9 Point Circle

  • Published on
    27-Jun-2015

  • View
    600

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

by I Wayan Bawa Parmita

Transcript

LINGKARAN SEMBILAN TITIK DAN VISUALISASINYA DENGAN MAPLE Oleh I WAYAN BAWA PARMITA 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Segitiga adalah bangun datar yang terjadi dari tiga buah ruas garis yang menghubungkan tigabuahtitikyangtidaksegaris.Segitigadidefinisikansebagaipoligonyanghanya memiliki tiga buah sisi. Selain itu, ada yang mendefinisikan segitiga sebagai gabungan ketiga ruasgarishubungdua-duatitikdaritigatitikyangtidaksegaris.Suatusegitigabiasanya dinyatakan dengan . Segitigamemilikigarisgarisyangistimewayaitugaristinggi(Altitude),garisberat (Median), dan garis bagi sudut (Bissectrice). Garis tinggi (Altitude) suatu segitiga adalah ruas garisyangberujungdititiksudutsuatusegitigadandisisidepannyaatauperpanjangannya dan tegak lurus garis pemuat sisi depan tersebut. Sehingga dalam suatu segitiga terdapat tiga buah garis tinggi. Garis berat (Median) suatu segitiga adalah ruas garis yang berujung di titik sudut suatu segitiga dan di titik tengah sisi di hadapan sudut tersebut. Sehingga dalam suatu segitigaterdapattigabuahgarisberat.Garisbagisudut(bissectrice)adalahruasgarisyang melaluititiksudutsegitigadanmembagisudutitumenjadiduabagianyangsamabesarnya yangujungujungnyaterletakpadatitiksuduttersebutdanpadasisididepansudut tersebut. Dengan demikian, dalam suatu segitiga juga terdapat tiga buah garis bagi sudut. Ketiga garis garis diatas dikatakan istimewa karena dari masing masing garis tersebut perpotonganmasingmasinggarisituterletakpadasatutitik.Dalamhalini,perpotongan ketiga garis tinggi suatu segitiga atau perpanjangannya terletak pada suatu titik. Begitu juga dengan garis berat dan garis bagi sudut. Garisgarisyangmemuatketigagaristinggisuatusegitigaberpotongandisuatutitik yangdisebutdenganorthocenter.Titikpotongketigabuahgarisberatdisebutdengan centroid. Sedangkan titik potong ketiga garis bagi sudut disebut dengan incenter. Selainorthocenter,centroid,danincenter,dalamsuatusegitigajugaterdapatsuatutitik yangdisebutdengancircumcenter,yaitutitikpotongketigagarissumbudalamsuatu segitiga. Circumcenter ini merupakan titik pusat dari lingkaran luar segitiga itu sendiri. Sesuaidengandefinisi,segitigamemilikitigabuahsisi.Darimasingmasingsisi segitiga terdapat sebuah titik tengah sisi. Dari masing - masing garis tinggi pada suatu sudut segitigaterdapattitikyangberpotongandengansisidihadapansuduttersebutatau perpanjangannya.Kemudiandariorthocenter,ditarikgariskemasingmasingtitiksudut segitigadandiperolehtigabuahtitikdarimasingmasingruasgarisitu,dimanatitikyang dimaksudadalahtitiktengahorthocenterdengantitiksudutsegitiga.Sehinggakesembilan titik yang diperoleh terdapat pada lingkaran, yang disebut dengan lingkaran sembilan titik. 2 Pembahasanmengenaipembuktiankeberadaankesembilantitiktitiktersebutpada suatulingkaranmasihjarangdibahas.Olehkarenaitupenulismerasatertarikuntuk membahas masalah tersebut dan mencoba membahasnya dalam makalah ini. Selain itu juga dibuatsuatuvisualisasidenganPemrogramanMaplesehinggapembahasanmasalahini menjadi semakin menarik dan mudah. Melalui program Maple ini juga akan mempermudah melihat bahwa dari suatu segitiga terdapat sembilan buah titik yang terdapat pada lingkaran. 1.2 Rumusan Masalah MasalahyangakandibahasdalammakalahiniadalahBagaimanamembuktikandan menunjukkanbahwadarisuatusegitigaterdapatsembilantitikyangterdapatpada lingkaran? Dalamhalinikesembilantitikyangdimaksudadalahtitiktengahmasing-masingsisi segitiga,titikpotonggaristinggidarimasingmasingtitiksudutdengansisidihadapan sudut tersebut atau perpanjangannya, dan titik tengah ketiga ruas garis yang menghubungkan orthocenter dengan masing-masingtitik sudut. 1.3 Tujuan Tujuandaripenulisanmakalahiniadalahuntukmembuktikandanmenunjukkanbahwa dari suatu segitiga terdapat sembilan titik yang terdapat pada suatu lingkaran. 3 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Teori Teori yang Mendasari 2.1.1Kesebangunan Segitiga Teorema A : Jikasuatugarismemotongduasisimasing-masingatasbagianyangsama panjangnya, maka garis tersebut sejajar dengan sisi segitiga yang tak terpotong. D adalah titik tengahAC dan E adalah titik tengahBC MakaAB // DE . Bukti: Karena D adalah titik tengahAC dan E adalah titik tengahBC, maka dapat dituliskan BCBEACAD=Dari kasus ini, terdapat dua kemungkinan, yaituDE // ABatauDE / / AB . AndaikanDE / / AB , maka ada E padaBCdengan E E sehinggaAB // ' DE . Dengan itu juga dapat dituliskan bahwa BCBE'ACAD=Akibatnya BCBE'ACAD=atauBE' BE =Artinya padaBC ada dua titik berlainan E dan Eyang jaraknya sama terhadap titik B. Halinitidakmungkin,karenamelaluisatutitikdiluarsebuahgarisdapatdibuattepat satu garis yang sejajar dengan garis yang pertama. Karena itu, kondisi yang berlaku haruslahDE // AB . A B C D E gambar 1 4 A B C D gambar 3 E Karena 21ABDEBCBEACAD= = = , maka perbandingan1 : 2 DE : AB =SehinggaAB21DE = Teorema B:Suatu trapesium adalah sama kaki jika dan hanya jika kedua diagonalnya sama panjang. Bukti: Akan dibuktikan dua hal yaitu: 1).Jika suatu trapesium sama kaki maka kedua diagonalnya sama panjang. Perhatikan ABD dan BAC BC AD=(diketahui) AB AB=(berimpit) m(ZDAB) = m(ZBAC), karena ABCD trapesium sama kaki MakaBAC ABD A ~ A menurutS Sd S AkibatnyaBD AC= 2).Jika kedua diagonal trapesium sama panjang maka trapesium tersebut sama kaki. DiketahuiBD AC= . Melalui C dibuat garis sejajarDB sehingga memotong perpanjanganABdi E BECD adalah suatu jajar genjang, sehinggaCA BD CE = = CAE adalah segitiga sama kaki, sehingga m(ZDBA) = m(ZCEA) (sudut sehadap). Dengan demikian m(ZCAB) = m(ZDBA). JadiCAB DBA A ~ Amenurut Sd S Sd SehinggaBC AD=A B C D gambar 2 5 Dari 1). dan 2). dapat disimpulkan bahwaSuatu trapesium adalah sama kaki jika dan hanya jika kedua diagonalnya sama panjang. 2.1.2Dalil Stewart DalilStewartdapatdigunakanuntukmenentukanpanjangsuaturuasgarisyang dibuatdarisuatutitiksudutyangmemotongsisiatauperpanjangansisidihadapan sudut tersebut. Pada BCD berlaku ED 22 2 2 + + = q q r a (1) Pada ABD berlaku ED 22 2 2 + = p p r c (2) Kedua ruas persamaan (1) dikalikan dengan p ED 22 2 2 + + = pq pq pr pa (3) Kedua ruas persamaan (2) dikalikan dengan q ED 22 2 2 + = pq qp qr qc (4) Jumlahkan Persamaan (3) dan (4) akan menghasilkan: ED 2 ED 22 2 2 2 2 2 + + + + = + pq pq qp pq qr pr qc pa2 2 2 2 2 2qp pq qr pr qc pa + + + = +( ) ( )pq q p r q p qc pa + + + = +2 2 2 bpq br qc pa + = +2 2 2 A B C DE ca r qp b gambar 4 6 bpq qc pa br + =2 2 2 (5) Maka berlakulah hubunganbpq qc pa br + =2 2 2 yang disebut dengan Dalil Stewart. Dengan menggunakan Dalil Stewart, dapat dihitung panjang ruas garis berat dari sudut siku-siku pada segitiga siku-siku, seperti pada gambar 5 Menurut Dalil Stewart makabpq qc pa br + =2 2 2 Dalam hal ini, karena BD adalah garis berat, makab21CD AD = =Sehinggab q p21= =Substitusikan p dan q pada persamaan (5), diperoleh: 2 2 2 2412121b b bc ba br + =Kedua ruas pada persamaan di atas dibagi dengan b, maka diperoleh 2 2 2 2412121b c a r + =Karena ABC siku-siku di B, maka menurut Theorema Phytagoras b2 = a2 + c2 Sehingga persamaan menjadi: ( )2 2 2 2 2412121c a c a r + + = 2 2 2 2 241412121c a c a r + = 2 2 24141c a r + =( )2 2 241c a r + =A B C D c a b21 b21 r gambar 5 7 2 241b r =b r21=JadiAC21CD AD BD = = =Sehinggapanjangruasgarisberatsegitigasiku-sikudarisudutsiku-sikunyasamadengan setengah dari hipotenusa dari segitiga siku-siku itu sendiri. 2.2 Lingkaran Sembilan Titik Jika deketahui sebarang segitiga, maka titik tengah masing-masing sisi, titik potong garis tinggi dari masing-masing titik sudut dengan sisi di hadapan sudut tersebut, dan titik tengah yang menghubungkan orthocenter dengan titik sudut segitiga terdapat pada suatu lingkaran. . Pada gambar 6, Misalkan ABC,a)AoadalahtitiktengahBC,BoadalahtitiktengahAC,danCoadalahtitiktengah AB; b)AadalahtitikpotonggaristinggidarititikAdenganBC,Badalahtitikpotong garis tinggi dari titik B denganAC, dan C adalah titik potong garis tinggi dari titik C denganAB; c)AadalahtitiktengahAH,BadalahtitiktengahBH,danCadalahtitiktengah CH. gambar 6 8 Maka kesembilan titik-titik Ao, Bo, Co, A, B, C, A, B, C, berada pada lingkaran dengan pusat N, yaitu titik tengah orthocenter (H) dengan circumcenter (R). Untukmembuktikanbahwakesembilantitikdiatasberadapadalingkaran,dapatdilakukan dengan beberapa langkah: 1.Perhatikan segi empat AAoCoBo pada gambar 7,-AAo // BoCo (menurut teorema A terhadap ABC) ini berarti AAoCoBo adalah sebuah trapesium. -AABsiku-sikudiAdanCoadalahtitiktengahAB,maka AB21AC C A'o o= =(berdasakan Dalil Stewart) -Pada ABC, Ao adalah titik tengahBCdan Bo adalah titik tengahAC. Sehingga AB21B Ao o=-Karena o o oC B //A A' dan o o oB A C A' = ,makaAAoCoBoadalahtrapesium samakaki. -Padatrapesiumsamakakiselaludapatdibuatlingkaranluaryangmenyinggung keempat titik sudutnya.-Sehingga lingkaran luar AoBoCopasti memuat A. -Dengan memperhatikan segi empat BoBAoCo pada gambar 7, analog dengan cara di atas didapatkan bahwa lingkaran luar AoBoCopasti memuat B. AB C Ao Bo Co B C A B C A H R N gambar 7 9 -Dengan memperhatikan segi empat AoBoCCo pada gambar 7, analog dengan cara di atas didapatkan bahwa lingkaran luar AoBoCopasti memuat C. 2. -Perhatikan ABH pada gambar 8, A adalah titik tengahAH dan Co adalah titik tengahAB. SehinggaBH //C A"o. (berdasarkan teorema A terhadap ABH) BerartiBB' //C A"o. -Perhatikan ABC, Ao adalah titik tengahBC dan Co adalah titik tengahAB. SehinggaAC // C Ao o. (berdasarkan teorema A) -ini memberikan bahwa ZAoCoA adalah siku-siku. -KarenaACoAosiku-sikudiCodanAAAosiku-sikudiA,makasisidi hadapannya yaitu oA A"adalah diameter dari lingkaran luar yang melalui Co dan A. -Karena lingkaran ini melalui Ao, Co, dan A, maka lingkaran ini juga melalui A. -Analog dengan cara di atas, didapatkan: Lingkaran ini melalui Bo, Ao, dan B, maka lingkaran ini juga melalui B.Lingkaran ini melalui Co, Bo, dan C, maka lingkaran ini juga melalui C. AB C Ao Bo Co B C A B C A H R N gambar 8 10 Dari proses di atas, diperoleh