6 Ασκησεις Λογισμου Μεταβολων

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    13-Apr-2017

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  • &

    - tasoslazaridis13@gmail.com anthpsar@ee.duth.gr

    , 2016

    mailto:tasoslazaridis13@gmail.commailto:anthpsar@ee.duth.gr

  • 1

    D

    . ds h

    exp(-h/H)ds H. .

    D H ;

    , y a , y , y ay y y 1 ,y C

    .

    ds

    hHd e ds

    0 0 0

    D Dh h

    H Hd e ds K e ds

    h y x 2

    1dy

    ds dxdx

    ,

    2

    21 y, y 1 y y x y

    H H

    a

    dye dx e dx

    dx

    y

    . x, Euler [1], [3]

    2, 1 yy

    HF y y e

    yF

    F y F yF cy

    , c R (1)

    yF

    21 y

    yH

    y

    yF e

    (1) 2

    2

    21 y

    1 y

    y yH H

    ye e c

  • 2 2 2 1 y 1 y y y

    H He y e c

    22 2 2 2 1 y y

    y yH He c e c c

    2 22 2

    2

    2 y y

    y yH He c e c

    c c

    22

    22

    y

    H

    yH

    cdycdy e c dx dx

    e c

    (2)

    .

    . Mathematica

    2 22 2 2

    12 2

    2 2

    ln 1 1

    y y y yH H H H

    y yH H

    He c e c c e c edy

    c

    e c c e c

    (2)

    22

    y

    H

    cdydx

    e c

    2 22 2 2

    22

    2

    ln 1 1

    y y y yH H H H

    yH

    He c e c c e c e

    x c

    e c

    (3)

    (3) , 2c c

    y ay y y , 2x2 .

    l

    D,

    21 a

    l y dx D

    (4)

    (4) y (3)

    D H.

  • 2

    v x,

    :

    .

    : 22p v

    . ;

    [2]

    2 3 2 3

    0 0

    4 , 4

    L L

    F v yy dx F F y y v yy dx

    0 0y y L R .

    Euler 3f yy , x

    3 23 0f d df d

    y yyy dx dy dx

    y

    3 3 30 d

    yy yy cdx

    31

    3 31

    3

    c c

    y y y dy cdxy y

    1 43 3

    1

    3

    4y dy cdx y cx c

    y

    3

    4y x Ax B , ,A B

  • 3

    434

    000 0

    BBy

    Ry L R R AL AL

    3

    4xy x R

    L

    , 0,x L

    3

    4y x Ax B

    0 0y y L

    3

    40 0 0 0 0y B B

    20 3 0 0

    f Ly L y L A

    y

    ,

    0y

  • 3

    ,

    u.

    .

    ,

    .

    du gu()

    r2du. , g

    u(r) .

    du

    2rds, ds .

    0

    2

    R

    duV r dr

    dr

    u :

    r R tanu R a , 0u R

    0r 0 0u .

    u r(u) du.

    2 dU gudm gu r u du

    2 2

    0 0

    R Rdu

    U g ur u du g ur drdr

    2

    2 22 2 2 1

    dudU r ds r dr du r dr

    dr

  • 2

    0

    2 1

    Rdu

    U r drdr

    2

    2

    0 0

    2 1

    R R

    tot

    du duU U U g ur dr r dr

    dr dr

    (1)

    V,

    2

    0

    Rdu

    V r drdr

    tandu

    dr

    (1)

    2 2

    0 0

    2 1

    R R

    totU g ur dr r dr

    2 2 22 1 u VH gur r r v

    Euler-Lagrange

    0Vd H

    dr V

    2 , 0 0u ud H

    r gdr u

    2 2

    20 2

    1u V

    Hgur r r

    u

    r

    22 2

    2 2 22

    10 2 2 2 2

    1 1 1V

    dvr gur r g r r

    dr

    3 2

    2

    1 1

    11

    Vd g udr r

    1 du

    dr

    2

    2

    1 Vd u du g udr r dr

    0 0V g gu r AI r BK rg

    0I 0K Bessel , , VA B .

  • 4

    m k.

    . Fcos(t)

    , .

    () Hamilton Euler-Lagrange .

    () Hamilton

    km

    -.

    Hamilton Euler-Lagrange.

    () km

    .

    (),

    . ,

    .

    x g .

    2 21 1

    2 2T mu mx , x x t

    .

    cos( t)F F mg F

    cos( t) U U x Fdx F dx mgdx F dx

    cos( t) U x k xdx mg dx F dx

    21

    cos( t) c2

    U x kx mgx Fx , x x t

  • Euler [3], [4] ,

    2 21 1 cos( t) c2 2

    L T U mx kx mgx Fx

    cos( t)xL

    L kx mg Fx

    x

    LL mx

    x

    Euler

    0 cos( t) 0 L d L d

    kx mg F mxx dt x dt

    cos( t) 0 kx mg F mx

    cos( t) k F

    x x gm m

    , x x t (1)

    Hamilton [1]

    cos( t)xL

    p L kx mg Fx

    2 21 1

    , , cos( t) cos( t) c2 2

    H H x x t px L kxx mgx Fx mx kx mgx Fx

    Hamilton

    H

    x x xp

    (2)

    cos( t)xdLH H

    p mx kx mg Fx dt x

    (3)

    (3) Hamilton (1) Euler, .

    (3) km

    .

    cos( t) k F

    x x gm m

    , x x t (3)

    2

    ,

    0k

    x xm

    2

    1 2 0 , k k k

    i im m m

    1 21 2 1 2k k

    i t i tt t m mx t c e c e c e c e

    cos sinx t A B t C t

  • , ,A B C

    sin cosx t B t C t

    2 2cos sinx t B t C t

    (3)

    2 2 cos sin cos sin cos( t) k F

    B t C t A B t C t gm m

    (1):

    22

    2

    2 2 20 0 0 ,

    k Fk F FBB B Bm mm m m k

    k k kC C C C

    m m m

    k mgmgA g AA

    m kk

    2 cosmg F

    x t tk m k

    km

    ,

    1 2 2 cosk k

    i t i tm m

    mg Fx t x t x t c e c e t

    k m k

    2 k

    m .

    2

    1 2 2 lim cos

    k ki t i t

    m m

    k

    m

    mg Fx t c e c e t

    k m k

    2

    1 2 22

    cos lim i t i t

    k

    m

    tg Fc e c e

    km

    m

    .

    , .

    Fcos(t) ,

    , (.

    ).

  • 5

    , z .

    : 2 2 2 2ds a d dz

    1 1,z 2 2,z .

    . ;

    Lagrange 2 2 2x y a .

    1 1,z 2 2,z

    2 2 2 2 2 2 2 ds a d dz ds a d dz

    2

    1

    2

    2 2 2 2 S= S= dz

    a d dz a dd

    Euler

    2 20 0 z z

    d d zF F

    d d z

    2 2 2 2 2

    2 2

    zc z c a c z

    z

    2 2

    1 1

    ac acz dz d

    c c

    12

    1

    acz c

    c

    (1)

    . 1c c

    1 1 12 1 2 1 22

    2 2 12

    11

    1

    acz c ac

    z zcc

    acz c

    c

  • 1 2 1 2

    2 21 2 1 2

    1 2 1 22 2 1 1 2 2

    1 2 1 2

    1 1

    z z z zac ac

    c c

    z z z zz c c z

    (1)

    1 2 1 22 2

    1 2 1 2

    z z z zz z

    1 2 2 21 2

    z z

    z z

    .

    1 1,z 2 2,z .

    1 2 2 21 2 2

    z zz z

    n

    n Z

    2

    1

    2 2 2

    2 2 2

    s

    s

    dx dy dzL x y a ds

    ds ds ds

    Lagrange [4]

    2 2 22

    dxd ds xds dx dy dz

    ds ds ds

    2 2 22

    dyd ds yds dx dy dz

    ds ds ds

    2 2 20

    dzd ds

    ds dx dy dz

    ds ds ds

    2 2 2 2ds dx dy dz

    2

    22

    d xx

    ds

    2

    22

    d yy

    ds

    2

    20

    d z

    ds

    2 2 2x y a

  • 2

    1

    2

    0coss s

    x aa

    0sins s

    y aa

    .

    z bs c

  • 6

    R>0

    :

    1

    0

    2 21 sin J d

    .

    Legendre.

    2 2, 1 sin F F

    F , Euler

    0 d F F

    cd

    2

    4 2 2 2 2 2

    2 2

    sin sin sin

    1 sin

    Fc c c

    4 2 2 2 22 2 2

    sin sin sin sin

    cc c

    c

    2 2 2

    sin sin

    c d

    c

    1

    12 2 2 2

    ccotcos

    sin sin 1

    c dc

    c c

    1 cos

    cottan sin

    1 12

    ccotcos

    1c

    c

    .

    Legendre, 2

    20

    F

    , 0 1,

    2

    2 2

    sin

    1 sin

    F

    2sin 0

  • 2

    1

    F

    F

    2 22

    22

    2 2

    11

    1

    AA A

    F

    2 2

    2

    21 0

    1

    AA A

    ( 2sin 0 )

    22

    2 1 0

    1

    AA

    2 2 1 0 A A

    1 0 .

    Legendre.

  • [1] . : , 1993.

    [2] B.V.Ramana Higher Engineering Mathematics New Delhi: Tata McGraw-Hill, 2008.

    [3] I. M. Gelfand and S.V. Fomin Calculus of Variations New Jersey: Englewood Cliffs, 1963.

    [4] . : .