ANALIZA DRGAŃ HARMONICZNYCH STRUNY - asia/Instrukcje_Lab_C/2 Struna C.pdf · ANALIZA DRGAŃ HARMONICZNYCH…

  • Published on
    28-Feb-2019

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

<p>ANALIZA DRGA HARMONICZNYCH STRUNY </p> <p>PYTANIA KONTROLNE </p> <p>1. Rwnanie fali paskiej 2. Fala stojca, strzaki i wzy fali stojcej 3. Czstotliwo podstawowa drga struny 4. Zwizek midzy czstotliwoci drga struny a jej dugoci 5. Zjawisko dyspersji fali = (k) </p> <p> UKAD POMIAROWY </p> <p>W celu wzbudzenia struny do drga wykorzystano generator dwiku komputera. W miejsce gonika podczony zosta wzmacniacz sterujcy elektromagnesem, ktry przetwarza sygna elektryczny na si mechaniczn dziaajc na strun. Drgania struny obserwuje si na oscyloskopie dziki przetwornikowi piezoelektrycznemu. Aby na ekranie zaobserwowa drgania struny (sinusoid) naley odpowiednio dobra skale na obu osiach: poziomej (czas) i pionowej (napicie). </p> <p>POMIARY </p> <p>I. ZALENO CZSTOTLIWOCI DRGA STRUNY OD LICZBY FALOWEJ, DYSPERSJA 1. Ustawi elektromagnes na rodku struny. 2. Znale czstotliwo podstawow drga zwikszajc powoli czstotliwo </p> <p>i jednoczenie obserwowa strun oraz ekran oscyloskopu. Przyciskajc na klawiaturze komputera strzaki w gr lub w d mona odpowiednio zwiksza lub </p> <p>zmniejsza czstotliwo drga generatora o 1 kHz. Klawisze Page Up i Page Down su do zmiany </p> <p>czstotliwoci o warto rwn 10 kHz. Po wczeniu programu jest wysyany sygna o czstotliwoci </p> <p>20 kHz. Strzakami w prawo i lewo mona zwiksza lub zmniejsza liczb dugoci fal mieszczcych si </p> <p>na strunie i uywa ich naley jedynie w przypadku popenionej pomyki np. przeoczenia jakiej </p> <p>harmonicznej. </p> <p>Po otrzymaniu najwikszej amplitudy drga naley przycisn klawisz Enter i w ten sposb zarejestrowana zostanie wybrana czstotliwo. </p> <p>3. Odszuka kolejne harmoniczne drga struny. Pomoc do tego suy wykrelona na ekranie prosta wskazujca gdzie w przyblieniu mona </p> <p>spodziewa si rezonansu. Elektromagnes naley zawsze ustawia w okolicy strzaki fali. Na przykad </p> <p>dla drugiej harmonicznej bdzie to w odlegoci 1/3 lub 2/3 od jednego z jej kocw. Przy wyszych </p> <p>harmonicznych elektromagnes ustawiamy metod prb. </p> <p>4. Znale moliwie jak najwicej harmonicznych (nie gubic po drodze adnej z nich). </p> <p>N N, kHz </p> <p>1 </p> <p>2 </p> <p>3 </p> <p>4 </p> <p>II. WYZNACZANIE PRDKOCI DWIKU W STRUNIE. 1. Ustawi dugo struny na 85 cm. 2. Znale czstotliwo podstawow drga struny. 3. Zmieniajc dugo struny do 60 cm co 2 cm zmierzy zaleno czstotliwoci </p> <p>podstawowej struny od dugoci struny. </p> <p>OPRACOWANIE WYNIKW POMIARW </p> <p>I. ZALENO CZSTOTLIWOCI DRGA STRUNY OD LICZBY FALOWEJ, DYSPERSJA 1. Dla kadego numeru harmonicznej drga struny obliczy odpowiedni liczb falow </p> <p>fali w strunie. 2. Przedstawi na wykresie zaleno rejestrowanych czstotliwoci harmonicznych N </p> <p>od liczby falowej kN. Na tym samym wykresie zaznaczy przebieg funkcji </p> <p>1NN k =' ktra zakada liniow zaleno midzy czstotliwoci N wyszych harmonicznych a czstotliwoci podstawow 1. </p> <p>2. Odchylenie otrzymanej dowiadczalnie zalenoci N = f(kN) od prostej, opisanej wzorem z punktu 1, dowodzi istnienia zjawiska zwanego dyspersj fal poprzecznych w strunie. </p> <p>3. Dla kadej harmonicznej obliczy prdko fali. 4. Sporzdzi wykres zalenoci prdkoci fali od czstotliwoci i skomentowa. </p> <p> III. WYZNACZANIE PRDKOCI DWIKU W STRUNIE. </p> <p>1. Sporzdzi wykres zalenoci czstotliwoci pierwszej harmonicznej drga struny od odwrotnoci dugoci struny (wyraonej w m-1) </p> <p>=L</p> <p>1f1 . </p> <p>2. Stosujc regresj liniow wyznaczy wspczynniki otrzymanej prostej. 3. Wyznaczy prdko fali w strunie, wraz z niepewnoci (zaleno 16). 4. Zapisa wynik w stosownym formacie. </p> <p>UWAGA! </p> <p>Poniej zamieszczono pewne informacje dotyczce wasnoci fal stojcych, ktrych rdem jest wzbudzona do drga struna o dugoci L zamocowana na obu kocach. </p> <p>Czstotliwo podstawowa struny (najnisza czstotliwo z jak moe drga struna) wynosi: </p> <p>,</p> <p>v</p> <p>1</p> <p>1 = (1) </p> <p>gdzie v jest prdkoci rozchodzenia si fali, 1 oznacza dugo fali (dugo ta jest dwa razy wiksza od dugoci L struny 1 = 2L). </p> <p>Zaleno midzy czstotliwoci N wyszych harmonicznych a czstotliwoci podstawow 1 </p> <p>1N N =' (2) Klasyczne rwnanie falowe w jednym wymiarze ma posta: </p> <p>0,t</p> <p>x</p> <p>v</p> <p>1</p> <p>y</p> <p>x2</p> <p>2</p> <p>22</p> <p>2</p> <p>=</p> <p> (3) </p> <p>gdzie x = f(y,t) jest wychyleniem w kierunku poprzecznym do struny punktu odlegego o y od jednego z jej kocw w chwili t, v oznacza prdko fal poprzecznych w strunie. Podstawmy do rwnania (3) rozwizanie w postaci funkcji o rozdzielonych zmiennych: x(y,t)=A(y)B(t) (4) sprowadzajc rwnanie (3) do nastpujcej postaci: </p> <p>0.t</p> <p>B(t)</p> <p>v</p> <p>A(y)</p> <p>dy</p> <p>A(y)dB(t)</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>22</p> <p>2</p> <p>=</p> <p> (5) </p> <p>Dzielc rwnanie (5) przez x(y,t) a nastpnie mnoc przez v2 otrzymujemy: </p> <p>.t</p> <p>B(t)</p> <p>B(t)</p> <p>1</p> <p>dy</p> <p>A(y)d</p> <p>A(y)</p> <p>v2</p> <p>2</p> <p>2</p> <p>22</p> <p>= (6) </p> <p>Kada strona rwnania (6) jest funkcj innej zmiennej. Rwno obu stron rwnania moe zachodzi tylko wwczas, gdy obie strony s rwne pewnej staej. Oznaczmy t sta przez C i zapiszmy: </p> <p>A(y),v</p> <p>C</p> <p>dy</p> <p>A(y)d22</p> <p>2</p> <p>= (7a) </p> <p>CB(t).t</p> <p>B(t)2</p> <p>2</p> <p>=</p> <p> (7b) </p> <p>Jeli staa C bdzie posiadaa warto ujemn, to oba rwnania (7a) i (7b) opisuj oscylator harmoniczny. Rozwizania tych rwna maj nastpujc posta: </p> <p>+</p> <p>= y</p> <p>v</p> <p>cosay</p> <p>v</p> <p>sinaA(y) 21 (8a) </p> <p>oraz )bcos(cB(t) += , gdzie 2 = - C, przy czym C &lt; 0. (8b) Podstawiajc (8a) i (8b) do rwnania (4) otrzymujemy ostatecznie rozwizanie rwnania falowego, ktre opisuje fal stojc: </p> <p>( ) ),tcos(cos(ky)Asin(ky)At)x(y, 21 ++= (9) gdzie k = /v = 2/ (liczba falowa), A1 = a1b oraz A2 = a2b. Dla fali powstajcej na odcinku struny o dugoci L zamocowanej na obu kocach naley uwzgldni, e dla y = 0 i y = L: </p> <p>x(0,t)=x(L,t)=0 (10) i std na podstawie rwnania (9) mamy: </p> <p>0,)tcos(At)x(0, 2 =+= (11a) ( ) ),tcos(cos(kL)Asin(kL)At)x(L, 21 ++= (11b) </p> <p>Z ostatnich dwch rwna wynika, e: A2=0 i sin(kL)=0 (12) </p> <p>czyli liczba falowa k przyjmuje nastpujce dozwolone wartoci </p> <p>,L</p> <p>NkN = (13) </p> <p>gdzie N jest liczb naturaln. Dla dozwolonych wartoci dugoci fali mamy: </p> <p>,N</p> <p>2LN = (14) </p> <p>Poniewa N = vkN, std otrzymujemy dozwolone wartoci czstoci ktowej drga: </p> <p>,L</p> <p>vNN = (15) </p> <p>lub czstotliwoci drga </p> <p>,2L</p> <p>vNN = (16) </p> <p>Rwnanie (9), ktre opisuje fale stojce wzbudzone na odcinku struny o dugoci L, po uwzgldnieniu zalenoci (12), (13) i (15) przyjmuje posta: </p> <p>,tL</p> <p>yNcos</p> <p>L</p> <p>yNsinAt)(y,x 1N </p> <p> +</p> <p>= (17) </p> <p>Warto amplitudy A1 oraz fazy pocztkowej okrelaj warunki pocztkowe. Wyraenie </p> <p>NN vk= (18) okrelane jest jako tzw. zwizek dyspersyjny (patrz wzr (16)). Sporzdzajc wykres zalenoci czstoci ktowej n od liczby falowej kn (wzr (3)) moemy stwierdzi, e prdko fazowa zaley od dugoci lub te wykaemy brak takiej zalenoci. Jeli wykres funkcji n = f(kn) nie bdzie lini prost, to wwczas zaleca si wykonanie kolejnych wykresw, ktre przedstawia bd nastpujce zalenoci: </p> <p>)f(kv N= (19) oraz </p> <p>)f(kdk</p> <p>dNN</p> <p>N</p> <p>= . (20) </p>

Recommended

View more >