09 Complexos

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<ul><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>1 / 40 </p><p>Exerccios de exames e provas oficiais </p><p>1. Na figura abaixo, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas de cinco nmeros complexos: w, z1, z2, z3 e z4. </p><p>Qual o nmero complexo que pode ser igual a 2 i w ? </p><p>(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2014 </p><p>2. Seja o conjunto dos nmeros complexos. </p><p>Resolva os dois itens seguintes sem utilizar a calculadora. </p><p>2.1. Considere 111</p><p>2</p><p>iz i</p><p>i</p><p> e 24</p><p>z cis </p><p>. </p><p>Averigue se a imagem geomtrica do complexo 4</p><p>1 2z z pertence bissetriz dos </p><p>quadrantes mpares. </p><p>2.2. Considere o nmero complexo 2sin 2 2 cosw i , com 0,2</p><p>. </p><p>Escreva w na forma trigonomtrica. </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2014 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>2 / 40 </p><p>3. Na figura, esto representadas, no plano complexo, </p><p>duas semirretas OA e OB e uma circunferncia de </p><p>centro C e raio BC . </p><p>Sabe-se que: </p><p> O a origem do referencial; </p><p> o ponto A a imagem geomtrica do complexo </p><p>2 32</p><p>3i ; </p><p> o ponto B a imagem geomtrica do complexo </p><p>2 32</p><p>3i ; </p><p> o ponto C a imagem geomtrica do complexo 2i . </p><p>Considere como arg z a determinao que pertence ao intervalo , . </p><p>Qual das condies seguintes define a regio sombreada, excluindo a fronteira? </p><p>(A) 2 3 3</p><p>2 arg3 4 4</p><p>z i z </p><p>(B) 2 3 2</p><p>2 arg3 3 3</p><p>z i z </p><p>(C) 2 3 2</p><p>2 arg3 3 3</p><p>z i z </p><p>(D) 2 3 3</p><p>2 arg3 4 4</p><p>z i z </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2014 </p><p>4. Seja o conjunto dos nmeros complexos. </p><p>4.1. Considere 26</p><p>z cis </p><p> e </p><p>4</p><p>1</p><p>z iw</p><p>zi</p><p>. </p><p>No plano complexo, seja O a origem do referencial. </p><p>Seja A a imagem geomtrica do nmero complexo z e seja B a imagem geomtrica do </p><p>nmero complexo w. </p><p>Determine a rea do tringulo [AOB], sem utilizar a calculadora. </p><p>4.2. Seja 0, . </p><p>Resolva, em , a equao 2</p><p>2cos 1 0z z . </p><p>Apresente as solues, em funo de , na forma trigonomtrica. </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2014 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>3 / 40 </p><p>5. Na figura, est representado, no plano complexo, um polgono regular [ABCDEF] </p><p>Os vrtices desse polgono so as imagens geomtricas das n razes de ndice n de um nmero </p><p>complexo z. </p><p>O vrtice C tem coordenadas 2 2,2 2 . </p><p>Qual dos nmeros complexos seguintes tem por imagem geomtrica o vrtice E? </p><p>(A) 13</p><p>2 212</p><p>cis </p><p> (B) 13</p><p>412</p><p>cis </p><p>(C) 17</p><p>2 212</p><p>cis </p><p> (D) 17</p><p>412</p><p>cis </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2014 </p><p>6. Seja o conjunto dos nmeros complexos. </p><p>6.1. Considere </p><p>3</p><p>1</p><p>1 3</p><p>1</p><p>iz</p><p>i</p><p> e 2z cis , com 0, . </p><p>Determine os valores de , de modo que 2</p><p>1 2z z seja um nmero imaginrio puro, sem </p><p>utilizar a calculadora. </p><p>6.2. Seja z um nmero complexo tal que 2 2</p><p>1 1 10z z . </p><p>Mostre que 2z </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2014 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>4 / 40 </p><p>7. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere 2013</p><p>1w i . </p><p>A qual dos conjuntos seguintes pertence w? </p><p>(A) : 1z z z (B) : 2z z </p><p>(C) :z z z (D) : Re Imz z z matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2013 </p><p>8. Na figura abaixo, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas dos nmeros complexos: z, z1, z2, z3, e z4. </p><p>Sabe-se que w um nmero complexo tal que z i w . </p><p>Qual o nmero complexo que pode ser igual a w? </p><p>(A) z4 (B) z3 (C) z2 (D) z1 </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2013 </p><p>9. Seja o conjunto dos nmeros complexos, considere </p><p>1</p><p>1 3</p><p>51 2 </p><p>6</p><p>iz</p><p>i cis</p><p> e 2 212</p><p>z cis </p><p>9.1. Seja z cis , com pertencente a 0,2 . </p><p>Determine de modo que 1</p><p>z</p><p>z seja um nmero real negativo, sem utilizar a calculadora. </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>5 / 40 </p><p>9.2. As imagens geomtricas de 2z e do seu conjugado, 2z , so vrtices consecutivos de um </p><p>polgono regular. Os vrtices desse polgono so as imagens geomtricas das razes de </p><p>ndice n de um certo nmero complexo w. </p><p>Determine w na forma algbrica, sem utilizar a calculadora. </p><p>Comece por calcular n. </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2013 </p><p>10. Considere, em , conjunto dos nmeros complexos, 2z bi , com 0b . </p><p>Seja 0,2</p><p>. </p><p>Qual dos nmeros complexos seguintes pode ser o conjugado de z? </p><p>(A) 3</p><p>2cis (B) 3cis (C) 3cis (D) </p><p>3</p><p>2cis </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2013 </p><p>11. Considere, em , conjunto dos nmeros complexos, a condio </p><p> 3 2</p><p>3 3 arg 32 3 3</p><p>z i z i </p><p>Considere como arg z a determinao que pertence ao intervalo , . </p><p>Qual das opes seguintes pode representar, no plano complexo, o conjunto de pontos </p><p>definido pela condio dada? </p><p>(A) </p><p>(B) </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>6 / 40 </p><p>(C) </p><p>(D) </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2013 </p><p>12. Seja o conjunto dos nmeros complexos. </p><p>12.1. Considere 221</p><p>1 3</p><p>2</p><p>iz i</p><p> e 2</p><p>1</p><p>2z</p><p>iz</p><p>Determine, sem utilizar a calculadora, o menor nmero natural n tal que 2n</p><p>z um nmero </p><p>real negativo. </p><p>12.2. Seja , . </p><p>Mostre que </p><p>cos cos2</p><p>2cos sin</p><p>i</p><p>cisi</p><p>. </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2013 </p><p>13. Na figura abaixo, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas de quatro nmeros complexos: w1, w2, w3, e w4. </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>7 / 40 </p><p>Qual o nmero complexo que, com n , pode ser igual a 8 8 1 8 2n n ni i i ? </p><p>(A) w1 (B) w2 (C) w3 (D) w4 </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2013 </p><p>14. Em , conjunto dos nmeros complexos, considere 8 6z i e </p><p>2i z</p><p>wz</p><p> . </p><p>Seja um argumento do nmero complexo z. </p><p>Qual das opes seguintes verdadeira? </p><p>(A) 10 32</p><p>w cis</p><p> (B) 2 32</p><p>w cis</p><p>(C) 102</p><p>w cis</p><p> (D) 22</p><p>w cis</p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2013 </p><p>15. Seja o conjunto dos nmeros complexos, considere 13</p><p>2 24</p><p>z cis</p><p> e 2 1z i . </p><p>15.1. Sabe-se que 1</p><p>2</p><p>z</p><p>z uma raiz quadrada de um certo nmero complexo w. </p><p>Determine w na forma algbrica, sem utilizar a calculadora. </p><p>15.2. Seja 3z cis </p><p>Determine o valor de pertencente ao intervalo 2 , , sabendo que 3 2z z um nmero real. </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2013 </p><p>16. Sejam k e p dois nmeros reais tais que os nmeros complexos 1z i e 111 2 w k p i sejam inversos um do outro. </p><p>Qual o valor de k p ? </p><p>(A) 1</p><p>4 (B) </p><p>1</p><p>2 (C) </p><p>5</p><p>4 (D) </p><p>7</p><p>4 </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2012 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>8 / 40 </p><p>17. Na figura abaixo, esto representadas, no plano complexo, uma circunferncia, de centro na </p><p>origem e de raio 1, e uma reta r, definida por 1</p><p>Re2</p><p>z . </p><p>Seja 1z o nmero complexo cuja imagem geomtrica est no 1 quadrante e o ponto de </p><p>interseco da com a reta r. </p><p>Qual das opes seguintes apresenta uma equao de que 1z soluo? </p><p>(A) 1z z i (B) 3</p><p>Im2</p><p>z (C) 1</p><p>12</p><p>z (D) 1 2z </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2012 </p><p>18. Seja o conjunto dos nmeros complexos. </p><p>Resolva os itens seguintes, sem recorrer calculadora. </p><p>18.1. Considere o nmero complexo 8 3 8z i . </p><p>Determine as razes de ndice 4 de z. </p><p>Apresente as razes na forma trigonomtrica. </p><p>18.2. Seja w um nmero complexo no nulo. </p><p>Mostre que, se o conjugado de w igual a metade do inverso de w, ento a imagem </p><p>geomtrica de w pertence circunferncia de centro na origem e de raio 2</p><p>2. </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2012 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>9 / 40 </p><p>19. Seja k um nmero real, e sejam 1 2z i e 2 3z ki dois nmeros complexos. </p><p>Qual o valor de k para o qual 1 2z z um imaginrio puro? </p><p>(A) 3</p><p>2 (B) </p><p>3</p><p>2 (C) 1 (D) 6 </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2012 </p><p>20. Na figura, est representado, no plano complexo, um polgono regular </p><p>[ABCDEFGHI]. </p><p>Os vrtices desse polgono so as imagens </p><p>geomtricas das razes de ndice n de um </p><p>nmero complexo z. </p><p>O vrtice A tem coordenadas 0, 3 . </p><p>Qual dos nmeros complexos seguintes </p><p>tem por imagem geomtrica o vrtice F? </p><p>(A) 7</p><p>318</p><p>cis</p><p> (B) 11</p><p>318</p><p>cis</p><p> (C) 2</p><p>33</p><p>cis</p><p> (D) 5</p><p>39</p><p>cis</p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2012 </p><p>21. Seja o conjunto dos nmeros complexos. </p><p>21.1. Seja n um nmero natural. </p><p>Determine </p><p>4 63 2</p><p>6</p><p>25</p><p>ni cis</p><p>cis</p><p>, sem recorrer calculadora. </p><p>Apresente o resultado na forma trigonomtrica. </p><p>21.2. Seja ,4 2</p><p>. </p><p>Sejam 1z e 2z dois nmeros complexos tais que 1z cis e 22</p><p>z cis</p><p>. </p><p>Mostre, analiticamente, que a imagem geomtrica de 1 2z z , no plano complexo, pertence </p><p>ao 2 quadrante. </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2012 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>10 / 40 </p><p>22. Na figura, esto representadas, no plano complexo, as imagens </p><p>geomtricas de cinco nmeros </p><p>complexos: w, z1, z2, z3 e z4. </p><p>Qual o nmero complexo que </p><p>pode ser igual a 3</p><p>w</p><p>i? </p><p>(A) z1 </p><p>(B) z2 </p><p>(C) z3 </p><p>(D) z4 </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2012 </p><p>23. Na figura, esto representadas, a sombreado, no plano complexo, parte de uma coroa circular. </p><p>Sabe-se que: </p><p> O a origem do referencial; </p><p> o ponto Q a imagem geomtrica do complexo 1 i ; </p><p> a reta PQ paralela ao eixo real; </p><p> as circunferncias tm centro na origem; </p><p> os raios das circunferncias so iguais a 3 e a 6. </p><p>Considere como arg z a determinao que pertence ao intervalo , . </p><p>Qual das condies seguintes pode definir, em , conjunto dos nmeros complexos, a regio </p><p>a sombreado, incluindo a fronteira? </p><p>(A) 3</p><p>3 6 arg 14</p><p>z z i</p><p>(B) 3</p><p>9 36 arg 14</p><p>z z i</p><p>(C) 3</p><p>3 6 arg 14</p><p>z z i</p><p>(D) 3</p><p>9 36 arg 14</p><p>z z i</p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2012 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>11 / 40 </p><p>24. Seja o conjunto dos nmeros complexos, considere 3</p><p>1 2z i e 21 28</p><p>2</p><p>iz</p><p>i</p><p>. </p><p>24.1. Resolva a equao 31 2z z z , sem recorrer calculadora. </p><p>Apresente as solues da equao na forma trigonomtrica. </p><p>24.2. Seja w um nmero complexo no nulo. </p><p>Mostre que, se w e 1</p><p>w so razes de ndice n de um mesmo nmero complexo z, ento 1z </p><p>ou 1z . </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2012 </p><p>25. Sejam k e p dois nmeros reais e sejam 1 3 2z k pi e 2 3 4 2 5z p k i dois nmeros complexos. </p><p>Quais so os valores de k e de p para os quais 1z igual ao conjugado de 2z ? </p><p>(A) 1k e 3p (B) 1k e 3p </p><p>(C) 0k e 2p (D) 1k e 3p </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2011 </p><p>26. Considere, em , um nmero complexo w. </p><p>No plano complexo, a imagem geomtrica </p><p>de w o vrtice A do octgono </p><p>[ABCDEFGH], representado na figura. </p><p>Os vrtices desse polgono so imagens </p><p>geomtricas das razes de ndice 8 de um </p><p>certo nmero complexo. </p><p>Qual dos nmeros complexos seguintes tem </p><p>como imagem geomtrica o vrtice C do </p><p>octgono [ABCDEFGH]? </p><p>(A) w (B) 1w (C) i w (D) 3i w </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2011 </p><p>27. Seja o conjunto dos nmeros complexos. </p><p>Resolva os dois itens seguintes sem recorrer calculadora. </p><p>27.1. Considere 4 20141 2 3 , n</p><p>z i i n . </p><p>Sabe-se que 1z uma das razes cbicas de um certo complexo z. Determine z. </p><p>Apresente o resultado na forma algbrica. </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>12 / 40 </p><p>27.2. Considere 24</p><p>z cis </p><p>. </p><p>No plano complexo, a regio definida pela condio </p><p> 2 21 arg 22</p><p>z z z z z z</p><p> est representada geometricamente numa das </p><p>opes I, II, III e IV, apresentadas na pgina seguinte. </p><p>(Considere como arg z a determinao que pertence ao intervalo 0,2 ) </p><p>Sabe-se que em cada uma das opes: </p><p> O a origem do referencial; </p><p> C a imagem geomtrica de 2z ; </p><p> OC o raio da circunferncia. </p><p>Apenas uma das opes est correta. </p><p>I </p><p>II </p><p> III </p><p>IV </p><p>Elabore uma composio na qual: </p><p> indique a opo correta; </p><p> apresente as razes que lhe levam a rejeitar as restante opes. </p><p>Apresente trs razes, uma por cada opo rejeitada. </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, poca especial, 2011 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>13 / 40 </p><p>28. Na figura abaixo, est representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular. </p><p>Sabe-se que: </p><p> o ponto A a imagem geomtrica da nmero complexo 3 i ; </p><p> o ponto B tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence circunferncia de centro </p><p>na origem do referencial e raio igual a OA </p><p>Qual das condies seguintes define, em , a regio sombreada, incluindo a fronteira? </p><p>(Considere como arg z a determinao que pertence ao intervalo 0,2 ). </p><p>(A) 2</p><p>2 arg3</p><p>z z</p><p> (B) 5</p><p>2 arg6</p><p>z z</p><p>(C) 2</p><p>4 arg3</p><p>z z</p><p> (D) 5</p><p>4 arg6</p><p>z z</p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2011 </p><p>29. Na figura, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas de seis nmeros complexos: z1, z2, z3, z4, z5 e z6. </p><p>Qual o nmero complexo que pode ser igual a 2 4z z i ? </p><p>(A) z1 (B) z3 (C) z5 (D) z6 </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2011 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>14 / 40 </p><p>30. Seja o conjunto dos nmeros complexos. </p><p>Resolva os dois itens seguintes sem recorrer calculadora. </p><p>30.1. Considere 1 1 2z i e 4 3</p><p>1</p><p>52</p><p>4</p><p>nz i b</p><p>w</p><p>cis</p><p> , com b e n . </p><p>Determine o valor de b para o qual w um nmero real. </p><p>30.2. Seja z um nmero complexo tal que 1z </p><p>Mostre que 2 2</p><p>1 1 4z z . </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2011 </p><p>31. Na figura, esto representadas, no plano complexo, as imagens geomtricas de quatro nmeros complexos: z1, z2, z3 e z4. </p><p>Qual o nmero complexo que, com n , pode ser igual a 4 4 1 4 2n n n</p><p>i i i ? </p><p>(A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2011 </p><p>32. Na figura seguinte, est representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular. </p><p>Sabe-se que: </p><p> o ponto A est situado no 1 quadrante; </p><p> o ponto B est situado no 4 quadrante; </p><p> [AB] um dos lados de um polgono regular cujos vrtices so as imagens geomtricas </p><p>das razes de ndice 5 do complexo 322</p><p>cis</p><p>; </p><p> o arco AB est contido na circunferncia de centro na origem do referencial e raio igual </p><p>a OA . </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@matematicaonline.pt </p><p>15 / 40 </p><p>Qual dos nmeros seguintes o valor da rea do setor circular AOB? </p><p>(A) 5</p><p> (B) </p><p>4</p><p>5</p><p> (C) </p><p>2</p><p>5</p><p> (D) </p><p>8</p><p>5</p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2011 </p><p>33. Seja , o conjunto dos nmeros complexos, considere: </p><p>1 1z , 2 5z i e 340</p><p>nz cis</p><p> , n </p><p>Resolva os dois itens seguintes sem recorrer calculadora. </p><p>33.1. O complexo 1z raiz do polinmio 3 2</p><p>16 16z z z . </p><p>Determine, em , as restantes razes do polinmio. </p><p>Apresente as razes na forma trigonomtrica. </p><p>33.2. Determine o menor valor de n natural para o qual a imagem geomtrica de 2 3z z , no plano </p><p>complexo, est no terceiro quadrante e pertence bissetriz dos quadrantes mpares. </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 1 fase, 2011 </p><p>34. A figura representa um pentgono [ABCDE] no plano complexo. </p><p>Os vrtices do pentgono so as imagens </p><p>geomtricas das razes de ndice n de um </p><p>nmero complexo w. </p><p>O vrtice A tem coordenadas 1,0 </p><p>Qual dos nmeros complexos seguintes tem por </p><p>imagem geomtrica o vrtice D do pentgono? </p><p>(A) 6</p><p>55</p><p>cis </p><p> (B) 6</p><p>5cis</p><p> (C) 5</p><p>cis </p><p> (D) 5</p><p>cis </p><p>matemtica A 12 ano, exame 635, 2 fase, 2010 </p></li><li><p> matA12 </p><p>complexos </p><p>www.matematicaonline.pt geral@m...</p></li></ul>