06-Statica Travi

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    10-Jul-2015

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6 Staticadelletravi6 Staticadelletravi6.1 ForzeesterneSi consideri ungenericocorpotridimensionale. Si ricordache sudi essopossono agire i seguenti tipi di forze esterne:forze di volume b=b(x): BxV; dimensionalmentesi ha[b] = [F L3];forzedisupercies=s(x): B x V; dimensionalmentesiha[s] = [F L2].Siconsideri oraunatrave(gura6.1). Nellambitodellateoriamonodi-mensionale in oggetto si eettua una riduzione statica allasse della trave. Inaltri termini (gura 6.3) si vuole determinare un sistema di forze denite sul-lasse della trave tale che prese due sezioni generiche i sistemi di forze denitisul corpo tridimensionale e sullasse della travesiano equivalenti. Riducendoil sistemadiforzeagenti sullasezionetrasversaleal baricentrodellasezionestessa sezione per sezione, si ottengono i seguenti campi di forze:bs_=_f= f (s) [f ] = [FL1]c = c(s) [c] = [F]oves `elacoordinatacurvilineaindividuatasullassedellatrave, f (s) `ec(s)sonorispettivamente uncampodi forze distribuitee uncampodi coppiedistribuite per unit` a di lunghezza.Nel modello di trave considereremo quindi una descrizione monodimensio-nale del sistema di forze esterne considerando una riduzione statica di esso aipunti della linea dasse, ottenendo forze e coppie distribuite f= f (s), c = c(s)(gura6.2). Inoltre, perdescriveredistribuzioni di forzeecoppieagenti suporzioni molto piccole della trave, considereremo anche la presenza di forze ecoppie concentrate in un numero nito di sezioni (Gi, Fi), (Gj, Cj). In gura6.3 si riportano alcuni esempi.6.2 ForzeinterneImmaginiamo di separare la trave in corrispondenza della sezione di baricen-troG(s)nelledueparti cheindicheremoconLeL+, conL

L+=Corsodi ScienzadelleCostruzioni 84 A. A. 2009-20106 Staticadelletravi 6.2 ForzeinterneFig. 6.1Fig. 6.2L, L

L+=. Nel modellodi trave si assume che le due parti siscambino delle azioni di contattocos` fatte (gura 6.4): L+esercita su Lun sistema di forze internela cui riduzione staticaal baricentro G(s) della sezione in esame `e data dalla forza (G(s), R) edal momento M;analogamente L esercita su L+un sistema di forze interne equivalentealla forza (G(s), R

) ed alla coppia di momento M

.Questeazioni rappresentanoglobalmente lazionereciprocatraL+e Lattraverso la sezione. Il sistema di forze interne per una trave ` e noto quandosi conosconosezionepersezionelegrandezzeR, R

, M, M

, ovverosesonoCorsodi ScienzadelleCostruzioni 85 A. A. 2009-20106 Staticadelletravi 6.2 ForzeinterneFig. 6.3Fig. 6.4Corsodi ScienzadelleCostruzioni 86 A. A. 2009-20106 Staticadelletravi 6.3 Equilibriodellatravenote le funzionis (0, L) R(s), R

(s), M(s), M

(s) .6.3 EquilibriodellatraveConsideriamo una trave soggetta ad un sistema di forze esterne{ f , c, (Gi, Fi), (Gj, Cj) }e ad un sistema di forze interne{ R, R

, M, M

} .Fissiamosullassedella traveunascissacurvilineas (0, L)econsideriamouna generica parte della trave compresa tra le sezioni di ascisse s1 es2 (gura6.5).Fig. 6.5Indichiamoconre(s1, s2)emeO(s1, s2)rispettivamentelarisultanteedilmomentorisultante(rispettoadunssatopoloO)di tutteleforzeesterneagenti sultrattoditrave. Larisultanteedil momentorisultanteditutteleforze (esterne ed interne) agenti sul tratto considerato risultano pari a:_r(s1, s2) = re(s1, s2) +R(s2) +R

(s1)mO(s1, s2) = meO(s1, s2) + (G(s2) O) R(s2)++(G(s1) O) R

(s1) +M(s2) +M

(s1)Corsodi ScienzadelleCostruzioni 87 A. A. 2009-20106 Staticadelletravi 6.3 EquilibriodellatraveAssiomi di Eulero: latrave`e inequilibriosottoil sistemadi forze(interne ed esterne) considerato se e solo se_r(s1, s2) = re(s1, s2) +R(s2) +R

(s1) = 0mO(s1, s2) = meO(s1, s2) + (G(s2) O) R(s2)++(G(s1) O) R

(s1) +M(s2) +M

(s1) = 0per ognis1, s2 (0, L) .(6.1)Si osservi che se si sceglies1 = 0 es2 = L, le equazioni (6.1) assumono laforma_re(0, L) = 0meO(0, L) = 0edunquerappresentanoleequazioni cardinali dellastaticaperlatrave; siosservi che nel caso inesame esse sononecessarie manonsucienti perlequilibrio.Dividiamooralatravenelledueparti L+eLseparatedallasezioneG(s)(gura6.4). Applicandogli assiomi di EuleroprimaallaparteLepoi allaparteL+ecalcolandoi momenti rispettoal poloG(s), si ottienerispettivamente:_r(0, s) = re(0, s) +R(s) = 0mG(s)(0, s) = meG(s)(0, s) +M(s) = 0_r(s, L) = re(s, L) +R

(s) = 0mG(s)(s, L) = meG(s)(s, L) +M

(s) = 0.Osserviamo inoltre che, per lequilibrio dellintera trave si ha_r(0, L) = re(0, s) +re(s, L) = 0mG(s)(0, L) = meG(s)(0, s) +meG(s)(s, L) = 0_re(0, s) = re(s, L)meG(s)(0, s) = meG(s)(s, L) ,pertanto risulta:_R(s) = re(0, s) = re(s, L) = R

(s)M(s) = meG(s)(0, s) = meG(s)(s, L) = M

(s) .Corsodi ScienzadelleCostruzioni 88 A. A. 2009-20106 Staticadelletravi 6.4 CaratteristichedellasollecitazioneDunquei duetronchi L+e Lsi scambianoazioni opposte(gura6.6).InoltreRedM, azioni di L+suL, coincidonorispettivamenteconlarisultanteeil momentorisultanterispettoal poloG(s) delleforzeesterneagenti suL+; ovveroR

edM

, azioni di LsuL+, coincidonoconlarisultanteedil momentorisultanterispettoal poloG(s)delleforzeesterneagenti su L.Fig. 6.66.4 CaratteristichedellasollecitazionePer caratterizzare le azioni interne nelle travi, ` e utile riferirsi alle componentidi R ed M in un opportuno sistema di riferimento. Sia (G; x, y, z) un sistemadi riferimento cartesiano ortogonale con asse z tangente alla linea dasse dellatraveinGedirettonel versodelleascissecurvilineecrescenti (cio` euscentedaL)egli assi xe yperpendicolari az ediretti inmanieraarbitraria(gura 6.7). Lecomponentidi RedMnelriferimentosceltosonoper de-nizione le caratteristichedella sollecitazionein G. Per esse si usa la seguenteterminologia:componente simbolo denominazioneRxTxsforzo di taglio (lungox)RyTysforzo di taglio (lungoy)RzN sforzo normaleMxMxmomento ettente(lungox)MyMymomento ettente(lungoy)MzMzmomento torcenteCorsodi ScienzadelleCostruzioni 89 A. A. 2009-20106 Staticadelletravi 6.5 VincoliNel caso di travi piane(si veda il paragrafo 4.5) il sistema di forze esternef , Fi `e costituito da forze parallele al piano che contiene la linea dasse dellatrave; inoltre c `e un campo vettoriale perpendicolare a tale piano cos` come ilvettore momento Cj della generica coppia concentrata.`E dunque convenientein questo caso assumere il sistema di riferimento locale (G; x, y, z) in manieratalechelassexsiadirettoperpendicolarmenteal pianocontenentelalineadasse. Pertalesceltasi hacheleseguenti componenti delleazioni internesono nulle:Rx = 0, Mz = My = 0 .`E quindi possibile utilizzare la notazione semplicata (gura 6.7):componente simbolo denominazioneRyT sforzo di taglioRzN sforzo normaleMxM momento ettenteFig. 6.7Le caratteristichedella sollecitazionecos` denite si intendono positive sedirettenel sensopositivodegli assi x, yez. PoicheleforzeinterneagentisuL+sonoopposteaquelleagenti suLnellastessasezione, quandolecaratteristiche della sollecitazione agiscono sulla base di sinistra dellelementodi trave considerato, si intendono positive se dirette in verso opposto a quellodegli assix,y ez(gura 6.8).6.5 VincoliNellanostratrattazione ipotizzeremolapresenzadi vincoli lisci, ingradodi reagiresullatraveconforzeecoppieconcentrateagenti sullasezionediapplicazione del vincolo. Per questa tipologia di vincoli ` e possibile ricavare laCorsodi ScienzadelleCostruzioni 90 A. A. 2009-20106 Staticadelletravi 6.5 VincoliFig. 6.8caratterizzazionestatica a partire da quella cinematica attraverso il seguentepostulato.Postulatodelle reazioni vincolari. Unvincololiscio`eingradodireagire con un qualsiasi sistema di forze che non compiono lavoro per tutti glispostamenticompatibilicon il vincolo stesso:L = FAu(A)+MA(A) = 0 per ogniu(A), (A) compatibili con il vincolo.Si analizzano nel seguito le possibili reazioni esercitate dai vincoli piani.Appoggio (gura 6.9)Lequazione cinematica di vincolo ` eu(A) = 0.Lespressione del lavoro delle reazioni vincolari ` e quindiL = FA u(A) + MA(A) = MA(A) = 0 per ogni (A) MA = 0 ,essendo(A)qualunque,mentre FA`earbitraria. Dunqueunacernierapu` oreagiresoloconuna forzapassanteper lasezioneAeaventerettadazione,condirezionequalunque, appartenenteal fasciopropriodi centroA(gura6.9). Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano individuato dai versori(e1, e2), FA assume lespressioneFA = HAe1 + VAe2 ,Corsodi ScienzadelleCostruzioni 91 A. A. 2009-20106 Staticadelletravi 6.5 VincoliFig. 6.9con HA e VA arbitrari parametri reattivi. Si osservi che il numero di parametrireattivi `eugualeallamolteplicit` acinematicadelvincolo(questapropriet` a `evalida per tutte le tipologie di vincolo).Doppio pendolo (gura 6.10a)Le equazioni cinematiche di vincolo sono_u(A) e = 0(A) = 0 ,Lespressione del lavoro delle reazioni vincolari ` e quindi:L = FA u(A) + MA(A) = FA u(A) = 0 per ogni u(A) e .Il lavorosi annullaquandoFA u(A), cio`equandoFA e, conMAchepu` oaverevalorearbitrario. Dunqueil doppiopendolopu` oreagireconunaforza agentesudi una rettaappartenentealfascioimproprio didirezione e,equivalenteadunacoppiadi valorequalsiasi edunaforzapassanteperlasezione A e parallela allasse dei pendoli (gura 6.10). I parametri reattivi inquesto caso sonoMA eFA.Corsodi ScienzadelleCostruzioni 92 A. A. 2009-20106 Staticadelletravi 6.5 VincoliFig. 6.10Carrello o pendolo (gura 6.10b)L equazioni cinematica di vincolo ` eu(A) e = 0Lespressione del lavoro delle reazioni vincolari ` e quindi:L = FA u(A) + MA(A) = 0 per ogni u(A) e per ogni(A).Il lavoro si annulla quando i due termini sono entrambi nulli, cio` e quando FA e eMA= 0. Dunque ilcarrellopu` o reagiresoloconuna forza passanteperla sezione A e parallela allassedel carrello stesso (gura 6.10). Il parametroreattivo `e dato daFA.Pendolo improprio (gura 6.11a)L equazioni cinematica di vincolo ` e:(A) = 0Lespressione del lavoro delle reazioni vincolari ` e quindiL = FA u(A) + MA(A) = FA u(A) = 0 per ogni u(A) .Il lavorosi annulladunquequandoFA=0, econMAqualunque. Dunqueilpendolo improprio pu` o reagiresoloconuna