2.3 calculo

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1. 2.3 Funciones hiperblicas y sus inversas.Competencia: Realizar clculos donde se involucren funciones hiperblicas y funcioneshiperblicas inversas, mediante la utilizacin de sus propiedades e identidades. Las funciones hiperblicas estn definidas en base a funciones exponenciales.Definicin 2.3.1: Funciones hiperblicas:a) d)b) c)d) e) Ejemplo 2.3.1: Encuentra el valor indicado utilizando tres cifras decimales. a) senh(2) b) cosh(-1) c) tanh(3) 2. Al igual que las funciones trigonomtricas, las funciones hiperblicas tienen una serie deentidades entre ellas que permiten convertir valores de una funcin hiperblica a otra. Identidades hiperblicas: a) g) b) h) c) i) d) j) e) k) f) Ejemplo 2.3.2: Si conocemos que senh(x)=2. Calcula el resto de las funciones hiperblicasinversas. Si el resultado no es racional utiliza tres cifras decimales. Ejemplo2.3.3:Verifica quela identidadhiperblica a) es verdadera:cosh2 ( x) senh2 ( x) 1 . Ejemplo 2.3.4: Considera la grfica de la funcin f(x) = csch(x) que se muestra para obtenerlos siguientes valores:a) csch(a)b) senh[csch(b)]c) cosh[csch(c)] 3. Ahora revisemos las funciones hiperblicas inversas en base a las funcioneshiperblicas originales y a las generalidades de las funciones inversas.Recordatorio: Qu se tiene que cumplir para afirmar que una funcin g(x) es la inversa dela funcin f(x)?a).b) .c).d) . La respuesta es el inciso d). Recordatorio: Para que la inversa de una funcin f(x) exista en un intervalo dado, se requiere que sea inyectiva. Qu significa esto? a) Que la funcin sea siempre creciente o siempre decreciente en el intervalo. b) Que la funcin sea creciente y decreciente en el intervalo. c) Que la funcin sea siempre positiva en el intervalo. d) Que la funcin sea siempre negativa en el intervalo.La respuesta es el inciso a). Ejemplo 2.3.5: En base a sus grficas, identifica qu funciones hiperblicas tienen funcininversa. 4. Solucin: Se observa que la grfica de la funcin seno hiperblico es siempre creciente, por lo tantosu funcin inversa existe. La funcin coseno hiperblico es decreciente a la izquierda del eje vertical, y despus escreciente, por lo que su funcin inversa no existe, al menos en lo que respecta a sudefinicin original. La funcin tangente hiperblico es siempre creciente, por lo que su funcin inversa existe. La funcin cosecante hiperblico siempre es decreciente, por lo que su funcin inversa sexiste. La grfica de la funcin secante hiperblico indica que primero es creciente y despus deleje vertical se vuelve decreciente, por lo que su inversa no existe, al menos en lo querespecta a su funcin original. Finalmente, se observa que la funcin cotangente hiperblico siempre es decreciente, porlo tanto su funcin inversa s existe.En el ejemplo anterior se lleg a la conclusin de que las funciones coseno hiperblico ysecante hiperblico no eran inyectivas para todo su dominio, por lo que sus funciones inversasno existen. Ahora revisemos estas mismas funciones pero con su dominio acotado paranmeros reales: [0, ). 5. Con la acotacin propuesta, se observa que las funciones son siempre creciente para elcaso de la funcin secante hiperblico, y siempre decreciente, para el caso de la funcincosecante hiperblico, por lo que para estas funciones acotadas, tambin existen funcionesinversas. 6. Recordatorio: Qu caracterstica guarda la grfica de la inversa de una funcin conrespecto a la grfica de la funcin original? a) Es un reflejo de la funcin tomando como referencia el eje horizontal. b) Es un reflejo de la funcin tomando como referencia el eje vertical. c) Es un reflejo de la funcin tomando como referencia la recta y = x. d) Es idntica a la funcin original.La respuesta es el inciso c).Si las funciones hiperblicas estn definidas en base a funciones exponenciales naturales, esde esperarse que las funciones hiperblicas inversas se puedan expresar en trminos defunciones logartmicas naturales. Ejemplo 2.3.6: Las grficas que se muestran a continuacin corresponden a las seisfunciones hiperblicas inversas. Identifcalas.Definicin 2.3.2: Funciones hiperblicas inversas:Funcin DominioRangoa)(-, )(-, )b)[1, ) [0, )c)(-1, 1)(-, )d)(-, -1) (1, )(-, 0) (0, )e)(0, 1] [0, )f)(-, 0) (0, ) (-, 0) (0, ) 7. a) b)c)d)e)f)Solucin:Para identificar las grficas de las funciones hiperblicas inversas recurrimos a las grficas delas funciones hiperblicas que se muestran en ladefinicin 2.3.1a) Corresponde al reflejo con respecto al eje y = xde la funcin tangente hiperblico, por lo tanto setrata de la funcin tanh-1(x). 8. b) Corresponde al reflejo con respecto al eje y = x de la funcin cotangente hiperblico, por lotanto se trata de la funcin coth-1(x).c) En este caso se trata del reflejo con respecto al eje y = x de la funcin coseno hiperblico,por lo tanto se trata de la funcin cosh-1(x).d) El reflejo de esta funcin con respecto al eje y = xcorresponde al secante hiperblico, por lo tanto se trata dela funcin sech-1(x).e) Corresponde al reflejo con respecto al eje y = x de lafuncin seno hiperblico, por lo tanto se trata de lafuncin senh-1(x).f) Esta funcin es el reflejo con respecto al eje y = x delcosecante hiperblico, por lo tanto se trata de la funcincsch-1(x). Ejemplo 2.3.7: Considera las definiciones de las funciones seno hiperblico y senohiperblico inverso para verificar que se cumple que senh senh 1 ( x)] x . [ 9. Ejemplo 2.3.8: Considera las grficas de las funciones seno hiperblico y coseno hiperblicoinverso que se muestran para determinar los valores indicados. Se pide que slo utilices lasgrficas para encontrar los valores.a) senh(1)b) senh-1(-3) c) senh-1(-1)d) cosh-1[senh(1.44)] e) cosh-1[senh-1(1.18)]Solucin:En este caso las respuestas se obtendrn slo de las grficas, por lo que ser necesarioreafirmar las siguientes consideraciones: Para la grfica del seno hiperblico, la coordenada y corresponde al seno hiperblico inverso de la coordenada x correspondiente. Para la misma grfica del seno hiperblico, la coordenada x corresponde al seno hiperblico inverso de la coordenada y correspondiente. Para la grfica del coseno hiperblico inverso, la coordenada y corresponde al coseno hiperblico inverso de la coordenada x correspondiente. Para la misma grfica del coseno hiperblico inverso, la coordenada x corresponde al coseno hiperblico de la coordenada y correspondiente.a) La respuesta se obtiene al observar la grfica de la funcin seno hiperblico y correspondeal valor de la coordenada y en la grfica para el cual su coordenada x es 1.senh(1) =b) y c) En este caso tambin la grfica de la funcin seno hiperblico sirve para encontrar el 10. resultado, y corresponde al valor de la coordenada x en la grfica cuya coordenada y es -3.senh-1(-3) =senh-1(-1) =d) Primero se utiliza la grfica del seno hiperblico determinando la coordenada ycorrespondiente y posteriormente la grfica del coseno hiperblico inverso:cosh-1[senh(1.44)] = cosh-1[2] =e) Con la grfica del seno hiperblico se encuentra el valor del senh-1(1.18) y posteriormente seutiliza este valor en la grfica del coseno hiperblico inverso:cosh-1[senh-1(1.18)] = cosh-1[1] =NOTA: Se recomienda utilizar una calculadora para comprobar los valores obtenidos de las grficas.