    118cos18sin36sin72sin1

    18cos18sin36sin18cos

    118sin

    11

    18sin18sin21

    18sin18sin1

    18sin18sin1

    118sin11

    72cos1

    136sin72cos

    144sin136sin72sin2

    36sin36sin72sin2

    36sin272sin36sin108sin

    36sin272sin36sin72cos2

    36sin272sin72cos

    36cos72cos

    18cos54cos

    18cos90cos54cos90cos

    36sin54sin2.18sin72sin2

    161

    161

    161

    161

    2161

    2161

    2161

    218cos36sin

    161

    2161

    2

    161

    161

    161

    161

    161

    161

    161

    81

    81

    81

    81

    41

    41

    41

    =

    +=+=

    +=+=

    +=+=

    +

    =+=

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    +=

    +=

    +=

    +=

    =

    =

    365. Jika n bilangan asli, buktikan bahwa ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2005100320052004......321 ++++++ nnnnnnJawab :

  • ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( )( )

    ( ) 2

    2

    2

    2

    1003)1004)(1002(

    .........1003)2003)(3(

    1003)2004)(2(

    100320051

    10032

    2005120051

    +++

    +++

    +++

    +++

    +=+++++

    nnn

    nnn

    nnn

    nnn

    nnnnn

    x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2004100320052004......321 ++++++ nnnnnn (tanpa (n+1003))( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2005100320052004......321 ++++++ nnnnnn

    366. Jika n bilangan bulat positif sehingga 2n + 1 kuadrat murni, buktikan bahwa n + 1 merupakan jumlah dua bilangan kuadrat berurutan !Jawab :Misal 2n + 1 = 2sKarena 2s ganjil maka s juga ganjil atau misal s = 2t + 1, maka :

    ( )( )22222

    22

    1121221

    221212

    ++=+++=++=+

    +=+=+

    tttttttnSehingga

    ttntn

    367. Jika 3n + 1 bilangan kuadrat sempurna, buktikan bahwa n + 1 merupakan jumlah dari tiga bilangan kuadrat sempurnaJawab :Misal 213 sn =+Kemungkinan s adalah s = 3t + 1 atau s = 3t 1

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) 2222

    222

    2222

    222

    113691

    3691691313.2

    113691

    3691691313.1

    tttttn

    ttntttn

    tttttn

    ttntttn

    ++=+=+

    =+==+

    +++=++=+

    +=++=+=+

    368. Jika badanba > 0, , buktikan 2233 abbaba +>+Jawab :

    ( ) ( ) ( )

    2233

    222233

    22

    22

    222

    )0,(2

    abbabaabbaabbaba

    baabbababakarenaabba

    +>+

    +>++++>+

    369. Untuk yxdenganAsliyx >, , buktikan bahwa ( ) ( )!1!1!! +++ yxyxJawab :

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )!1!1!!)2()1()2........(!1!1.2

    )1.......(!!1!1!1.1

    +++++>+>

    =+=+=

    yxyxJikayxyxUntuk

    yxyxyxUntuk

    370. Jika cbacba > ,0,, , buktikan ( ) ( )bcacabcba ++>++ 32Jawab :

  • ( ) ( ) ( )

    bcacabcbabcacabbcacabcbabcacabbcacabcba

    bcacabcbacbcaba

    333)()(3)(2)(2)(3

    0

    2

    222

    222

    222

    222

    ++>++++>+++++

    ++++>++++>++

    >++

    371. Jika cbacba > ,0,, , buktikan bahwa ( ) ( )cbaabcbcacab ++>++ 32Jawab :( ) ( ) ( )

    ( )cbaabcbcacababccabbcaabccabbcabcacababccabbcaabccabbcabcacab

    abccabbcabcacabbcacbcabacab

    ++>++

    ++>+++++++++>++

    ++>++

    >++

    3)()(3)(2)()()()(2)(3)()()(

    )()()(0

    2

    222222222

    222222222

    222222

    222

    372. Untuk setiap bilangan asli, buktikan bahwa )12.....(7.5.3.1 nnn

    Jawab :

    n

    n

    n

    nn

    nnnn

    nn

    n

    )12......(7.5.3.1

    )12......(7.5.3.1)121(

    )12......(7.5.3.1)12(.....7531

    21

    +

    +++++

    )12.....(7.5.3.1 nnn

    373. Diketahui 522 =+ xx . Tentukan nilai xx + 44 = ..Jawab :

    ( ) 23225442522 2 ==+=+ xxxx

    374. Diketahui 522 =+ xx . Tentukan nilai xx + 88 = ..Jawab :

    ( ) 1105.1.3125)22(2.2.32288 3 ==++=+ xxxxxxxx

    375. D

    3 C 6 3 A 4 B

    Tentukan nilai BADcos !Jawab :

    ( )

    3317

    6634cos

    )cos.(1899cos481636180cos3.3.233cos4.6.246

    180222222

    ==

    +=++=+=

    =

    A

    AAAABDBD

    AC

    376. Diketahui .32,0cossin = Nilai .......cos1

    sin1 =

    Jawab :

  • ( )

    825

    64225

    cos1

    sin1

    64225

    )32,0(32,0.21

    cossincossin2sincos

    cossinsincos

    cossinsincos

    cos1

    sin1

    22

    222

    ==

    ==+=

    =

    377. Seorang murid diminta menyelesaikan 10 dari 17 soal, namun setiap nomor genap harus dikerjakan. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil !Jawab :Banyaknya soal wajib sebanyak 8 butir, jadi banyaknya soal pilihan =

    3629)810()817( == CC

    378. Tentukan himpunan penyelesaian dari 01522 xxJawab :

    ( ) ( )

    55505

    :,3

    03501522

    +

    +

    xxx

    makapositifdefinitxKarena

    xxxx

    379. Jika 01242

  • ( ) ( )

    [ ]2

    6443

    64)2)(2(3

    64)6)(2(3

    64)19)(5(3

    641953

    4

    43

    31

    4

    4

    8

    0

    21

    13

    21

    13

    =

    =

    =+

    =

    =

    =

    kxxk

    dxxxk

    dxxxk

    dxxxk

    dxxxk

    384. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P terletak di tengah-tengah CD, maka tentukan jarak titik B ke bidang APH !Jawab :

    H G

    E F

    D P C

    A B

    T D C

    A B

    Q

    B.QCH berupa limas beraturan.Luas segitiga ABC = '..'.. 2

    121 ACBTBCAB =

    68

    3424.4

    ''. ===

    ACBCABBT

    385. Diketahui bidang empat T.ABC dengan TA = TB = 5, TC = 2, CA = CB = 4 dan AB = 6. Jika sudut antara TC dengan bidang TAB, maka tentukan cos !Jawab :

    T PT = 4PC = 7

    5 1613

    2.4.27416cos =+=

    A C P B

    386. Tentukan jarak terdekat garis 3x + 4y + 18 = 0 terhadap lingkaran 4)1()1( 22 =+ yx Jawab :

    Q d r

  • P(1,1)

    Pusat lingkaran P(1,1) dengan jari-jari r = 2

    325

    543181.41.322

    ===

    =+

    ++=

    rPQd

    PQ

    387. Jika ( ) ( ) 227

    1).(

    11

    +=

    ++

    xbaxxH

    xxx

    maka tentukan nilai a b =

    Jawab :

    1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 2 3 S1 1 2 3 4 5 6

    1 2 3 4 5 6 8 S2

    Sisa = S2.P1+S1 = 8(x-1) + 3 = 8x 5 = ax + ba = 8 dan b = -5Sehingga a b = 13

    388. Apabila 21 xdanx akar-akar persamaan 0352 =+ xx maka tentukan nilai dari ( ) ( ) ......4242 222121 =++ xxxxJawab :( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )( )

    4315.33.9

    139130130

    133513354242

    2121

    21

    222211

    212

    221

    21

    =++=

    +++=++++=

    ++++++=++

    xxxxxx

    xxxxxxxxxx

    389. Jika abc = 900 dan cba logloglog 532 == maka tentukan nilai a + b + c = Jawab :abc = 900 dan cba logloglog 532 == maka a = 4, b = 9 dan c = 25Jadi a + b + c = 4 + 9 + 25 = 38

    390. Jika A(-2,5), B(4,1) dan C(2,5) ditransformasikan oleh matriks

    5232

    maka tentukan

    luas segitiga bayangannya !Jawab :

    324.4.)610(5232

    ' 21 === xxLL

    391. Jika 24 =+=+db

    cadan

    dc

    ba

    maka tentukan nilai cb

    Jawab :

    212424 ===+=+

    cbcdbd

    cdbcaddan

    bdbcad

    392. Tentukan bentuk sederhana dari 122

    632

    34

    ++Jawab :

  • Misal 32

    2=x maka :

    ( ) ( )14214

    126

    116

    11.

    16

    16 3

    322

    32

    =

    =

    =

    ++=

    ++ xx

    xx

    xxxx

    393. Tentukan jumlah dari ......1615

    814

    413

    2121 +

    +

    +

    +

    +

    Jawab :

    .........

    .........1

    164

    83

    42

    21

    21

    165

    84

    43

    22

    ++++=

    +++++=

    AA

    -

    4211

    1

    .........1

    212

    1

    161

    81

    41

    21

    21

    ==

    =

    =

    +++++=

    Ar

    aA

    A

    394. Tentukan nilai dari x

    lim 111124 222 ++++ xxxxxx

    Jawab :

    xlim

    =++++ 111124 222 xxxxxx

    xlim

    =++++++ 11121124 2222 xxxxxxxx

    xlim

    114441124 2222 ++++++ xxxxxxxx

    = 312)1(1

    42412 =+

    395. Hasil dari ......20012.46012.1612.5812.712 2345 =+Jawab :

    12 1 -7 -58 16 -460 -200 12 60 24 480 240 +

    1 5 2 40 20 40 Hasil yang diminta.

    396. Hitung nilai 18sin54sinJawab :

    Cara I : 41

    72sin272sin

    18cos236sin36cos

    18cos236sin.54sin18sin54sin 2

    1

    ====

    Cara II : p = 18sin54sin

    4136sin.36sin

    18sin18cos18sin)18cos90(cos18sin36sin54sin36sin

    21

    21

    21

    21

    ==

    ===

    pp

    p

    Cara III :

  • ( ) ( )

    ( )

    ( )( ) ( )

    415518sin54sin

    552118sin2136cos54sin

    518sin

    0118sin218sin4118sin

    0118sin218sin4118sin0118sin318sin218sin4

    18sin2118sin418sin318.2cos18.3sin

    36cos54sin

    41

    41

    41

    41

    41

    41

    41

    412

    41

    41

    2

    2

    23

    23

    =++=

    +=+===

    +=

    =+=

    =+=+

    ==

    =

    mungkintidak

    Cara IV : Dengan pendekatan geometri

    D C

    36 E x 36 x 36 36 72 A x B

    Pada segitiga ABE dengan aturan cosinus : 18sin

    2172cos72cos.1..21222 ==+=x

    xxx

    Pada segitiga BEC dengan aturan cosinus :

    41

    21.

    218sin.54sin

    54sin2

    36cos36cos..1.211 222

    ==

    ==+=

    xx

    xxx

    397. Tentukan jumlah semua penyelesaian persamaan

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 43

    321

    211

    11 =

    +++

    +++

    + xxxxxxJawab :

    ( ) 111

    11

    +=

    + xxxx

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    313043

    43

    311

    43

    31

    21

    21

    11

    111

    43

    321

    211

    11

    212 ==+=+=

    +

    =+

    +

    ++

    +

    ++

    =++

    +++

    ++

    xxxxxx

    xxxxxx

    xxxxxx

    398. Jika a, b dan c akar-akar persamaan 052 23 =+ xxx maka tentukan nilai ( ) ( ) ( )cba 222Jawab :Cara I :

  • 35)1(22.48)(2)(48)2()2()2(

    5

    1

    2

    =++=+++++=

    ==

    ==++

    ==++

    abcbcacabcbacbaadabc

    acbcacab

    abcba

    Cara II :

    3528852220)()()(

    052

    23

    23

    =+=+===

    =+

    xxxkexSubstitusixcxbxax

    xxx

    399. Tentukan himpunan penyelesaian 02622

  • 323'cos

    323

    6.2.21426cos ==+= BAOOAB

    73323.6.14'cos. === BAOOAAPOAAP

    402. Tentukan x jika xxx =+ 2442Jawab :

    ( ) 22222244 22 ===+ xxxxxxxx

    403. Jika 032 = xx akar-akarnya p dan q, maka tentukan ( ) ( )52 22 ++++ pqqpJawab :

    63)81)(61()8)(5()53()23()5()2(

    3330322

    2222

    =++=++++=++++++=++++

    +=+=+==qpqppqqppqqp

    qqdanppxxxx

    404. Jika ( ) ( ) ( )7,1,2 + aaa merupakan barisan geometri, maka tentukan rasionya !Jawab :

    2)2()1()1()7(

    )1()1(2

    12

    23

    =+=

    ==

    =

    aaaar

    rrarar

    aararar

    UUUU

    405.

Recommended

View more >