01b - statica

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statica

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  • STATICA

    Grandezze e operazioni fondamentali

    Carichi e vincoli

    Equazioni di equilibrio

    Calcolo delle reazioni

  • 1Grandezze e operazioni fondamentaliForza, momento e loro risultanti

    Forza:

    Vettore (modulo, direzione, verso) Operazione di risultante

    = i xiFx FR

    In componenti cartesiane

    La risultante un vettore libero, cio non legato a un particolare punto di applicazione

    = i yiFy FR = i ziFz FR

    F1

    F2

    RF

    FRr

  • 2Momento di una forza

    Vettore (risultato di un prodotto vettore o prodotto esterno)

    FMrr

    = )OP(Opolo

    punto di applicazione della forza

    libero (nota: calcolato rispetto a O, non applicato in O)

    F

    M

    O

    P

    O

    Vettore MO perpendicolare al piano contenente (P-O) e F

    FbM =O

    FO

    P

    b

    MO

    Rappresentazione pratica 2D (direzione vettoriale momento sempre normale al piano dello schema)

  • 3Momento risultante

    Vettore (somma vettoriale)

    +=+= i iiii iiM CFCMR ))OP(()( OOrrrrr

    momento puro

    Trasposizione (regola per il cambiamento di polo: da O a O')

    FMM RRRrrr

    += )'OO(O'O

    Significato pratico dei momenti puri: casi in cui un sistema produce solo momento e nessuna forza risultante.Esempi:

    C=Fh

    h F

    F

    coppia di due forze

    uscita da un motore

    Propriet utile per eseguire certi calcoli

  • 4Equilibrio statico Un sistema in equilibrio statico se:

    equil. alla traslazione

    equil. alla rotazione

    0rr

    =i iF

    0)( Orrr

    =+i ii CM

    0=i xiF 0=i yiF

    0)( =++i iyiixii CFxFy

    Nel piano, ragionando per componenti (e con polo in O):y

    xO xi

    yiFyi

    FxiPi

    Cio se forza e momento risultanti (polo qualsiasi) sono nulliIn pratica, nei sistemi meccanici lequilibrio si realizza tra carichi applicati e reazioni dei vincoli (supporti, fissaggi, cuscinetti,)

    notare i differenti versi di momento dovuti a Fxi, Fyi

    3+3=6 condizioni

    2+1=3 condizioni

  • 5Equivalenza statica (1)Due sistemi sono equivalenti se danno origine a:

    stessa forza risultante stesso momento risultante

    Notare che equivalenti non significa che sono identici, ma che nelle equazioni di equilibrio danno uguale contributo

    Il momento di trasporto M permette di rispettare lequilibrio alla rotazione

    M=FdF

    d

    Sistema equivalente

    Fd

    Sistema originale

    Il principio di equivalenza viene spesso utilizzato per sostituire, nelle equazioni, un sistema complicato con uno semplice

    Casi notevoli di uso dellequivalenza:1) Trasporto trasversale di una forza

  • 6Equivalenza statica (2)

    F1

    F2

    F3

    2) Sostituzione di un sistema di forze/momenti con i soli: Forza risultante, applicata in un punto arbitrario, e Momento risultante, calcolato con polo nel punto arbitrario

    Sistemi piani: possibile sostituire il sistema con la sola risultante applicata su una particolare retta di passaggio, l'asse centrale.

    Per determinarlo:i) Si sostituisce il sistema iniziale con la risultante applicata in O e il momento risultante RMo;

    0O'O

    == FMM RRR FM RR /O=

    RF

    O'

    ii) Utilizzando lequazione di trasposizione del momento si cerca il polo O' per il quale il momento risultante si annulla:

    F

    MO

    R

    R

    O

  • 7Carichi e vincoliCarichi: azioni esercitate sulla struttura (di solito dati del problema)

    Concentrati (puntuali): forza, momento

    Distribuiti:

    di volume es.: peso specifico di un materiale

    di superficie es.: pressione di un fluido, peso allunit di area di un elemento bidimensionale(lamiera, )

    di linea es.: peso allunit di lunghezza di un elemento monodimensionale (cavo, barra,)

  • 8Vincoli: collegano gli elementi strutturali fra di loro (v. interni) o a un basamento (v. esterni), esercitando reazioni (di solito incognite del problema)

    Duplice aspetto:

    Cinematico: limitazione del moto Vincoli interni punti di elementi diversi sono obbligati ad

    assumere uguali componenti di spostamento/rotazione Vincoli esterni punti di elementi diversi sono obbligati ad

    assumere le componenti di spostamento/rotazione imposte dal basamento (di solito nulle)

    Statico: applicazione delle reazioni Vincoli interni forze, momenti di reazione scambiati tra gli

    elementi collegati

    Vincoli esterni forze, momenti di reazione applicati dal basamento alla struttura e viceversa

  • 9Termini noti e incogniti

    Dei due termini, cinematico (spostamento o rotazione) e statico(forza o momento) associati a un certo grado di libert, sempre unodei due noto e laltro incognito :

    Se noto lo spostamento o la rotazione (vincolo), allora incognita la reazione esercitata

    Viceversa, se nota la forza o il momento (applicazione di uncarico), allora il corrispondente spostamento incognito

  • 10Tipi di vincolo (1)

    Cerniera (2 reaz. incognite)

    Ordine del vincolo:Numero di gradi di libert (coincidente col numero di componentidi reazione) vincolati: vincolo semplice, doppio, triplo, ecc.Vincoli notevoli nel piano:

    Le componenti segnate sono da intendersi come reazioni esercitate dal basamento verso gli elementi

    V

    V

    O

    V

    O M

    Appoggio o carrello (1 reaz. incognita)

    Incastro (3 reaz. incognite)

  • 11

    Tipi di vincolo (2) Cerniera interna (2 reaz. incognite)

    Le componenti segnate sono da intendersi come di azione e reazione scambiate tra gli elementi

    Guida prismatica interna (2 reaz.incognite)

    OV

    O

    V

    V M

    V

    M

    O'' V''

    O'

    V'

    F' O'O''

    V'V'' La situazione si complica nel caso di carico applicato direttamente sul vincolo

  • 12Grado di iperstaticit (1)Obiettivi:

    Conteggiare il numero di reazioni incognite Stabilire se un problema risolvibile con le sole

    equazioni della staticaDefinizione:

    h rappresenta il numero di gradi di libert del sistema, con segno cambiato

    apciv +++= )(23

    h= N reazioni N equazioni

    Per problemi piani: mvh 3=N elementi

    Gr. di lib. nel pianoN reazioni

    N appoggiN guide prismatiche

    N incastriN cerniere

  • 13Grado di iperstaticit (2)Casi possibili:

    h < 0 ipostatico (o labile ) la posizione degli elementi non univocamente

    determinata (meccanismo) equilibrio statico possibile se i carichi esterni soddisfano

    opportune condizioni h = 0 isostatico

    posizione degli elementi univocamente determinata possibile determinare le reazioni incognite mediante le

    sole equazioni della statica h > 0 iperstatico

    sistema sovravincolatoNON possibile determinare le reazioni incognite

    mediante le sole equazioni della statica

  • 14Esempi di sistemi labili, iso- e iperstatici (2D)m = 1

    h = -3v = 0

    m = 1

    h = -2v = 1

    a = 1

    m = 1

    h = -1v = 2

    c = 1

    m = 1

    h = 0v = 3

    c = 1a = 1

    m = 1

    h = 0v = 3

    i = 1

    m = 1

    h = 1v = 4

    c = 2

    m = 1

    h = 1v = 4

    i = 1a = 1

    m = 1

    h = 2v = 5

    i = 1c = 1

    m = 1

    h = 3v = 6

    i = 2

    m = 2

    h = -1v = 5

    c = 2a = 1

    m = 2

    h = 0v = 6

    c = 3

    Un elemento

    Due elementim = 2

    h = 1v = 7

    i = 1c = 2

    eccetera

  • 15Scrittura equazioni di equilibrioProcedura

    Racchiudere ogni elemento in una linea di distacco che loisola dagli altri interrompendo i vincoli

    In corrispondenza delle interruzioni, segnare su ognielemento le componenti di reazione (incognite) diagramma di corpo libero le componenti segnate indicano le azioni degli altri elementi (o

    del basamento) sullelemento considerato Per ogni elemento scrivere le equazioni di equilibrio

  • 16

    Esempi di diagrammi di corpo libero nel pianoScelta di direzione e verso delle componenti incognite Per gli appoggi la direzione quella dellunica

    componente di reazione applicata; Per le cerniere si scelgono due direzioni ortogonali,

    spesso (ma per comodit, non obbligatoriamente!) orizzontale e verticale

    La scelta di un verso o del suo opposto arbitraria, semplicemente cambia di segno la reazione da trovare

    importante: principio di azione e reazionenei vincoli interni

    FF

    1

    2

    A

    B

    linea didistacco

    FF

    1

    2

    VA

    VBOA

    F F1 2

    VA VB

    OA OBVC

    O COC

    VC

    F F12

    BA

    C

  • 17Equazioni di equilibrio nel piano

    Gruppo di tre equazioni, scelte fra le seguenti combinazioni:a) 2 equazioni di equilibrio alla traslazione lungo

    direzioni non parallele + 1 equazione di equilibrio alla rotazione intorno ad un punto arbitrario;

    Polo 1

    Polo 2 90

    direzione di equil. alla traslazione

    NO!

    Polo 1

    Polo 2

    Polo 3 NO!

    Nei casi b), c) non rispettare le limitazioni porta a scrivere equazioni che non esprimono tre condizioni diverse di equilibrio nel piano

    b) 2 equazioni di equilibrio alla rotazione + 1 equazione di equilibrio alla traslazione lungo una direzione non perpendicolare alla congiungente i punti rispetto ai quali si calcolano i momenti;

    c) 3 equazioni di equilibrio alla rotazione intorno a punti non allineati.