157049811 Nc Modelo de Ramsey

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    28-Jan-2016

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Aldo Ferrer - Vivir Con Lo Nuestro. Nosotros y La Globalizacion

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<ul><li><p>Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Econmicas</p><p>CRECIMIENTO ECONMICO</p><p>NOTAS DE CLASE:El modelo de Ramsey, Cass-</p><p>Koopmans</p><p>1</p></li><li><p>Por: los integrantes del curso1Ao 2012</p><p>1 Las presentes notas de clase fueron elaboradas por Pablo Garca y adaptadas por los miembros del curso de crecimiento econmico de Andrs Asiain. Estas pueden descargarse del sitio web del curso: http://crecimientoeconomico-asiain.weebly.com/neoclaacutesicos.html </p><p>2</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p> una de las contribuciones ms notables a la economa matemtica alguna vez realizada, tanto en lo referido a la importancia y la dificultad intrnseca de su tema, la energa y la elegancia de los mtodos tcnicos empleados, y la claridad e iluminacin con la cual es percibida por el lector la mente del escritor al abordar el tema. El artculo es terriblemente difcil de leer para un economista, pero no es difcil apreciar cmo la calidad cientfica y esttica se combinan en l juntas.</p><p>Keynes (1933), p. 65 refirindose al trabajo original de Ramsey</p><p>1. IntroduccinHasta ahora habamos trabajado en el modelo de Robert Solow con una tasa de ahorro que era constante y determinada exgenamente s. Ahora en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans que desarrollaremos a continuacin la tasa de ahorro ser el resultado de la optimizacin dinmica de las decisiones de consumo de los hogares de acuerdo a su funcin de utilidad y su restriccin presupuestaria (modelo con ahorro endgeno).</p><p>1.A Los supuestos del Modelo:</p><p> Economa cerrada y sin sector pblico Se produce un solo bien que se puede consumir o invertir. La inversin y el ahorro son siempre iguales (ex ante y ex post), la </p><p>Ley de Say se cumple y no hay problemas de demanda efectiva En el mercado de trabajo hay pleno empleo, no existe el </p><p>desempleo involuntario. Funcin de produccin neoclsica F(K, L) </p><p>a) Rendimientos constantes a escala2 (funcin homognea de grado 1) ),(),( LKFLKF =</p><p>b) Rendimientos Marginales Decrecientes de los factores 0/ &gt;LF ; 0// KF ; 0// </p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p> Funcin de la felicidad U(c) presenta:d) Es creciente en c (consumo) y cncava, suavizan el </p><p>consumo 0/ &gt;cu ; 0// </p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>[ ] [ ] ( )0 0</p><p>( ) ( )nt t n tU u c t e e dt U u c t e dt </p><p>= = donde ent multiplicando la funcin de utilidad individual representa el crecimiento poblacional que crece a la tasa n. Es importante marcar que para que la funcin este bien definida debemos suponer que &gt;n. A su vez, podemos hacer que ( ) ( )/ ( )ntoL t L e L t L t n</p><p>= =</p><p>La restriccin presupuestaria</p><p>El ahorro de las familias est representado por la diferencia entre sus ingresos rK + wL menos su consumo C. Sabemos adems que las familias poseen sus activos en forma de bonos b que, a su vez, como estamos en una economa cerrada y no poseer activos externos, la totalidad de estos activos son iguales al stock de capital K. Por lo tanto se cumple que ( ) ( )b t k t</p><p>= . Su restriccin presupuestaria intertemporal es:</p><p>B C rK wL K rK wL C </p><p>+ = + = + (1) </p><p>Entonces, si partimos de la expresin del capital per capita, aplicamos logaritmo y derivamos respecto de t obtendremos:</p><p>( )( ) ln ( ) ln ( ) ln ( )( )</p><p>K tk t k t K t L tL t</p><p>= = </p><p>ln ( )k t k K L K K L K Lsi k k k kt k K L K L L L L</p><p> = = = </p><p>Reemplazamos LL</p><p> por n y K por la ecuacin (1)</p><p>rK wL Ck nkL</p><p> + = ( )k rk w c nk k w c r n k</p><p>= + = + (2)</p><p>a.1) Optimizacin Dinmica:Armamos el Hamiltoniano ( ) ( )H V k;c;t . g k,c,t = + </p><p>5</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>Donde v(k,c,t) es la funcin a maximizar, en nuestro caso la funcin de la felicidad de la familia representativa sujeta a g(k,c,t) es la funcin de acumulacin del capital de la familia representativa. El capital permite obtener utilidad futura indirectamente, al incrementar el consumo futuro por los mayores ingresos que generar el retorno del capital acumulado.</p><p> variable de coestado, precio sombra por unidad de capital acumuladoc es la variable control, sobre la cual las familias actan directamentek es la variable estado, su evolucin depende de la variable control c</p><p>[ ] ( )( ) ( ) ( )n tH u c t e t k t = + reemplazamos ( )k t</p><p> por la ecuacin (2)</p><p>[ ] [ ]cknrwtetcuH tn ++= )()()( )( Las condiciones de primer orden (CPO) para la optimizacin dinmica son:</p><p>a) 0Hc</p><p>=</p><p> ; b) ( )H tk</p><p>= </p><p> ; c) [ ] 0)()(lim ==</p><p>tkt</p><p>t</p><p>a) ( )'( ) ( ) 0n tH u c e tc</p><p> = = </p><p>( )'( ) ( )n tu c e t =</p><p>b) == )()()( tnrt</p><p>kH )()()( trnt =</p><p> trneot )()()( = c) [ ] 0)()(lim ==</p><p>tkt</p><p>t </p><p>c) Es la condicin de transversalidad, implica que el ltimo da o se consume todo el capital o este carece de valor (en valor actual).</p><p>Diferenciamos a) / ( )( ) ( ) n tt u c e = respecto del tiempo y obtenemos:</p><p>( ) ( )( ) ''( ) '( ) ( )n t n tt u c c e u c n e </p><p>= + (3)</p><p>6</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>Reemplazamos a) y c) en b) sustituyendo (t) ( )t </p><p>)()()( trnt =</p><p>( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ''' n t n t n tu c c e u c n e n r u c e </p><p> + = </p><p>Simplificando obtenemos la siguiente ecuacin: </p><p>'( )( )</p><p>''u c c cru c c</p><p> = + </p><p> (4.a) </p><p>Elasticidad de la utilidad marginal respecto del consumo /</p><p>/</p><p>( ) 0( )</p><p>du c cdc u c</p><p> . Caso contrario, aumentarn el consumo hoy r</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>a.2) UN EJEMPLO: la funcin de elasticidad intertemporal de sustitucin constante (CIES)</p><p>Si suponemos una funcin de Utilidad que depende del consumo como la siguiente:</p><p>1( )( ) 11Uc tc t</p><p> = </p><p> (4.1)</p><p>Para obtener la elasticidad de sustitucin de la utilidad marginal respecto del consumo, debemos derivar dos veces nuestra funcin de </p><p>utilidad respecto del consumo (para obtener / /</p><p>/</p><p>( )( )</p><p>u cu c</p><p> y poder </p><p>reemplazarlo), entonces:</p><p>1 1</p><p>1</p><p>'</p><p>''( ) (1 ) ( ) / (1 ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>U c c t c t</p><p>U c c t</p><p>= =</p><p>= </p><p> 1'( ) ( ) ( )''( ) ( )</p><p>U c c t c tU c c t</p><p>= = </p><p>Reemplazando en (4.b) </p><p>( ) 1( ). .( )</p><p>c c trc c t</p><p>rcc </p><p> = </p><p>= (4.2)</p><p>Nuevamente, r es la remuneracin del capital, es la tasa de descuento subjetivo o tasa de impaciencia que mide la valoracin subjetiva de trasladar consumo presente al futuro. La variable es la forma funcional simplificada que antes tena la elasticidad de sustitucin. Esta representa cmo se modifica proporcionalmente la utilidad marginal conforme se modifica el consumo proporcionalmente. Si la elasticidad es muy alta (en valor absoluto) el individuo tendr una fuerte preferencia por suavizar el perfil de su consumo en el tiempo. Grficamente esto se vera representado por la curvatura de la funcin de utilidad.</p><p>Grficamente:</p><p>8</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>Ua representa la semisuma de la utilidad que obtiene el agente que decide consumir en c1 poco y en c2 mucho. Ub representa el nivel de utilidad que obtiene el agente que decide consumir lo mismo en ambos periodos. De este modo, en el grafico queda representado por el </p><p>9</p><p>U</p><p>C1C 2C</p><p>segA</p><p>1;2bC C=</p><p>Ua</p><p>bU</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>segA la mayor utilidad que se obtiene al suavizar el consumo entre los periodos C1 y C2. A su vez, representa la curvatura de la funcin utilidad y mide el deseo del agente por suavizar ese consumo.</p><p>b) LAS FIRMAS:</p><p>Las firmas producen bienes, pagan salarios por el trabajo y una renta por el capital.Funcin de produccin (sin progreso tcnico4) es la siguiente: </p><p>[ ]( ) ( ), ( )Y t F K t L t=Suponemos una tasa de retorno del capital r neta de depreciacin: </p><p>= )(/ kfr</p><p>Si normalizamos la funcin de produccin por el nmero de trabajadores (L), de acuerdo a sus propiedades, obtendremos que:</p><p>[ ]( ) ( ) ,1 ( ) ( )( ) ( )</p><p>Y t K tF y t f k tL t L t</p><p> = = </p><p>Las firmas maximizan sus beneficios (pi ) con sus ingresos menos sus costos:</p><p>( , ) ( )F K L r K wLpi = + </p><p>Si dividimos y multiplicamos el 2do miembro por L:</p><p>[ ]( ) ( )L f k r k wpi = + Un firma en competencia perfecta toma r y w como dados, entonces para determinar el capital (K) a utilizar que maximiza sus beneficios manteniendo la cantidad de trabajo (L) constante:</p><p>4 Hemos omitido el progreso tcnico A considerando que en trminos conceptuales puede ser entendido mucho ms correctamente ya que se simplifica mucho su derivacin matemtica. A su vez, tambin se puede ver que al existir decisiones inter-temporales se podra optimizar haciendo un lagrangiano en cada periodo Ti.</p><p>10</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>1 1'( ) ( ) 0L f k rK L Lpi = + = '( ) '( )f k r r f k = + = </p><p>(5)</p><p>Ahora determinamos el nivel de trabajo efectivo (AL) que maximiza los beneficios manteniendo al capital (K) constante:</p><p>[ ] / 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0K Kf k r k w L f k rL L Lpi = + + + = </p><p>[ ] [ ]( ) ( ) '( ) ( ) 0f k r k w f k k r kLpi = + + + + =</p><p>/( ) ( ) 0f k w f k kLpi</p><p>= = </p><p>( ) '( )w f k f k k= (6)</p><p>c) Equilibrio:</p><p>Hasta ahora vimos el comportamiento de los hogares y el de las firmas, dados w y r en ambos casos. Ahora vamos a combinar ambos comportamientos para hallar el equilibrio. </p><p>En la ecuacin (2) nkcwrkk +=</p><p>Reemplazamos w y r de la ecuacin por las ecuaciones (5) y (6):</p><p>/( ( ) ) ( ) '( ) ( )k f k k f k f k k c nk k f k c nk </p><p>= + = + </p><p>( ) ( )k f k c n k</p><p>= + (7)</p><p>La ecuacin (7) determina la evolucin de k y en consecuencia de y, . pero Pero, para completar la dinmica de la economa necesitamos conocer la evolucin de c. Eso nos lo dar la ecuacin de Euler, que obtuvimos anteriormente, si reemplazamos (6) en (4.b) obtendremos:</p><p>11</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>'( )( '( ) )''( )</p><p>c u cf kc u c c</p><p> = </p><p> (8)</p><p>El Estado Estacionario se encuentra cuando las variables crecen a una tasa constante (posiblemente cero) a travs del tiempo.En este modelo se puede demostrar que el nico Estado Estacionario posible se encuentra cuando las tasas de crecimiento del stock de capital por trabajador efectivo y del consumo por trabajador efectivo se igualan a cero k</p><p> = 0 y c = 0</p><p>Con las ecuaciones (7) y (8) vamos a hallar el Estado Estacionario del modelo. Para hallar el Estado Estacionario comenzamos con k</p><p> = 0 en la ecuacin (7)</p><p>( ) ( ) 0 ( ) ( )k f k c n k c f k n k </p><p>= + = = + (9)</p><p>Grficamente </p><p>Aquellos puntos sobre la curva k o</p><p>= el consumo es tal que permite </p><p>ahorrar lo suficiente para mantener constante la tasa de crecimiento del </p><p>12</p><p>K</p><p>&lt; 0</p><p>&gt; 0</p><p>Koro</p><p>c</p><p>0k</p><p>=</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>stock de capital (lo que es igual a la condicin de estado estacionario que hayamos del modelo de Solow ( ) ( )sf k n k= + 5 ).Aquellos niveles de consumo que se encuentran por encima de la trayectoria de stock de capital de equilibrio k o</p><p>=, son mayor que </p><p>aquellos que permite mantener el ahorro (inversin bruta) a niveles suficientes para cubrir el crecimiento de la poblacin y la amortizacin del capital, lo que hace que el stock de capital per capita comience a caer. (esquemticamente C(alto) S (I)K k</p><p> . </p><p>(esquemticamente C(bajo) S (I)K k &gt;0).</p><p>Para hallar el mximo nivel de consumo intertemporal, o el nivel de capital mximo (recordar regla dorada de la acumulacin de capital del modelo de Solow) derivamos (9) respecto de k </p><p>'( ) ( ) 0k f k nk</p><p>= + =</p><p>/ ( )f k n r n = = (10.a)</p><p>Por lo tanto, la tasa de retorno del capital debe igualar la tasa de crecimiento de la poblacin, para que el consumo intertemporal sea mximo.Pero, si igualamos c</p><p> = 0 partiendo de la ecuacin (8), llegaremos a que:</p><p>//</p><p>/ /</p><p>( )( ( ) ) 0( )</p><p>c u cf kc u c c</p><p> = = / ( )f k = + '( )f k r = = (10.b)</p><p>5 V ase nota de clase del modelo de Solow, p.8 , E c. (6). Recuerde que como aqu no hemos utilizado el cambio tecnolgico A falta su tasa de variacin temporal g en la ecuacin de equilibrio.</p><p>13</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>Por lo tanto de (10.a) y de (10.b) se desprende que =n, pero como condicin para la estabilidad del modelo (cuando definamos la funcin de utilidad de las familias) supusimos que &gt;n. Entonces, como los agentes descuentan el consumo futuro mucho ms rpido de lo que crece la poblacin, o lo que es lo mismo son impacientes, el nivel de consumo intertemporal nunca va a ser mximo.</p><p>A su vez, si la elasticidad de la utilidad marginal del consumo respecto del consumo es constante (como en el caso de la funcin CIES donde </p><p>( ) / ( )' ''u c u c .c=1/), entonces un solo valor de k cumple con la condicin c = 0, por lo que la funcin (8) ser una lnea recta, perpendicular al eje de abscisas a partir de aquel nico valor de k</p><p>Grficamente: </p><p>Como vemos, la curva 0c = es una lnea vertical que se encuentra a la izquierda del punto mximo de 0k</p><p>= donde el consumo es mximo o </p><p>Coro. </p><p>A la izquierda de 0c = (k*) el capital por trabajador k resulta menor que aquel que mantiene la decisin de consumo constante en el tiempo. Como el capital es escazoescaso, la productividad marginal del capital </p><p>14</p><p>C</p><p>*C</p><p>*k k</p><p>= 0</p><p>&lt; 0</p><p>&gt; 0k o</p><p>=</p><p>oroC</p></li><li><p> Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain</p><p>'( )f k es alta y al igual que su remuneracin, r. Esto genera mayores incentivos a ahorrar por lo tanto disminuye el consumo presente y se incrementa el consumo futuro, lo que genera una tasa de crecimiento del consumo per-c capita positiva6. (esquemticamente K(esc)rC(hoy) y S(hoy)(y como I, k) c</p><p>).</p><p>A la derecha de 0c = (k*) ocurre lo inverso. En esa franja el capital por trabajador es mayor que el de equilibrio, la productividad marginal del capital '( )f k es baja al igual que la tasa de retorno del capital r, esto genera desincentivo a seguir postergando consumo y por lo tanto se incrementa el consumo presente, disminuye el ahorro y entonces cae en la tasa de crecimiento del consumo. (esquemticamente K(exd)rC(hoy) y S(hoy)(como I, k) c</p><p> )</p><p>De este modo, se puede demostrar que existe un solo estado estacionario que cumple con la condicin de transversalidad y que al mismo tiempo resulte ptimo.En este modelo, la economa se encuentra en estado estacionario cuando todas las variables crecen a la misma tasa. Esto implica que </p><p>/ / /k k K K L L o </p><p>= = y / / /c c C C L L o</p><p>= =, por lo que las variables en </p><p>trminos per- capita no sufre variacin, o que es lo mismo, que en el estado estacionario se cumple que / /K K C C n</p><p>= =, la tasa de crecimiento </p><p>del capital y del consumo es constante e igual a la tasa de crecimiento de la poblacin.</p><p>Utilizando los resultados de ambos diagramas de fas...</p></li></ul>