A. Des statistiques aux probabilités 1. Statistiques ... ?· Statistiques descriptives, analyse de…

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    11-Sep-2018

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<ul><li><p>Chapitre 6 : Probabilits et statistiques Seconde</p><p>A. Des statistiques aux probabilits1. Statistiques descriptives, analyse de donnes. </p><p> Vocabu laire des statistiques :Population : c'est l'ensemble tudi.Individu : c'est un lment de la population.Effectif total : c'est le nombre total d'individus.Caractre : c'est la proprit tudie.</p><p>On distingue les caractres discrets qui ne peuvent prendre qu'un nombre fini de valeurs (notes, ...) et les caractres continus dont on regroupe les valeurs par intervalles (dure d'coute, ... )</p><p> Dfinition d'une srie statistique : On appelle srie statistique la donne simultane des valeurs du caractre tudi (not xi ) et des effectifs (nots ni ) de ces valeurs.</p><p>Remarque : A la place des effectifs ni , on peut aussi utiliser les frquences f i=niN</p><p> o N est </p><p>l'effectif total.</p><p> Exemple et dfinition d'une moyenne : </p><p>Le graphique ci-contre illustre le nombre de spams reus aujourd'hui dans les botes aux lettres lectroniques des lves d'une classe.Combien d'lves ont reu exactement 4 spams aujourd'hui ?Combien d'lves y-a-t-il dans cette classe ?A l'aide du graphique ci contre, calculer la moyenne de cette srie statistique.</p><p>A retenir : On appelle moyenne d'une srie statistique d'effectif total N , le rel x qui se </p><p>calcule de la manire suivante : x=n1 x1n2 x2nk xk</p><p>N ou x=f 1 x 1f 2 x2f k x k</p><p>( k est le nombre de valeurs prises par le caractre )</p><p> Exemple et dfinition d'une mdiane : Lors d'une sance en groupes, des lves ont effectu un test comportant 100 questions. Voici le nombre de rponses exactes pour chacun des lves : </p><p>18 ; 36 ; 44 ; 46 ; 54 ; 54 ; 55 ; 56 ; 62 ; 70 ; 73 ; 74 ; 74 ; 83Quelle est l'tendue de cette srie statistique ?Dterminer la mdiane de cette srie statistique. Interprter</p><p>A retenir : On appelle mdiane d'une srie statistique discrte toute valeur me du caractre telle qu'au moins 50% des individus aient une valeur du caractre infrieure ou gale me et au moins 50% des individus aient une valeur du caractre suprieure ou gale me</p><p>recherche pratique : On range les valeurs du caractre une par une dans l'ordre croissant (chaque valeur doit apparatre un nombre de fois gal l'effectif correspondant).</p><p>Si l'effectif total est impair, la mdiane me est la valeur du caractre situe au milieu.Si l'effectif total est pair, la mdiane me est la demi-somme des 2 valeurs situes au milieu.</p><p>2010My Maths Space Page 1/6</p></li><li><p>Chapitre 6 : Probabilits et statistiques Seconde</p><p> Exemple et dfinition des quartiles Les anacondas sont des serpents aquatiques d'Amrique du Sud. Dans le tableau ci-dessous, on a relev la taille de 100 femelles adultes.</p><p>Taille (en m ) 4 5 6 7 8 9Effectif 7 22 14 20 19 18</p><p>Dterminer la mdiane et les premiers et troisime quartiles de cette srie. Donner l'cart interquartile.</p><p>A retenir : Les valeurs de la srie tant ranges dans l'ordre croissant.On appelle premier quartile Q1 d'une srie statistique discrte le plus petit nombre de la srie telle qu'au moins 25% des valeurs du caractre infrieure ou gale Q1 .On appelle troisime quartile Q3 d'une srie statistique discrte le plus petit nombre de la srie telle qu'au moins 75% des valeurs du caractre infrieure ou gale Q3 .</p><p>recherche pratique : Pour Q1 , on calcule le quart de l'effectif total, on trouve un nombre dcimal et l'on prend l'entier p qui lui est suprieur. Q1 est la p-ime valeur dans la srie ordonne.Pour Q3 , calculer les trois quarts ...</p><p>A retenir : La diffrence entre le troisime quartile et le premier quartile, Q3 Q1 , est l'cart interquartile._______________________________________________________________________________________Exercice : Dans une maternit, on a rfrenc les primtres crniens la naissance de 291 nouveaux-ns.</p><p>Primtres (en cm ) 32 32,5 33 33,5 34 34,5 35 35,5 36 36,5 37 37,5Effectif 5 19 17 20 59 62 43 20 18 18 4 6</p><p>Dterminer la moyenne, la mdiane et les quartiles de cette srie._______________________________________________________________________________________</p><p> Exemple et dfinition des effectifs cumuls croissants Ce tableau donne la rpartition des matchs du FC Barcelone selon le nombre de buts par match au cours de la saison 2008-2009 du championnat d'Espagne de football.</p><p>Nombre de buts 0 1 2 3 4 5 6 TotalEffectif 2 8 10 7 4 2 5 38</p><p>Donner la srie des frquences en pourcentages (valeurs approches l'unit), puis la srie des frquences cumules croissantes. Quel est le pourcentage de matchs au cours desquels l'quipe a marqu quatre buts ou moins ? </p><p>A retenir : xi tant toujours la valeur prise par le caractre. L'effectif cumul croissant de xi est la somme des effectifs des valeurs infrieures ou gales xi (dfinition similaire pour les frquences)</p><p>Courbe des frquences cumules croissantes </p><p>2010My Maths Space Page 2/6</p></li><li><p>Chapitre 6 : Probabilits et statistiques Seconde</p><p>2. Probabilits sur un ensemble fini </p><p> Vocabulaire des probabilits </p><p>Exprience alatoire : c'est une exprience qui a plusieurs issues possibles et l'on ne peut pas prvoir avec certitude quel sera le rsultat. (lie au hasard).Univers : c'est l'ensemble de toutes les issues d'une exprience alatoire.vnement : c'est un rsultat constitu d'issues d'une exprience alatoire.Loi de probabilit : Dfinir une loi de probabilit sur , c'est associer chaque issue i un nombre pi positif ou nul 0pi1 tel que p1p2pn=1 ( n tant le nombre d'issues de l'univers)pi est appele probabilit de l'issue wi et l'on note p i= pi .</p><p>quiprobabilit : Dans le cas o l'on associe chacune des n issues d'un univers la mme probabilit p , on parle de loi quirpartie ou d'quiprobabilit. On a p=1n .Arbre pondr : </p><p> Exemple d'utilisation du vocabulaire: exercices 1 et 2 feuilles d'exercices probabilits </p><p> Quelle loi de probabilit pour une exprience alatoire ? (modlisation)</p><p>Dfinition : Modliser une exprience alatoire dont les issues constituent , c'est choisir une loi de probabilit sur qui reprsente au mieux les chances de ralisation de chaque issue.</p><p>Comment faire en pratique : On cherche dterminer quelle est la probabilit p d'un vnement A au cours d'une exprience alatoire. </p><p>On ralise successivement n expriences du type prcdent et on note f n la frquence de l'vnement A au cours de n expriences. Lorsque n devient grand, un thorme (loi des grands nombres) assure que f n se rapproche de p . Cela permet une introduction frquentiste de la notion de probabilit.</p><p>Simuler au tableur : Fonctionsalea() : renvoie un nombre dcimal entre 0 et 1si(condition;valeur si remplie;valeur si pas remplie) : renvoie une valeur suivant qu'une condition est remplie ou nonnb.si(plage;valeur cherche) : renvoie le nombre de valeurs trouves dans une plage de cellules.</p><p>Exercices : 1. Quelle loi de probabilit associe-t-on au jeu du Pile ou Face avec une pice de monnaie quilibre ?2. On lance deux ds quilibrs et l'on calcule la somme des points obtenus. Quelles sont les issues possibles ? La loi quirpartie est-elle adapte cette exprience alatoire ?</p><p>2010My Maths Space Page 3/6</p></li><li><p>Chapitre 6 : Probabilits et statistiques Seconde</p><p>3. Calculs de probabilits </p><p> Probabilit d'un vnement : La probabilit d'un vnement est la somme des probabilits des issues qui composent cet vnement. Tout vnement a une probabilit comprise entre 0 et 1. </p><p> La probabilit de l'vnement impossible (qui ne peut pas se produire) est gale 0. La probabilit de l'vnement certain (qui se produit obligatoirement) est gale 1. </p><p> Cas particulier d'une loi quirpartie : La probabilit d'un vnement A est donne </p><p>par : p A=nombre d' issues de Anombre d' issues de</p><p> Intersection et runion d'vnements </p><p>Dfinitions : A et B sont deux vnements.L'intersection de A et de B est l'vnement not AB form des issues composant la fois l'vnement A et l'vnement B .La runion de A et de B est l'vnement not AB form des issues composant l'vnement A ou l'vnement B .</p><p>Exemple : On dispose d'une urne l'intrieur de laquelle il y a 10 boules indiscernables numrotes de 1 10. On tire au hasard une boule.On considre l'vnement A: Le numro de la boule est divisible par 5 et l'vnement B: Le numro de la boule est strictement infrieur 6. Dcrire AB et AB .</p><p>Proprit : Soit p une loi de probabilit sur un univers . Pour tout vnement A et B : pAB pAB=p A pB</p><p>vnements incompatibles : Deux vnements A et B sont incompatibles lorsque AB=impossible et on a p AB= p Ap B car la probabilit de l'vnement impossible est gale 0.</p><p> vnement contraire </p><p>Dfinition : L'vnement contraire d'un vnement A est compos des issues de l'univers qui ne composent pas A./ On le note A .</p><p>Proprit : Pour tout vnement A , pA pA=1</p><p>Exercice : L'chiquier ci-contre est forme de ranges (lignes ou colonnes) repres par un entier de 1 8 ou une lettre de a h.Sur cet chiquier sont placs des pions blancs et des pions noirs.On choisit au hasard une range et on s'intresse aux vnements : A: La range comporte au moins deux pionsB: Il y a au moins un pion noir sur la range .a. Quelle est la probabilit de A, de B, de AB ?b. Quelle est la probabilit de l'vnement AB ?</p><p>c. Dfinir les vnements contraires des vnements A et B. Calculer p A et p B </p><p>2010My Maths Space Page 4/6</p></li><li><p>Chapitre 6 : Probabilits et statistiques Seconde</p><p>B. chantillonnage 1. Fluctuation d'chantillonnage</p><p> chantillon </p><p>Dfinition d'un chantillon : Dans le sens commun des sondages, un chantillon est un sous-ensemble obtenu par </p><p>prlvement alatoire dans une population.Exemple: Un chantillon de 1000 votants une lection sur un grand nombre de votants.</p><p>En statistique, un chantillon de taille n est la liste des n rsultats obtenus par n rptitions indpendantes de la mme exprience.Exemples: 1. Un chantillon de taille 100 du lancer d'une pice est la liste des rsultats pile ou face obtenus successivement en rptant 100 fois le lancer de la pice.2. Un chantillon de taille 200 relatif au lancer d'un d dont on observe l'apparition ou non de la face 6.3. Un chantillon obtenu par tirages successifs avec remise d'une boule dans une urne contenant 2 boules blanches et une boules vertes.</p><p>Quel est le point commun des 3 expriences prcdentes permettant d'obtenir les chantillons ?Mots cls : Succs, chec, Bernoulli, probabilit </p><p> Fluctuation Pour un chantillon ralis, on s'intresse la frquence du succs note f S . </p><p> On a f S=nombrede succstaille chantillon</p><p>Que se passe-t-il pour f S lorsque l'on considre un deuxime chantillon ? Puis un 3me ? Etc ....Comment les frquences se distribuent-elles autour de la probabilit thorique p du modle de Bernoulli tudi ?C'est l'objectif de la fluctuation d'chantillonnage .</p><p>Exemple: On a simul ci-dessous, 1000 chantillons de taille 100 d'un modle de Bernoulli avec p=0,4. Chaque chantillon est reprsent par un point dont l'ordonne est la frquence f S du succs pour cet chantillon.</p><p>2010My Maths Space Page 5/6</p></li><li><p>Chapitre 6 : Probabilits et statistiques Seconde</p><p> Intervalle de fluctuation </p><p>Dans l'exemple prcdent, on constate que la plupart des chantillons ont des frquences de succs dans l'intervalle [0,3;0,5 ] . (seulement quelques chantillons sont en dehors des lignes rouges)Comment trouver cet intervalle ? Combien d'chantillons ont une frquence dans cet intervalle ?</p><p>C'est la recherche de l'intervalle de fluctuation.</p><p>Rsultat important : Les mathmaticiens ont dmontr que pour environ 95% des chantillons de taille n relevant du modle de Bernoulli de probabilit p , la frquence du succs appartient </p><p>l'intervalle [p 1n ; p 1n ] . ( Sous la condition que n25 et 0,2p0,8 )Cet intervalle est appel intervalle de fluctuation au seuil de 95% ou au seuil 0,95.</p><p>Exercice : Dterminer l'intervalle de fluctuation pour des chantillons de taille 100 et une probabilit p=0,4</p><p>2. Applications de la fluctuation d'chantillonnage.</p><p> Prise de dcision partir d'un chantillon </p><p>Exemple : Deux entreprises A et B recrutent dans un bassin d'emploi o il y a autant de femmes que d'hommes, avec la contrainte du respect de la parit. Dans l'entreprise A , il y a 100 employs dont 43 femmes; dans l'entreprise B , il y a 2500 employs dont 1150 femmes. Quelle entreprise respecte le mieux la parit.</p><p>Remarque : Dans cet exemple, la proportion p du succs est connue.</p><p> Estimation d'une proportion inconnue </p><p>On se place dans la situation suivante qui sert de rfrence : Une urne contient plusieurs centaines de petites billes de couleur blanche ou verte dans une proportion p inconnue de billes vertes. On cherche estimer p partir d'un chantillon de taille n .</p><p>Autre situation comparable la prcdente :</p><p>Retour sur les billes : On fabrique un chantillon de taille n (on tire une bille et on la remet dans l'urne) et on calcule la frquence f S de billes vertes dans cet chantillon . On dispose d'un chantillon parmi tous ceux que l'on pourrait obtenir et d'aprs le rsultats prcdent, on sait que </p><p>95% des frquences observes sont dans [p 1n ; p 1n ] donc p 1n f Sp 1net p 1n</p><p>f sp1n </p><p>f S 1n</p><p>p f S1n ce qui permet de dire que 95% des intervalles </p><p>f S 1n</p><p>pf S1n contiennent la proportion p . Voir exemple.</p><p>2010My Maths Space Page 6/6</p></li></ul>