6.Metodele Geometriei Descriptive

  • Published on
    20-Jun-2015

  • View
    99

  • Download
    5

Embed Size (px)

Transcript

<p>4. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE4.1. GENERALITI n general corpurile geometrice sunt n poziii oarecare fa de planele de proiecie. Prin metodele geometriei descriptive proieciile acestor corpuri geometrice pot fi transformate n aa fel nct s fie n poziii particulare fa de planele de proiecie. Aducnd suprafeele acestor corpuri geometrice n plane paralele cu planele de proiecie, acestea se vor proiecta n adevrata lor mrime fie n planele de proiecie fie n plane paralele cu ele. Metodele prin care se pot realiza aceste transformri se refer la: -modificarea sistemului de referin n raport cu corpurile geometrice considerate (metoda schimbrii planelor de proiecie) sau -modificarea poziiei corpurilor geometrice fa de sistemul de referin adoptat (metoda rotaiei, cu cazul particular - rabaterea). 4.1.1 Metoda schimbrii planelor de proiecie Planele de proiecie sunt schimbate astfel nct elementul proiectat s ocupe o poziie particular fa de noul plan de proiecie ( n general paralel cu acesta). Metoda schimbrii planelor de proiecie se poate efectua fie prin schimbarea unui plan de proiecie (planul vertical [V] sau orizontal [H]), fie prin schimbarea succesiv a ambelor plane de proiecie. Indiferent de schimbarea efectuat, n noul sistem de referin planele de proiecie rmn ortogonale. 4.1.1.1. Metoda schimbrii planului vertical de proiecie [V] Prin schimbarea planului vertical de proiecie rmn neschimbate proieciile orizontale i cotele punctelor i se modific proieciile verticale. Noile proiecii verticale se obin msurnd pe liniile de ordine mrimea cotelor punctelor respective, fa de noua ax (O1x1). Axa de proiecie (O1x1 ) = [H] [V1 ] se noteaz n aa fel nct un observator situat n proiecia orizontal a neschimbat, cu faa ctre noul plan vertical [V1 ], s poat citi axa (O1x1 ) n acelai sens n care citea axa (Ox) (fig.4.1).</p> <p>90</p> <p>Geometrie descriptiv-ndrumar de laborator i teme</p> <p>a. Schimbarea planului vertical de proiecie, pentru un punct A. Se modific axa de proiecie (O1x1), deprtarea yA1 i proiecia vertical a1 a punctului A; rmn neschimbate cota zA i proiecia orizontal a (/Aa//a1ax1/) (fig.4.1).</p> <p>Fig.4.1</p> <p>Metodele geometriei descriptive</p> <p>91</p> <p>b. Schimbarea planului vertical de proiecie, pentru o dreapt oarecare. Noul plan vertical de proiecie [V1 ] se aeaz paralel cu dreapta (fig.4.2). Noua ax de proiecie (O1x1 ) va fi ntr-o poziie paralel cu proiecia orizontal (d) a dreptei, proiecie rmas neschimbat.Astfel dreapta (D) este transformat ntr-o frontal. Se obine noua proiecie vertical a dreptei (a1 b1 ) i deci: /a1 b1//AB /.</p> <p>Fig.4.2</p> <p>92</p> <p>Geometrie descriptiv-ndrumar de laborator i teme</p> <p>c. Schimbarea planului vertical de proiecie, pentru un plan. Noul plan vertical de proiecie [V1 ] se aeaz perpendicular pe planul [P] (fig.4.3). Noua ax de proiecie (O1x1 ) se traseaz perpendicular pe urma orizontal a planului (Ph). Intersecia axei (O1x1 ) cu urma (Ph ) determin punctul Px1 ;cel de al doilea punct al urmei verticale (Pv1 ) este punctul M(m,m), situat pe vechea urm vertical (Pv ) a planului. Pentru simplificare punctul M(m,m ) se consider a fi punctul comun planelor [P], [V] i [V1 ] i proiecia sa orizontal m = (Ox)(O1x1 ). Prin schimbarea de plan a punctului M se determin m1, cel de al doilea punct al urmei verticale (Pv1).</p> <p>Fig.4.3</p> <p>Metodele geometriei descriptive</p> <p>93</p> <p>4.1.1.2. Metoda schimbrii planului orizontal de proiecie [H] Prin schimbarea planului orizontal de proiecie rmn neschimbate proieciile verticale i deprtrile punctelor i se modific proieciile orizontale. Noile proiecii orizontale se obin msurnd pe liniile de ordine mrimea deprtrilor punctelor respective, fa de noua ax (O1x1). a. Schimbarea planului orizontal de proiecie, pentru un punct A. Se modific proiecia orizontal a a punctului, axa de proiecie i cota punctului. Rmn neschimbate proiecia vertical a i deprtarea punctului.(/Aa//a1ax1 /) (fig.4.4).</p> <p>Fig.4.4</p> <p>94</p> <p>Geometrie descriptiv-ndrumar de laborator i teme</p> <p>b. Schimbarea planului orizontal de proiecie, pentru o dreapt oarecare. Noul plan orizontal de proiecie [H1 ] se aeaz paralel cu dreapta (fig.4.5). Noua ax de proiecie (O1x1 ) se aeaz ntr-o poziie paralel cu proiecia vertical (d ) a dreptei, proiecie rmas neschimbat.Astfel dreapta (D) este transformat n orizontal .Se obine noua proiecie orizontal (a1b1) a dreptei i deci: /a1b1//AB /.</p> <p>Fig.4.5</p> <p>Fig.4.6</p> <p>c. Schimbarea planului orizontal de proiecie, pentru un plan. Noul plan orizontal de proiecie [H1 ] se aeaz perpendicular pe planul [P] (fig.4.6). Noua ax de proiecie (O1x1 ) se traseaz perpendicular pe urma vertical a planului (Pv). Intersecia axei (O1x1) cu urma (Pv ) determin punctul Px1 ;cel de al doilea punct al urmei verticale (Ph1 ) este punctul M(m,m), situat pe vechea urm orizontal(Ph ) a planului. Pentru simplificare punctul M(m,m ) se consider a fi punctul comun planelor [P], [V] i [H1 ] ( m = (Ox)( O1x1 )).Prin schimbarea de plan a punctului M se determin m1 cel de al doilea punct al urmei orizontale (Ph1).</p> <p>Metodele geometriei descriptive</p> <p>95</p> <p>4.1.2. Metoda rotaiei Prin aceast metod corpurile geometrice din spaiu sunt aduse n poziii particulare fa de planele de proiecie,prin rotirea acestora n jurul unei axe fixe perpendiculare pe unul din planele de proiecie. n funcie de axa de rotaie deosebim rotaia de nivel i rotaia frontal. 4.1.2.1 Rotaia de nivel La rotaia de nivel axa de rotaie este o dreapt de vertical iar punctele se rotesc n plane de nivel. Proieciile orizontale descriu arce de cerc cu centrul n ( , ) pe axa de rotaie (Z) iar proieciile verticale se deplaseaz paralel cu axa (Ox) pn n dreptul noilor proiecii orizontale. a. Rotaia de nivel pentru un punct A(a, a ), cu un unghi n jurul unei axe (Z)(z, z ) perpendicular pe [H] (fig.4.7).</p> <p>Fig.4.7</p> <p>96</p> <p>Geometrie descriptiv-ndrumar de laborator i teme</p> <p>Punctul A se rotete n planul de nivel [N] (Z), avnd cota egal cu cota punctului. Axa (Z)(z, z ) intersecteaz planul [N] n punctul ( , ) = (Z) [N] care este centrul de rotaie. Raza de rotaie R este distana de la punctul A la axa (Z); R= / A/. Dup rotaie proiecia orizontal a punctului A, a se deplaseaz pe un cerc ajungnd n a1 iar proiecia vertical a se deplaseaz n planul [V], pe urma [Nv ] a planului de nivel, n poziia a1. Punctul A1(a1,a1') este rotitul punctului A(a, a ) fa de axa vertical (Z). b. Rotaia de nivel pentru o dreapt oarecare (D)(d, d ) n jurul unei axe verticale (Z)(z, z ) permite transformarea acesteia ntr-o dreapt frontal (fig.4.8).</p> <p>Fig.4.8</p> <p>Metodele geometriei descriptive</p> <p>97</p> <p>Pentru simplificare, axa (Z) s-a considerat concurent cu dreapta (D) n punctul B(b,b ), care va fi propriul su rotit, adic B(b, b )=B1(b1 ,b1 ). Punctul A(a, a ) se rotete n jurul axei, n planul de nivel [N], pn cnd deprtarea lui va fi egal cu deprtarea punctului B(b, b ). Raza de rotaie este R= / A/, = (Z) [N], iar rotaia punctului A se efectueaz cu unghiul ( fig. 4.8). Dreapta (D1 )(d1 ,d1') determinat de punctele A1(a1 ,a1') i B1(b1 ,b1') este o frontal, segmentul /a' 1 ,b1' / reprezentnd adevrata mrime a segmentului /AB / (D), iar - unghiul real fcut de dreapta (D) cu planul [H]. c. .Rotaia de nivel pentru un plan [P] n jurul unei axe verticale (Z)(z, z ) permite transformarea lui ntr-un plan de capt (fig. 4.9).</p> <p>Fig.4.9</p> <p>98</p> <p>Geometrie descriptiv-ndrumar de laborator i teme</p> <p>Axa (Z) intersecteaz planul [P] n punctul care este centrul de rotaie; Centrul de rotaie al urmei (Ph ) este punctul =(z). Fie / m/ perpendiculara comun a axei de rotaie (Z) i a urmei (Ph ). Se rotete segmental / m/, n jurul lui , cu un unghi , pn cnd acesta devine paralel cu axa (Ox), iar punctul m se deplaseaz n m1 . Noua urm orizontal a planului rotit [Ph1 ] este tangenta n m1 la cercul cu centrul n i raza / m/, perpendicular pe axa (Ox) n Px1 . Punctul Px1 aparine i urmei verticale (Pv1 ). Cel de al doilea punct necesar pentru trasarea urmei verticale a planului (Pv1 ) se obine utiliznd o dreapt orizontal (D) [P] care trece prin punctul . Prin rotaia ei de nivel n jurul axei (Z) se obine dreapta de capt (D1 )(d1 d1' ) a crei urma vertical v (Pv ). Dup rotaie v se deplaseaz n punctul v1 = , punct prin care trece urma vertical a planului [Ph1 ]. 4.1.2.2 Rotaia de front. La rotaia de front axa de rotaie este o dreapt de capt iar punctele se rotesc n plane frontale. Proieciile verticale descriu arce de cerc cu centrul n (, ) pe axa de rotaie (Y) iar proieciile orizontale se deplaseaz paralel cu axa (Ox) pn n dreptul noilor proiecii verticale. a. Rotaia de front pentru un punct B(b, b ), cu un unghi b n jurul unei axe (Y)(y, y ) perpendicular pe [V] (fig.4.10).</p> <p>Fig.4.10</p> <p>Metodele geometriei descriptive</p> <p>99</p> <p>Punctul B se rotete n planul frontal [F] (Y), avnd deprtarea egal cu deprtarea punctului. Axa (Y)(y, y ) intersecteaz planul [F] n punctul ( , ) = (Y) [F] care este centrul de rotaie. Raza de rotaie R este distana de la punctul B la axa (Y); R= / B/. Dup rotaie proiecia vertical a punctului B, b se deplaseaz pe un cerc ajungnd n b1 iar proiecia orizontal b se deplaseaz n planul [H], pe urma [Fh ] a planului frontal, n poziia b1. Punctul B1(b1, b1') este rotitul punctului B(b, b ) fa de axa de capt (Y). b. Rotaia de front pentru o dreapt oarecare (D)(d, d ) n jurul unei axe de capt (Y)(y, y ) permite transformarea acesteia ntr-o dreapt orizontal (fig.4.11).</p> <p>Fig.4.11</p> <p>100</p> <p>Geometrie descriptiv-ndrumar de laborator i teme</p> <p>Pentru simplificare, axa (Y) s-a considerat concurent cu dreapta (D) n punctul B(b,b ), care va fi propriul su rotit, adic B(b,b )=B1(b1 ,b1 ). Punctul A(a, a ) se rotete n jurul axei, n planul frontal [F], pn cnd cota lui va fi egal cu cota punctului B(b,b ). Raza de rotaie este R= / A/, =(Y) [F], iar rotaia punctului A se efectueaz cu unghiul ( fig. 4.11). Dreapta (D1 )(d1, d1') determinat de punctele A1(a1, a1') i B1(b1, b1') este o orizontal, segmentul /a1 ,b1/ reprezentnd adevrata mrime a segmentului /AB / (D), iar b - unghiul real fcut de dreapta (D) cu planul [V]. c. .Rotaia de front pentru un plan [P] n jurul unei axe de capt (Y)(y,y ) permite transformarea lui ntr-un plan vertical (fig. 4.12).</p> <p>Fig.4.12</p> <p>Metodele geometriei descriptive</p> <p>101</p> <p>Axa (Y) intersecteaz planul [P] n punctul care este centrul de rotaie; Centrul de rotaie al urmei (Pv ) este punctul =(y ). Fie / m / perpendiculara comun a axei de rotaie (Y) i a urmei (Pv ). Se rotete segmental / m/, n jurul lui , cu un unghi , pn cnd acesta devine paralel cu axa (Ox), iar punctul m se deplaseaz n m1 . Noua urm vertical a planului rotit [Pv1 ] este tangenta n m1 la cercul cu centrul n i raza / m/, perpendicular pe axa (Ox) n Px1 . Punctul Px1 aparine i urmei orizontale (Ph1 ). Cel de al doilea punct necesar pentru trasarea urmei orizontale a planului (Ph1 ) se obine utiliznd o dreapt frontal(F) [P] care trece prin punctul . Prin rotaia ei de front n jurul axei (Y) se obine dreapta vertical (F1 )(f1, f1' ).a crei urm orizontal h1 (Ph1 ). Dup rotaie h se deplaseaz n punctul h1 = , punct prin care trece urma orizontal a planului [Ph1 ]. 4.1.3 . Metoda rabaterii Rabaterea este un caz particular al rotaiei n care axa de rotaie este chiar urma planului pe care se face rabaterea. n cazul n care rabaterea se efectueaz ntrun plan paralel cu unul din planele de proiecie axa de rabatere este dreapta de intersecie dintre planul rabtut i planul pe care se face rabaterea. Cercurile descrise prin rotaia diferitelor puncte n timpul rabaterii sunt cuprinse n plane perpendiculare pe axa de rabatere. Rabaterea unui plan [P] se poate efectua n dou sensuri; n epur, se prefer acel sens de rabatere care asigur o claritate mai mare a construciei grafice. Dup rabatere, diversele elemente geometrice (segmente de dreapt, unghiuri, figuri plane), coninute n planul rabtut, apar n adevrata lor mrime. Pe o figur rabtut, soluiile problemelor propuse se pot obine utiliznd axiomele i teoremele geometriei plane. 4.1.3.1. Rabaterea n planul orizontal [H] . Rabaterea planului [P] se efectueaz pe planul orizontal de proiecie [H] utiliznd ca ax de rabatere urma orizontal (Ph ) (Fig.4.13). Pentru a construi planul [Po ], planul rabtut al planului [P] n planul orizontal de proiecie [H] , este necesar a fi cunoscut un al doilea element care contribuie la definirea acestui plan. Acesta va fi punctul V(v,v ) (Pv ). n timpul rabaterii, punctul V se rotete n planul [Q](Ph ) i descrie un arc de cerc cu raza R = // V// i centrul = (Ph )(Qh ). Dup rabatere, punctul V ajunge n poziia Vo [H] (fig. 4.13, a). Astfel, planul [Po ] este definit de urma orizontal (Ph ) i punctul Vo. Urma vertical (Pvo ) a planului rabtut [Po ] este definit de punctele Px i Vo.</p> <p>102</p> <p>Geometrie descriptiv-ndrumar de laborator i teme</p> <p>Raza de rabatere R este ipotenuza triunghiului dreptunghic v1v, dreptunghic n v; acest triunghi poart denumirea de triunghi de poziie al punctului V. Raza de rabatere / v/ a punctului V, avnd o poziie oarecare fa de planele de proiecie, nu se proiecteaz n adevrata mrime pe nici unul din aceste plane. De aceea, pentru a construi n epur punctul Vo, triunghiul de poziie al punctului V se rotete n jurul catetei / v/ pn cnd se suprapune cu planul orizontal de proiecie [H] .</p> <p>Fig.4.13</p> <p>Metodele geometriei descriptive</p> <p>103</p> <p>Dup rotaie, vv devine v1 v , coninut n planul [H]. n epur v1v se construiete tiind c /v /[H], / v1 v // v v / i unghiul din v este de 90o. Arcul de cerc avnd centrul n i raza / v1 / intersecteaz n Vo urma orizontal (Qh) a planului vertical [Q] n care se rotete punctul V. Punctele Px i Vo definesc urma vertical (Pvo ) a planului [P], rabtut n planul [H]. Punctul Vo poate fi determinat i prin rotirea triunghiului dreptunghic v1v, dreptunghic n , n jurul catetei /Px / i aezarea acestuia n planul orizontal de proiecie [H] (fig.4.13, a). n epur (fig. 4.14), cateta /Px / i ipotenuza /Pxv/ ale v Px sunt determinate n adevrata mrime. Ca urmare, punctul Vo este determinat, n epur, prin intersecia arcului de cerc cu centrul Px i raza /Pxv/ cu urma (Qh )( /vw/ (Ph ) a planului [Q] n care se rotete punctul V (Pv ). Punctele Px i Vo definesc urma vertical (Pvo ) a planului [P].</p> <p>Fig.4.14 4.1.3.2. Rabaterea n planul vertical [V] . Rabaterea planului [P] se efectueaz pe planul vertical de proiecie [V] utiliznd ca ax de rabatere urma vertical (Pv ) (Fig.4.15). Pentru a construi planul [Po ], planul rabtut al planului [P] n planul vertical de proiecie [V] , este necesar a fi cunoscut un al doilea element care contribuie la definirea acestui plan. Acesta va fi punctul H(h,h ) (Ph ).</p> <p>104</p> <p>Geometrie descriptiv-ndrumar de laborator i teme</p> <p>n timpul rabaterii, punctul H se rotete n planul [Q](Pv ) i descrie un arc de cerc cu raza R = // H// i centrul = (Pv )(Qv ). Dup rabatere, punctul H ajunge n poziia Ho [V]. Astfel, planul [Po ] este definit de urma vertical (Pv ) i punctul Ho. Urma orizontal (Pho ) a planului rabtut [Po ] este definit de punctele Px i Ho. Raza de rabatere R= / h1 / este ipotenuza triungh...</p>