ADICIONE FORMULE - nbsp;· 1 ADICIONE FORMULE Zbir uglova sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin 1 1 tg tg tg tg tg ctg ctg ctg ctg ctg α βαβαβ α βαβαβ αβ αβ

  • Published on
    01-Feb-2018

  • View
    241

  • Download
    5

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p> 1</p><p>ADICIONE FORMULE Zbir uglova </p><p>sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin</p><p>( )1</p><p>1( )</p><p>tg tgtgtg tg</p><p>ctg ctgctgctg ctg</p><p>+ = ++ = </p><p>++ =</p><p>+ =+</p><p> Razlika uglova </p><p>ctgctgctgctgctg</p><p>tgtgtgtgtg</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+==</p><p>1)(</p><p>1)(</p><p>sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(</p><p> Primeujete da su formule za razliku uglova iste kao i za zbir uglova samo su promenjeni znaci!!! Naravno, uenicima je uvek problem da zapamte formule a bezobrazni profesori im ne daju da ih koriste iz knjige. Na je savet da probate da sebi stvorite asocijaciju koja e vam pomoi da zapamtite odredjenu formulu. Autor ovoga teksta vam nudi svoju asocijaciju: Zapamtite dve male pesmice koje odgovaraju na dve poetne formule: </p><p> sincoscossin)sin( +=+ ( ) sinsincoscoscos =+ sin - ko vie ko-si kosi-kosi manje sine-sine Uvek prvo piite ugao pa Za )( +tg znamo da je: </p><p>sinsincoscossincoscossin</p><p>)cos()sin()(</p><p>++</p><p>=++</p><p>=+tg (sad gde vidite sinus zamenite </p><p>ga sa tangens a kosinus sa jedinicom) </p><p>tgtgtgtg</p><p>tgtgtgtg</p><p>+</p><p>=</p><p>+=</p><p>11111 </p><p>www.matematiranje.com </p></li><li><p> 2</p><p>Za cos( ) cos cos sin sin( )sin( ) sin cos cos sin</p><p>ctg + </p><p>+ = = =+ +</p><p> (zamenite sinus sa 1, a kosinus </p><p>sa kotanges) </p><p>tgctgctgctg</p><p>ctgctgctgctg</p><p>+</p><p>=+</p><p>=1</p><p>1111 </p><p> Znai zapamtili smo sinko vie kosi i kosi kosi manje sine sine i izveli smo formule za zbir uglova. Za razliku uglova samo promenimo znake!!! 1) Nai bez upotrebe raunskih pomagala vrednost trigonometrijskih funkcija uglova od a)15, 75, i b) 105 stepeni a) </p><p> = racionaliemo sa 3 33 3</p><p> = ( ) ( ) 326</p><p>3266</p><p>361239</p><p>3369</p><p>33</p><p>3322</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>+=</p><p>Naravno otg15 smo mogli izraunati i lake oo</p><p>otg15cos15sin15 = </p><p>323432</p><p>3232</p><p>321</p><p>15115 +=</p><p>+</p><p>=++</p><p>== oo</p><p>tgctg </p><p> www.matematiranje.com </p><p>sin15 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30</p><p>2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4</p><p>cos15 cos(45 30 )cos 45 cos30 sin 45 sin 30</p><p>2 3 2 1 2( 3 1)2 2 2 2 4</p><p>45 3015 (45 30 )1 45 30</p><p>3 331 3331</p><p>3</p><p>o o o</p><p>o o o o</p><p>o o o</p><p>o o o o</p><p>o oo o o</p><p>o o</p><p>tg tgtg tgtg tg</p><p>= </p><p>= </p><p>= =</p><p>= </p><p>= +</p><p>+= + =</p><p>= =</p><p>+</p><p>= =+</p><p>3 33+</p><p>3 33 3</p><p>=+</p></li><li><p> 3</p><p>( )</p><p>( )</p><p>sin 75 sin(45 30 )sin 45 cos30 cos 45 sin 30</p><p>2 3 2 12 2 2 22 3 1</p><p>4cos 75 cos(45 30 )</p><p>cos 45 cos30 sin 45 sin 30</p><p>2 3 2 12 2 2 22 3 1</p><p>4</p><p>o o o</p><p>o o o o</p><p>o o o</p><p>o o o o</p><p>= +</p><p>= +</p><p>= + </p><p>+=</p><p>= +</p><p>= </p><p>= </p><p>=</p><p> ( )( ) =</p><p>+=</p><p>+</p><p>==1313</p><p>4132</p><p>4132</p><p>75cos75sin75 o</p><p>ootg (moramo opet racionalizaciju) </p><p>( )</p><p>323232</p><p>321</p><p>75175</p><p>322</p><p>3222</p><p>32413</p><p>13231313</p><p>1313</p><p>=</p><p>+</p><p>==</p><p>+=+</p><p>=+</p><p>=</p><p>++=</p><p>++</p><p>+</p><p>=</p><p>oo</p><p>tgctg</p><p>b) =</p><p> +=+= oooo 15</p><p>2sin)1590sin(105sin (imamo formulu) == o15cos </p><p>(a ovo smo ve nali) 4</p><p>)13(2 += </p><p>Naravno, isto bismo dobili i preko formule ( )ooo 4560sin105sin += </p><p>2( 3 1)cos105 cos 15 sin152 4</p><p>105 15 15 ( 2 3)2</p><p>105 15 15 ( 2 3)2</p><p>o o o</p><p>o o o</p><p>o o o</p><p>tg tg ctg</p><p>ctg ctg tg</p><p> = + = = </p><p> = + = = + = + = = </p><p> opet ponavljamo da moe I ideja da je 0105 (60 45 )o otg tg= + itd. </p><p>www.matematiranje.com </p></li><li><p> 4</p><p>2)a) Proveri jednakost 2110sin20cos10cos20sin =+ oooo </p><p> =+ oooo 10sin20cos10cos20sin (ovo je: )sin(sincoscossin +=+ ) </p><p> 2130sin)1020sin( ==+= ooo </p><p>b) 2317sin47sin17cos47cos =+ oooo </p><p> =+ oooo 17sin47sin17cos47cos (ovo je: )cos(sinsincoscos =+ ) </p><p> 2330cos)1747cos( === ooo </p><p>3) Izraunati )sin( + , ako je 135cos,</p><p>53sin =+= i </p><p>23,,,</p><p>2 </p><p> sin( ) sin cos cos sin + = + Znai fale nam cos i sin . Njih emo nai iz osnovne indentinosti: </p><p>1312sin</p><p>169144sin</p><p>169144sin</p><p>16925169sin</p><p>1351sin</p><p>cos1sin1cossin</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>22</p><p>22</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=+</p><p> ovde su sinusi negativni Dakle: Dal da uzmemo + ili to nam govori lokacija ugla </p><p>Ovde su kosinusi negativni! Znai da je 4cos5</p><p> = </p><p>54cos</p><p>2516cos</p><p>2516cos</p><p>25925cos</p><p>2591cos</p><p>531cos</p><p>sin1cos1cossin</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>22</p><p>22</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=+</p><p> ,</p><p>2</p><p>12sin13</p><p> = </p></li><li><p> 5</p><p> Vratimo se da izraunamo ( ) +sin </p><p> ( )6533</p><p>6548</p><p>6515</p><p>1312</p><p>54</p><p>135</p><p>53sin =+=</p><p>+</p><p>=+ </p><p>4) Izraunati </p><p> +</p><p>4tg za koje je </p><p>1312sin = i </p><p> ,</p><p>2 </p><p>tgtg</p><p>tgtg</p><p>tgtgtg</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p> +</p><p>11</p><p>41</p><p>44</p><p>Poto je </p><p>cossin</p><p>=tg , znai moramo nai cos </p><p> Vratimo se u zadatak: </p><p>Da li uzeti + ili ? </p><p> ,</p><p>2 </p><p> Ovde su kosinusi negativni!!! Dakle </p><p>www.matematiranje.com </p><p>135cos</p><p>16925cos</p><p>16925cos</p><p>169144169cos</p><p>1691441cos</p><p>1cos1312</p><p>1cossin</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>22</p><p>22</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=+</p><p>=+</p><p>5cos13</p><p> = </p><p>512135</p><p>1312</p><p>=</p><p>=</p><p>tg</p><p>tg</p><p>1215</p><p>124 15</p><p>775</p><p>174 175</p><p>tg</p><p>tg</p><p> + = +</p><p> + = = </p></li><li><p> 6</p><p>5) Ako su i otri uglovi i ako je 21</p><p>=tg i 31</p><p>=tg pokazati da je 4 + = </p><p> Ispitajmo koliko je ?)( =+ tg </p><p> 1</p><p>6565</p><p>31</p><p>211</p><p>31</p><p>21</p><p>1)( ==</p><p>+=</p><p>+</p><p>=+</p><p>tgtgtgtgtg </p><p> Znai: 1)( =+ tg , ovo je mogue u 2 situacije: o45=+ ili o225=+ poto su i otri uglovi, zakljuujemo: </p><p> o45=+ tj. 4 =+ </p><p> 6) Dokazati da je ,)()32( 2 tgyyxtgytg =+ ako je 032 = tgytgx =+ )()32( 2 yxtgytg </p><p> =+</p><p>+tgxtgy</p><p>tgytgxytg1</p><p>)32( 2 (poto je 032 = tgytgx zakljuujemo 2</p><p>3tgytgx = ) </p><p>2</p><p>22</p><p>2</p><p>32(2 3 ) 31</p><p>23 2</p><p>2(2 3 )2 3</p><p>2</p><p>(2 3 )</p><p>tgy tgytg y tgy tgy</p><p>tgy tg</p><p>tg ytg y</p><p>tg y</p><p>+ =</p><p>+ </p><p>+ =+</p><p>+2</p><p>3 22 3tgy tgy</p><p>tg y</p><p>+</p><p>tgy=</p><p>Ovim je dokaz zavren. 7) Dokazati identitet: sin( )cos( ) 1</p><p>tg tgtg tg</p><p> + +</p><p>= +</p><p> sin( ) sin cos cos sincos( ) cos cos sin sin</p><p> + +</p><p>= = +</p><p>(sada emo izvui: coscos i gore i </p><p>dole) www.matematiranje.com </p></li><li><p> 7</p><p> cos cos </p><p>=</p><p>sin sincos cos</p><p>cos cos</p><p> + </p><p> 1sin sin1</p><p>cos cos</p><p>tg tgtg tg </p><p>+=</p><p>+ + </p><p>8) Ako je 2</p><p>1,1212</p><p>=+</p><p>= tgtg i , 0, ,2 </p><p> dokazati da je </p><p>4 = </p><p> Sredimo prvo izraze tg i tg </p><p>1212</p><p>+</p><p>=tg (izvrimo racionalizaciju) </p><p>( )22 2</p><p>2 12 1 2 1 2 2 2 12 12 1 2 1 2 1</p><p>3 2 2</p><p>tg</p><p>tg</p><p>++ + + += = =</p><p> + </p><p>= +</p><p> 1 1 2 2</p><p>22 2 22</p><p>2</p><p>tg</p><p>tg</p><p>= = =</p><p>=</p><p>( )</p><p>23 2 22( ) 2 je zajedniki i gore i dole=</p><p>1 21 3 2 22</p><p>6 4 2 2 6 3 22 2 1</p><p>2 3 2 4 6 3 22 2 2 2</p><p>tg tgtgtg tg </p><p>+ = = =</p><p>+ + +</p><p>+ +</p><p>= = =+</p><p>+ +</p><p> Dakle 1)( = tg , to nam govori da je o45= ili o225= . Poto u zadatku </p><p>kae da je </p><p>2,0, zakljuujemo o45= tj. </p><p>4 = to je i trebalo </p><p>dokazati! </p><p>www.matematiranje.com </p></li></ul>