35. Karma sistem örnek çözümleri - mmf2.ogu.edu. de düzlem kafes ve düzlem çerçeve karma sistem…

  • Published on
    16-Feb-2019

  • View
    214

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 297

35. Karma sistem rnek zmleri SEM2025 de dzlem kafes ve dzlem ereve karma sistem zlebilir. Bunun dnda, rnein, ayn sistemde plak, levha veya ereve eleman ieren karma sistem zm programda ngrlmemitir.

rnek 35.1: Sadaki sistemin 4 ve 5 nolu elemanlar kesiti ekilde grlen boru, dier elemanlar NPI 500 profilidir. Verilen ykler iin eleman kuvvetleri yer deitirmeler hesaplanacaktr.

Malzeme: = 2.1 10 , = 0.30 (tm elemanlarda)

Kesit bilgileri: = 3.9584 10, = 2.184 10(boru elemanlarda) = 179 10, = 6.874 10(NPI 500 elemanlarda)

Modelleme: Tm elemanlar dzlem ereve eleman olarak tanmlanr. 7. elemann sol ucuna 9. elemann sa ucuna, 4. ve 5. elemanlarn her iki ucuna moment mafsal konur.

Snr koullar: 1 ve 2 noktas X ve Y ynnde hareket edemez.

6 m

4

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 298

rnek 35.2: Aadaki sistemin1 1, 2, 3, 4, 5, 6 nolu kiri elemanlar NPI 500 profili, dier kafes elemanlar kesiti ekilde grlen borudur. Eleman kuvvetleri ve yer deitirmeler bulunacaktr.

Malzeme: = 2.1 10 , = 0.30 (tm elemanlarda) Kesit bilgileri: = 3.9584 10, = 2.184 10(boru elemanlarda) = 179 10, = 6.874 10(NPI 500 elemanlarda) Modelleme: Tm elemanlar dzlem ereve eleman olarak tanmlanr. 3 nolu kiri elemann sa ucuna, kafes ise elemanlarn her iki ucuna moment mafsal konur. Snr koullar: 1 noktas X ve Y ynnde, 7 noktas Y ynnde yer deitiremez. 8, 9, 10 ve 11 noktalarnda kiri eleman yoktur, sadece boru(kafes) elamanlar vardr. Tanm gerei kafes sistemlerin dmlerinde dnme serbestlik derecesi yoktur. Bu nedenle bu dmlerde Z etrafndaki dnmenin tutulmas gerekir, aksi halde denklem sistemi tekil olur. V VV

1 Kiri ve kafes elamanlardan oluan bu tr sistemlere LANGER kirii denir, genellikle kpr kirilerinde kullanlr.

1 m

2

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 299

rnek 35.3: Aada kpr kiriinin ara mesnetleri taban alan 36=18 m2 olan 5 adet dubaya oturmaktadr. Eleman kuvvetleri ve yer deitirmeleri hesaplanacaktr1

Malzeme: = 2.1 10 , = 0 (tm elemanlarda)

Kesit bilgileri: = 10, = 3.36 10(1 ve 5 nolu elemanlarda) = 10, = 4.20 10(2 nolu elemanda) = 10, = 6.30 10(3 nolu elemanda) = 10, = 8.40 10(4 nolu elemanda) = 10, = 2.94 10(6 nolu elemanda) Modelleme: Dubalar dey ynde batp-kma hareketi yaparak elastik yay gibi davranrlar. Kpr kiriine mafsall balandklarndan dnmeyi etkileyen yay etkisi yoktur. Bu nedenle kpr, aadaki gibi, ara mesnetleri elastik eksenel yayl srekli kiri olarak modellenebilir. k1 yay katsaysnn(yay rijitliinin) belirlenmesi: Yay katsays kN/m birimindedir. Yayn boyunu 1 m deitirmek(uzatmak veya ksaltmak) iin uygulanmas gereken kuvvet anlamndadr. Bu temel kavrama gre, yatay kesiti F=36=18 m2 olan dubann, zerindeki yk nedeniyle, = 1 batmas halinde taraca suyun hacmi ! = " = 18 1 = 18olur(Arimend). Taan suyun arl dubay = 1 batran yktr: # = ! $%& = 18 10 = 180'(. Dubay 1 m batran kuvvet 180 kN olduundan yay katsays ') =

*+ =

),) = 180'(/ olur.

1 Bu rnek, Hirschfeld, K., Baustatik, Theorie und Beispiele, 1969, Sayfa 482 den alnmtr.

Normal kuvvet etkisi olmad iin kesit alanlar byk seilmitir.

') = #

') =#

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 300

Reaksiyonlar

Kesme

Moment

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 301

rnek 35.4: Aadaki asma kpr kiriinin eleman kuvvetleri ve yer deitirmeleri hesaplanacaktr1

Malzeme: = 2 10 , = 0 (tm elemanlarda) Kesit bilgileri: = 10, = 40 (kolonlarda) = 10, = 7.5 (kirilerde) = 395 10, = 10,(14 ve 21 nolu kablo elemanlarda) = 225 10, = 10,(15 ve 20 nolu kablo elemanlarda) = 390 10, = 10,(16 ve 19 nolu kablo elemanlarda) = 650 10, = 10,(17 ve 18 nolu kablo elemanlarda) . = 0.01, = 10, = 10,(22 ve 23 nolu fiktif elemanlarda)

Modelleme: Kpr kirii 3 ve 8 noktalarnda kolona kayc mesnet ile oturtulmutur, kiriten kolona sadece eksenel kuvvet aktarlr, moment ve kesme aktarlmaz. Bu balanty modellemek iin 22 ve 23 nolu fiktif elemanlar kullanlmtr. 22 nolu fiktif eleman kiriin 3 noktasn soldaki kolonun 12 noktasna, 23 nolu fiktif eleman kiriin 8 noktasn sadaki kolonun 15 noktasna balamaktadr. Fiktif elemann boyu 0.01 m, iki ucu mafsalldr(moment yok), kesit alan A=104 m2

alnmtr(ekil deitirmeden eksenel kuvvet aktarmas iin).

Tm elemanlar dzlem ereve olarak tanmlanr. Kablo ve fiktif elemanlarn iki ucuna mafsal konur, bunlarn atalet momentleri ok kk seilir(moment yok) Mesnet koullar: 1 ve 10 noktalar Y ynnde yer deitiremez. 11 ve 14 noktalar X, Y ynnde ve Z etrafnda yer deitiremez.

1 Bu rnek, Jenkins, W., M., Structural analysis using computers, Longman, 1990, Sayfa 326 dan alnmtr.

Kolo

n

Kolo

n

50

m1

0

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 302

Yorum: 22 ve 23 nolu fiktif ubuklardaki normal kuvvet 4870.30(basn) kN dur. Bu kuvvet kiriten kolona aktarlan normal

kuvvettir. 14-21 nolu elemanlar kablo elemanlardr, sadece ekme kuvveti alabilirler. Ancak, 15 ve 20 nolu kablo elemanlarda

205.82 kN(basn) kuvveti olumutur. Bu, zmn tam doru olmad anlamndadr. Bu hata zmn geometrik dorusal yaplmasndan kaynaklanmaktadr. Kablolu sistemlerin zmnde geometrik dorusal olmayan analiz yntemleri kullanlmas gerekir. Ancak, buradaki basit zmn gerek zme ok yakn olduunu da belirtelim.

1

1

2

3

4 5 6 7

8

9

10

13 16

2 3 4 5 6 7 8 910

1113

14

1517

18

19 20

21

12

16

11 14

1

1

2

3

4 5 6 7

8

9

10

13 16

2 3 4 5 6 7 8 910

1113

14

15

17 18

19 20

21

12

16

11 14

11 2

3

4 5 6 7

8

910

13 16

2 3 4 5 6 7 8 910

1113

14

15

17 18

19 20

21

12

16

11 14

R1Y= -895.31R11Y=6895.31 kN R14Y=6895.31

R10Y= -895.31

R11X= -3523.68 kN

R11Z= 2114020.65 kNm

R14X= 3523.68R14Z= -2114020.65

Reaksiyonlar

Kesme

Moment

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 303

Yaylarda: = 10,('01%0203 = 5675695), ';2=0 = 2.1 10 6.874 10 2 72000'(/@59 (yar ankastre anlamnda), yay boyu L=0.01 m (sadece geometriyi tanmlamak iin gerekli, esneklik matrisinde kullanlmaz) alnacaktr. Yay eleman esneklik matrisi:

A =BCCD

)1EFGEHEI

0 00 0 00 0 )1JHKEL

MMN olur

Snr koullar: 1 ve 2 noktas X ve Y ynnde hareket edemez.

rnek 35.5: Sadaki elik erevenin kolon ve kirileri NPI500 profilidir. Dm noktalar cvata(bulon) ile balanmtr. Eleman kuvvetleri ve yer deitirmeler hesaplanacaktr

Malzeme: = 2.1 10 , = 0 (tm elemanlarda) Kesit bilgileri: = 179 10, = 6.874 10(NPI 500)

Modelleme: elik yaplarda cvatal veya perinli balantlar tam ankastre almaz. nk cvata ve delik aplar 0.3~1 civarnda farkldr. Cvata says ve dzeni de balant noktasnn rijitliini deitirir. Bu nedenle hesaplarda balant noktasnda rijitlik drlr. Rijitliin ne kadar drlecei teorik olarak bilinemez, mhendis tahmin eder. Uygulamada %25, %50 drmek yaygndr. Bu tr balantya elastik veya ksm balant denir.

rneimizde, elastik balanty tanmlayabilmek iin, 4 nolu kiri kolonlara 3 ve 4 nolu elastik yay ile balanmtr. Yaylar eksenel kuvvet, kesme ve moment aktaracaktr. Kiriin kolona(cvatal balant nedeniyle) yar ankastre bal olduu varsaylarak yay sabitleri '01%0203 = , ';2=0 = 1PQP 2 alnacaktr.

5.0

m1

.0

Eksenel ve dnme yay

Eksenel ve dnme yay

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 304

rnek 35.6: sada grlen, drtgen ve gen elemanlarla modellenmi, levhann kalnl 20 cm, malzemesi C25/30 betonudur.

Malzeme: E=30.106 kN/m2 , =0.2.

Mesnet koullar: En sol noktalar yer deitiremez. SEM2015 in sonular aada verilmitir.

100 kN

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 305

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 306

SEM2015 in sonular aada verilmitir1.

1 Bu rijitletirme yntemi otomobil ve uak sanayinde kullanlr. Bu rnek Gallagher, R. H., Finite Element Analysis, Springer Verlag, 1976, Sayfa 57 den alnmtr.

0.4

m

rnek 35.7: Sada grlen sistemde 4 nolu gen eleman 0.3 mm elik levhadr. Levhay rijitletirmek iin kenarlarna elik ubuklar konmutur. elik ubuklar levhaya 1, 2 ve 3 noktalarnda baldr, baka hibir nokta bal deildir.

Malzeme: E=1.108 kN/m2 , =0.3 Levha kalnl: 0.3 mm 1 nolu ubuun alan: 0.7 cm2 2 nolu ubuun alan: 0.5 cm2 3 nolu ubuun alan: 0.75 cm2 Sistemdeki ubuklar kafes eleman olarak alr.

Kafes eleman kuvvetleri

Levha eleman kuvvetleri

Kafes eleman gerilmeleri

Levha eleman gerilmeleri

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 307

Malzeme(elik): E=2.1.108 kN/m2 , =0.3 Malzeme(LC30/33 hafif beton): E=16000 kN/m2 , =0.25 113 ve 19 nolu elik elemanlar NPU50 kesit alan: 0.00072 m2 1418 nolu elik elemanlar 2xNPU50 kesit alan: 0.001424 m2 20..25 nolu elemanlar beton levha kalnl: 0.036 m Sistemdeki ubuklar kafes eleman, beton elemanlar levha olarak alr1. SEM2015 in sonular aada verilmitir.

1 Bu hayali bir rnektir, uygulamas yoktur. Sonlu elemanlar metodunun farkl malzeme ieren sistemi zebileceini gstermek iin dzenlenmitir.

rnek 35.8: Sada grlen sistemde dey ve yatay (1..19 nolu) elemanlar elik profildir. 20..25 nolu elemanlar LC30/33 hafif beton dikdrtgen levhadr.

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 308

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 309

Deiken kesitli ankastre kemer Ksa teorik bilgi: Ankastre kemerler vadinin iki yakasnda zemin salam ise(kaya) kpr olarak ina edilirler. Kemer ekseni ounlukla 20 parabol alnr. Kemer eksenini fonksiyonu: 20 parabol S = 5T + VT + W. Snr koullar x=0 da y=0 olmal -> c=0 olur. x=L/2 de y=f olmal -> 5. + 2VXYZ. x=L de y=0 olmal -> 5. + V. = 0. Bu bantlardan 5 = 4 ZX ve V = 4

\] bulunur. Bunlar

S = 5T + VT + W de yerine konulunca kemer eksenini denklemi S = ^X (. T)T olur. Kesit atalet momentinin kemer ekseni boyunca nasl deieceine ynelik farkl yaklamlar vardr: Baknz1. rnek 35.9: Saysal rnek: C40/50 betonu ile ina edilecek olan, aada geometrisi ve ykleri verilen, ankastre kemerin i kuvvet diyagramlar izilecektir.

Modelleme: Simetriden dolay yars dikkate alnacaktr. SEM2015 programnda eri eksenli ve deiken atalet momentli ereve eleman yoktur. Kemer, ekilde grlen, yatay uzunluu 1.0 m olan, 10 paraya(elemana) blnmtr. Noktalardaki h kesit ykseklikleri bilinmektedir. Kesit genilii sabit, her noktada b=1.0 m dir. Noktalarn y ordinatlar S = ^X (. T)T den hesaplanr

1 akrolu, A., etmeli, E., Yap statii I, T, 1966

nokta x Y h 1 0.0 0.0 0.8 2 1.0 0.57 0.75 3 2.0 1.08 0.72 4 3.0 1.53 0.68 5 4.0 1.92 0.64 6 5.0 2.25 0.60 7 6.0 2.52 0.56 8 7.0 2.73 0.52 9 8.0 2.88 0.48 10 9.0 297 0.44 11 10.0 3.0 0.40

f (o

k)

10 m

Y

X

30 kN20 kN/m

10 m

2

1

3

4

5

67

89 10

10x1 m=10 m

Y

X

1 m 0.4 m

11

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 310

Elemanlarn kesit ykseklikleri dmlerindekinin ortalamas alnacak, eleman kesit alan ve atalet momenti bu ortalama ykseklik kullanlarak bulunacaktr. rnek: 1 ve 2 noktalar arasndaki parann ortalama ykseklii `Qab3b=b =,.c,.d

= 0.775 dir. 10 parann(10 elemann) bu yaklamla hesaplanm ortalama ykseklikleri aadaki tabloda verilmitir. Elemanlar dikdrtgen kesitinin genilii b=1.0 m, ykseklii tablodan alnacaktr. Para 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10 10-11

Eleman no 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 hortalama 0.775 0.735 0.70 0.66 0.62 0.58 0.54 0.50 0.46 0.42

Tekil ve yayl ykn modellenmesi: Tepedeki 30 kN tekil ykn, simetri nedeniyle, yars alnmtr. Her elemann yatay uzunluu 1.0 m olduundan 20 kN/m yknden oluan 20.1.0 =20 kN edeer tekil ykn yars elemann bir dmne dier yars dier dmne gider. Buna gre tepe noktasnda 15+10=25 kN, mesnette 10 kN, 2, 3, , 10 noktalarnda 20 kN tekil yk olur. Mesnet koullar:. 1 noktasnda yatay, dey yer deitirme ve dnme olmaz. 11 noktas simetri nedeniyle yatay yer deitiremez, dnemez fakat dey yer deitirebilir. SEM2015 programna tantlan model ve alnan diyagramlar aadaki gibidir.

Sim

etr

ieks

eni

3 m

Moment

Normal kuvvet

Kesme

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 311

35. Karma sistem rnek zmleri

Ahmet TOPU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskiehir Osmangazi niversitesi, 2015-2017, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 312

rnek 35.10: C40/50 betonu ile ina edilecek olan aadaki ankastre kemerin bzlmeden oluacak i kuvvet diyagramlar izilecektir. Kemerin geometrik modeli bir nceki rnek 33.9 daki gibidir. Burada sadece bzlme etkileri ele alnacaktr. Bzlme tm beton liflerinin ksalmasna n...