03 Polinomios 4B - Apuntes ?· Title: Microsoft Word - 03 Polinomios 4B.docx Author: asalvador Created…

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    17-Nov-2018

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<ul><li><p>LibrosMareaVerde.tk</p><p>www.apuntesmareaverde.org.es</p><p>Autor:EduardoCuchilloIbez</p><p>Revisor:JavierRodrigo</p><p>Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>ycommons.wikimedia</p><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas</p><p>4BESOCaptulo3:</p><p>Expresionesalgebraicas.Polinomios</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>58 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p>ndice</p><p>1.INTRODUCCIN.EXPRESIONESALGEBRAICAS1.1.INTRODUCCIN</p><p>1.2.EXPRESIONESALGEBRAICAS</p><p>2.POLINOMIOS.SUMAYPRODUCTO2.1.MONOMIOS.POLINOMIOS</p><p>2.2.SUMADEPOLINOMIOS</p><p>2.3.PRODUCTODEPOLINOMIOS</p><p>3.DIVISINDEPOLINOMIOS3.1.INTRODUCCINALASFRACCIONESPOLINMICAS</p><p>3.2.DIVISINDEPOLINOMIOS</p><p>3.3.OPERACIONESCONFRACCIONESALGEBRAICAS</p><p>4.DESCOMPOSICINFACTORIALDEUNPOLINOMIO4.1.FACTORIZACINDEUNPOLINOMIO</p><p>4.2.RACESDEUNPOLINOMIO</p><p>4.3.REGLADERUFFINI</p><p>4.4.CLCULODELASRACESDEUNPOLINOMIO</p><p>4.5.FACTORIZACINDEPOLINOMIOSYFRACCIONESALGEBRAICAS</p><p>4.6.PRODUCTOSNOTABLESDEPOLINOMIOS</p><p>ResumenEnmultitudde situacionesel serhumano seveobligadoa cuantificar,amanejar cantidades,datos,nmeros, ya sea para explicar algo ocurrido en el pasado, algn hecho que est sucediendo en laactualidad,oparapredeciropronosticarelcomportamientodedeterminado fenmenoenel futuro.Pese a la dificultad que puedan encerrar esas justificaciones, algunas herramientas son de carctersencillo, como las operaciones usuales de suma, resta, producto y divisin. En ocasiones hay quemanejar datos an no conocidos, por lo que aparecen indeterminadas o variables. La mezcla denmerosrealesylascitadascuatrooperacionesbsicasnosllevaalasexpresionesalgebraicasy,dentrodeellas,destacanunasexpresionesconcretaspor suabundanteusoy simplicidaddeexposicin, lospolinomios.</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>59 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p>1.INTRODUCCIN.EXPRESIONESALGEBRAICAS</p><p>1.1.IntroduccinNohace falta imaginar situaciones rebuscadasparaque,a lahorade realizarun razonamiento,nostopemos con alguna de las cuatro operacionesmatemticas bsicas: suma, resta,multiplicacin odivisin.</p><p>Ejemplos:</p><p> Tres amigos han realizado un viaje de vacaciones. A la vuelta, hansumadolosgastosefectuadosystosasciendena414euros.Elgasto</p><p>realizadoporcadaunohasidode3</p><p>414euros,esdecir,138euros.</p><p> Sivamosacomprarmandarinasauna fruteraen laqueelpreciodeunkilogramoesde125euros, resulta habitual que, segn vamos introduciendo la fruta en una bolsa, vayamostanteandoelimportefinal.Paraellopodemoscolocarvariasveceslabolsasobreunabalanzay,</p><p>trasobservarelpeso,realizamoslaoperacin</p><p>x25'1 donde x eslacantidaddekilogramosquenoshaindicadolabalanza.Despusdecadapesada,el resultadodeesamultiplicacin reflejaelimportedelasmandarinasque,enesemomento,contienelabolsa.</p><p> Supongamos que tenemos un contrato con una compaa de telefona mvil por el quepagamos5cntimosdeeuroporminuto,ascomo12cntimosporestablecimientodellamada.Conesatarifa,unallamadade3minutosnoscostar:</p><p>27'012'015'012'0)305'0( euros</p><p>Pero cul es el precio de una llamada cualquiera? Comodesconocemossuduracin,nosencontramosconunacantidadnodeterminada,o indeterminada,por loqueencualquier respuestaquedemosa lapreguntaanteriorseapreciar laausenciadeesedato concreto. Podemos decir que el coste de una llamadacualquieraes</p><p>12'005'012'0)05'0( xx euros</p><p>donde x sealasuduracin,enminutos.</p><p>Actividadespropuestas1. Afinalesdecadameslaempresadetelefonamvilnosproporcionala</p><p>facturamensual.Enellaaparecemucha informacin,enparticular,elnmero totalde llamadasrealizadas (N)ascomo lacantidad totaldeminutos de conversacin (M). Con los datos del anterior ejemplo,justificaqueelimportedelasllamadasefectuadasduranteesemeses:</p><p>NMNM 12'005'0)12'0()05'0( euros</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>60 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p>Ejemplo:</p><p> Es bien conocida la frmula del rea de un tringulo de base b y alturaasociadah:</p><p>2hb </p><p>Entodosestosejemploshansurgidoexpresionesalgebraicas.</p><p>1.2.ExpresionesalgebraicasLlamamosexpresinalgebraicaacualquierexpresinmatemticaqueseconstruyaconnmerosrealesy las operaciones matemticas bsicas: suma, resta,multiplicacin y/o divisin. En una expresinalgebraica puede haber datos no concretados; segn el contexto, recibirn el nombre de variable,indeterminada,parmetro,entreotros.</p><p>Sienunaexpresinalgebraicanohayvariables,dichaexpresinnoesmsqueunnmeroreal:</p><p>Ejemplo:</p><p>2313</p><p>22</p><p>23151</p><p>23151</p><p>215211</p><p>152211</p><p>1510</p><p>1512</p><p>211</p><p>5352</p><p>3534</p><p>211</p><p>32</p><p>54</p><p>)7(3 </p><p>Alfijarunvalorconcretoparacadaindeterminadadeunaexpresinalgebraicaapareceunnmeroreal:elvalornumricodeesaexpresinalgebraicaparatalesvaloresdelasindeterminadas.</p><p>Ejemplo:</p><p> Elvolumendeuncilindrovienedadoporlaexpresinalgebraicahr 2 </p><p>enlaquereselradiodelcrculobaseyhessualtura.Deestemodo,elvolumendeuncilindrocuyabase tieneun radiode10 cmydealtura15cmesiguala:</p><p>32 15001510 cm La expresin algebraica que representa el producto de los cuadrados de dos nmeroscualesquiera x e y sesimbolizapor 22 yx .</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>61 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p> Si en la expresinz</p><p>yxx 62</p><p>7 3 particularizamos las tres variables con los valores 4x ,</p><p>1y ,21</p><p>z surgeelnmeroreal 7124272/1</p><p>6)1(4247 3 </p><p>En una expresin algebraica puede no tener sentido otorgar algn valor a cierta indeterminada. Enefecto,enelltimoejemplonoesposiblehacer 0z .</p><p>Actividadespropuestas2. Recuerdalaexpresinalgebraicaquenosproporcionalalongituddeuna</p><p>circunferencia.</p><p>3. Escribeenlenguajealgebraicolossiguientesenunciados,referidosadosnmeroscualesquiera x ey :</p><p>a)Lamitaddelopuestodesusuma.</p><p>b)Lasumadesuscubos</p><p>c)Elcubodesusuma</p><p>d)Elinversodesusuma</p><p>e)Lasumadesusinversos</p><p>4. Unatiendaderopaanunciaensusescaparatesqueestderebajasyquetodossusartculosestnrebajadosun20% sobreelprecio impresoen cadaetiqueta.Escribe loquepagaremosporunaprendaenfuncindeloqueapareceensuetiqueta.</p><p>5. El anterior comercio, en los ltimos das del periodo de rebajas,deseadeshacersede susexistenciasyparaellohadecididoaumentareldescuento.Mantiene el 20% para la compra de una nica prenda y, apartirde lasegunda,eldescuentototalaumentaun5%porcadanuevapiezaderopa,hastaunmximode10artculos.Analizacuntopagaremosalrealizarunacompraen funcinde lasumatotalde lascantidadesquefiguranenlasetiquetasydelnmerodeartculosqueseadquieran.</p><p>6. Calculaelvalornumricode las siguientesexpresionesalgebraicasparaelvalorovaloresque seindican:</p><p>a)x2+7x12parax=0.</p><p>b)(a+b)2(a2+b2)paraa=3yb=4.</p><p>c)a25a+2paraa=1.</p><p>7. Indica,encadacaso,elvalornumricodelasiguienteexpresin:10x+20y+30za)x=1,y=2,z=1</p><p>b)x=2,y=0,z=5</p><p>c)x=0,y=1,z=0.</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>62 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p>2.POLINOMIOS.SUMAYPRODUCTO</p><p>2.1.Monomios.PolinomiosUnasexpresionesalgebraicasdegranutilidadson lospolinomios,cuyaversinmssimpley,a lavez,generadoradeellos,sonlosmonomios.</p><p>Unmonomiovienedadoporelproductodenmerosrealeseindeterminadas.Llamaremoscoeficientedeunmonomioalnmerorealquemultiplicaalaindeterminada,oindeterminadas;laindeterminada,oindeterminadas,conformanlaparteliteraldelmonomio.</p><p>Ejemplos:</p><p> Laexpresinquenosproporcionaeldobledeunacantidad, x2 ,esunmonomioconunanicavariable, x ,ycoeficiente2.</p><p> El volumen de un cilindro, hr 2 , es un monomio con dos indeterminadas, r y h , ycoeficiente . Suparteliterales hr 2 .</p><p> Otrosmonomios: 3274 yx , zyx 225 </p><p> Laexpresin xxyxy 237 2 estformadaportrestrminos,tresmonomios.Cadaunotieneuncoeficienteyunaparteliteral:</p><p>Enelprimero, 27xy ,elcoeficientees7 ylaparteliteral 2xy </p><p>Elsegundo, xy3 ,tieneporcoeficiente3 yparteliteral xy </p><p>Yeneltercero, x2 ,elcoeficientees 2 ylaparteliteral x </p><p>Atendiendo al exponente de la variable, o variables, adjudicaremos un grado a cadamonomio conarregloalsiguientecriterio:</p><p> Cuando haya una nica indeterminada, el grado del monomio ser el exponente de suindeterminada.</p><p> Siaparecenvarias indeterminadas,elgradodelmonomio ser la sumade losexponentesdeesasindeterminadas.</p><p>Ejemplos:</p><p> x2 esunmonomiodegrado1enlavariable x . hr 2 esunmonomiodegrado3enlasindeterminadas r y h .</p><p> 3274 yx esunmonomiodegrado5en x e y .</p><p> zyx 225 esunmonomiodegrado4en x , y y z .</p><p>Unnmerorealpuedeserconsideradocomounmonomiodegrado0.</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>63 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p>Unpolinomioesunaexpresinconstruidaapartirdelasumademonomios.Elgradodeunpolinomiovendrdadoporelmayorgradodesusmonomios.</p><p>Ejemplos:</p><p> 2751 32 xx esunpolinomiodegrado3enlavariable x .</p><p> xxy 283 24 esunpolinomiodegrado4enlasindeterminadas x ey.</p><p> 232 374 yyx esunpolinomiodegrado5en x ey. zyx 62 esunpolinomiodegrado1en x ,yyz.</p><p>Tantoenestaseccincomoenlasiguientenoslimitaremos,bsicamente,aconsiderarpolinomiosconunanica variable. Eshabitual escribir losdiferentesmonomiosde unpolinomiode formaque susgradosvayanendescensopara,conestecriterio,apreciarensuprimermonomioculeselgradodelpolinomio.</p><p>Elaspectogenricodeunpolinomioenlavariable x es</p><p>012</p><p>21</p><p>1 ...... axaxaxaxan</p><p>nn</p><p>n </p><p>dondeloscoeficientes ka sonnmerosreales.</p><p>Decimosqueunpolinomioesmnicocuandoelcoeficientedesutrminodemayorgradoesiguala1.</p><p>Ejemplos:</p><p> 2513 24 xx esunpolinomiodegrado4enlavariable x .</p><p> 734 3 yy esunpolinomiodegrado3enlaindeterminada y .</p><p> 1232 zz esunpolinomiodegrado2en z .Adems,esunpolinomiomnico. 93 x esunpolinomiodegrado1en x .</p><p>Comoocurre con cualquierexpresin algebraica, si fijamos,oescogemos,un valor concretopara lavariable de un polinomio aparece un nmero real: el valor numrico del polinomio para ese valordeterminadodelavariable.Sihemosllamado p aunpolinomio,alaevaluacinde p en,porejemplo,elnmero 3 ladenotamospor )3(p ,y leemos pdemenos treso penmenos tres.Conestecriterio,si p esunpolinomiocuyaindeterminadaeslavariable x ,podemosreferirnosalcomo p o</p><p>)(xp indistintamente.</p><p>De esta forma apreciamos que un polinomio puede ser entendido como unamanera concreta deasignaracadanmerorealotronmeroreal.</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>64 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p>Ejemplos:</p><p> Sievaluamoselpolinomio 2513 24 xxp en 5x nosencontramosconelnmero</p><p>186871875256253255153)5( 24 p </p><p> Elvalordelpolinomio 734)( 3 yyyq para 1y es</p><p>1410473)1(47)1(3)1(4)1( 3 q </p><p> Alparticularizarelpolinomio 1232 zzr en 0z resultaelnmero 12)0( r .</p><p>2.2.SumadepolinomiosComounpolinomioesunasumademonomios,lasumadedospolinomiosesotropolinomio.Alahoradesumardospolinomiosprocederemosasumarlosmonomiosdeigualparteliteral.</p><p>Ejemplos:</p><p> Lasumadelospolinomios 2513 24 xx y 654 24 xxx eselpolinomio</p><p>455214)62(54</p><p>51)13(</p><p>)62(5451)3()654(2</p><p>513</p><p>2424</p><p>22442424</p><p>)(</p><p>)()(</p><p>xxxxxx</p><p>xxxxxxxxxx</p><p> 66)71()43()5()74()135( 22222 xxxxxxxxxx </p><p> 142)4()12( 3443 xxxxxx </p><p> 11)2()9( 33 xx 3xy+5xy+2x=8xy+2x</p><p>Enelsiguienteejemplosumaremosdospolinomiosdisponindolos,adecuadamente,unosobreotro.</p><p>Ejemplo:</p><p>22523</p><p>635474524</p><p>345</p><p>235</p><p>2345</p><p>xxxx</p><p>xxxxxxxxx</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>65 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p>PropiedadesdelasumadepolinomiosPropiedadconmutativa.Sipyqsondospolinomios,noimportaelordenenelqueloscoloquemosalahoradesumarlos:</p><p>pqqp </p><p>Ejemplo:</p><p>855)17()32()4()13()724( 23223232 xxxxxxxxxxxxx </p><p>855)71()23()4()724()13( 23223223 xxxxxxxxxxxxx </p><p>Propiedad asociativa. Nos seala cmo se pueden sumar tres o ms polinomios. Basta hacerloagrupndolosdedosendos:</p><p>)()( rqprqp </p><p>Ejemplo:</p><p>245)6()855()6()13724()6()13()724(</p><p>2323</p><p>232232</p><p>xxxxxxxxxxxxxxxxxxx </p><p>Tambin:</p><p>245)52()724()613()724()6()13()724(</p><p>23232</p><p>232232</p><p>xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx</p><p>Actividadespropuestas8. Realizalassiguientessumasdepolinomios:</p><p> )222()132()( 2322 xxxxxxx </p><p> )52()453()32( 3234 xxxxxxx Elemento neutro. Hay un polinomio con una propiedad particular: el resultado de sumarlo concualquierotrosiempreessteltimo.Setratadelpolinomiodadoporelnmero0,elpolinomiocero.</p><p>Ejemplo:</p><p>7370)737()737(0 333 xxxxxx Elementoopuesto.Cadapolinomio tieneasociadootro,alque llamaremossupolinomioopuesto, talque la suma de ambos es igual al polinomio cero. Alcanzamos el polinomio opuesto de uno dado,simplemente,cambiandoelsignodecadamonomio.</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>66 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p>Ejemplo:</p><p> Elpolinomioopuestode 722 34 xxxp es 722 34 xxx ,alquedenotaremoscomo"" p .Ratifiquemosquesusumaeselpolinomiocero:</p><p>0)77()22()()22()722()722( 33443434 xxxxxxxxxxxx </p><p>Actividadespropuestas9. Escribeelpolinomioopuestodecadaunodelossiguientespolinomios:</p><p>a) 1453 234 xxxx </p><p>b) x7 c) 24 3xx </p><p>10. Consideralospolinomios 253 xxp , 133 2 xxq ,ascomoelpolinomiosuma qps .Hallalosvaloresqueadoptacadaunodeellospara 2x ,esdecir,calcula )2(p , )2(q y )2(s .Estudiasiexistealgunarelacinentreesostresvalores.</p><p>11. Obtnelvalordelpolinomio 253 xxp en 3x .Quvalortomaelpolinomioopuestode p en 3x ?</p><p>2.3.Productodepolinomios</p><p>Otraoperacinquepodemosrealizarconpolinomioseslamultiplicacin.</p><p>El resultado del producto de polinomios siempre ser otro polinomio. Aunque en un polinomiotenemosuna indeterminada,ovariable,comoella tomavaloresen losnmeros reales,a lahorademultiplicarpolinomiosutilizaremoslaspropiedadesdelasumayelproductodelosnmerosreales,enparticular lapropiedaddistributivadelproductorespectode lasuma;as, todoquedaen funcindelproductodemonomios,cuestinqueresolvemosconfacilidad:</p><p>mnmn abxbxax </p><p>Ejemplos:</p><p> 64242 102)5(2)5( xxxx </p><p> 333 20)4(5)4(5 xxx </p><p> 234222222 18126)63()43()23()642(3 xxxxxxxxxxx </p><p> xxxxxxxxxxx 262)2()1()2()3()2()()2()13( 2433 </p><p> )1082()15123()54()2()54()3()54()23( 223222 xxxxxxxxxxxxx 10714310)815()212(3 23223 xxxxxxxx </p><p> xxxxxxxxxxxxxxx 1226)122()6()2()6()6()2()6( 23423433 Tambinpodemosmaterializarelproductodepolinomiostalycomomultiplicamosnmerosenteros:</p></li><li><p>Matemticasorientadasalasenseanzasacadmicas.4BdeESO.Captulo3:Polinomios Autor:EduardoCuchilloIbezLibrosMareaVerde.tk Revisor:JavierRodrigowww.apuntesmareaverde.org.es Ilustraciones:BancodeImgenesdeINTEF</p><p>67 Expresionesalgebraicas.Polinomios.4BESO</p><p>Ejemplo:</p><p>41162</p><p>421236</p><p>42</p><p>1342</p><p>2345</p><p>235</p><p>24</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>xxxxx</p><p>xxxxxxxx</p><p>xxxx</p><p>Recordemosqueelpolinomioopuestodeotro seobtiene simplement...</p></li></ul>