Analiza matematyczna

  • Published on
    10-Jan-2016

  • View
    41

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Analiza matematyczna. III. Funkcje. WYKAD 8. Badanie funkcji. Krzysztof KucabRzeszw, 2012. Plan wykadu. ekstrema funkcji, twierdzenie Fermata o istnieniu ekstremum, funkcje wypuke i wklse, punkty przegicia wykresu funkcji, badanie przebiegu zmiennoci funkcji. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript

  • Analiza matematycznaWYKAD 8Badanie funkcjiIII. FunkcjeKrzysztof KucabRzeszw, 2012

  • Plan wykadu

    ekstrema funkcji,twierdzenie Fermata o istnieniu ekstremum,funkcje wypuke i wklse,punkty przegicia wykresu funkcji,badanie przebiegu zmiennoci funkcji.

  • Ekstrema funkcji

    Funkcja f ma w punkcie minimum lokalne, gdy:

    Funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne, gdy:

  • Ekstrema funkcji

    Funkcja f ma w punkcie minimum lokalne waciwe, gdy:

    Funkcja f ma w punkcie maksimum lokalne waciwe, gdy:

  • Ekstrema funkcji

    rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.

  • Ekstrema funkcji

    Minima i maksima lokalne funkcji nazywamy ekstremami lokalnymi funkcji.

  • Ekstrema funkcjiTwierdzenie Fermata

    Warunek konieczny istnienia ekstremum

    Jeeli funkcja f ma:- ekstremum lokalne w punkcie x0,- pochodn f(x0),to:

    UWAGA:Implikacja odwrotna jest faszywa

  • Ekstrema funkcji

    Funkcja moe mie ekstrema lokalne tylko w punktach, w ktrych jej pochodna rwna si zero albo w punktach, w ktrych jej pochodna nie istnieje.

  • Ekstrema funkcjiI warunek wystarczajcy istnienia ekstremum

    Jeeli funkcja f spenia warunki:-

    -

    to w punkcie x0 ma maksimum lokalne waciwe.

    Twierdzenie o minimum lokalnym jest analogiczne.

  • Ekstrema funkcjiII warunek wystarczajcy istnienia ekstremum

    Jeeli funkcja f spenia warunki:-

    -

    - n jest liczb parzyst, gdzie

    to w punkcie x0 ma maksimum lokalne waciwe.

    Twierdzenie o minimum lokalnym jest analogiczne.

  • Ekstrema funkcji

    Jeeli funkcja f spenia warunki:-

    -

    - n jest liczb nieparzyst,

    to w punkcie x0 nie ma ekstremum lokalnego.

  • Ekstrema funkcjiWarto najmniejsza i najwiksza funkcji na zbiorze

    Liczba jest wartoci najmniejsz funkcji f na zbiorze , jeeli:

    Liczba jest wartoci najwiksz funkcji f na zbiorze , jeeli:

  • Ekstrema funkcji

    rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.

  • Funkcje wypuke i wklseFunkcja f jest wypuka na przedziale (a,b), gdzie jeeli:

    Funkcja f jest cile wypuka na przedziale (a,b), gdzie jeeli:

  • Funkcje wypuke i wklse

    rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.

  • Funkcje wypuke i wklseFunkcja f jest wklsa na przedziale (a,b), gdzie jeeli:

    Funkcja f jest cile wklsa na przedziale (a,b), gdzie jeeli:

  • Funkcje wypuke i wklse

    rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.

  • Funkcje wypuke i wklseWarunek wystarczajcy wypukoci

    Jeeli dla kadego , to funkcja f jest cile wypuka na (a,b).

    Jeeli dla kadego , to funkcja f jest cile wklsa na (a,b).

  • Punkty przegicia wykresu funkcji

    Niech funkcja f bdzie okrelona przynajmniej na otoczeniu punktu x0. Ponadto niech funkcja f ma tam pochodn (waciw lub niewaciw).Punkt (x0,f(x0)) jest punktem przegicia wykresu funkcji f w.t.w., gdy istnieje liczba d >0 taka, e funkcja f jest cile wypuka na oraz cile wklsa na albo jest odwrotnie.

  • Punkty przegicia wykresu funkcji

    rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.

  • Punkty przegicia wykresu funkcji

    Warunek konieczny istnienia punktu przegicia

    Jeeli funkcja f spenia warunki:- (x0,f(x0)) jest punktem przegicia,- istnieje f(x0),to:

    UWAGA:Implikacja odwrotna jest faszywa

  • Punkty przegicia wykresu funkcji

    Funkcja moe mie punkty przegicia tylko w punktach, w ktrych jej druga pochodna rwna si zero albo w punktach, w ktrych ta pochodna nie istnieje.

  • Punkty przegicia wykresu funkcjiI warunek wystarczajcy istnienia punktu przegicia

    Jeeli funkcja f spenia warunki:- w punkcie x0 ma pochodn waciw lub niew.,

    -

    to (x0,f(x0)) jest punktem przegicia jej wykresu.

    Twierdzenie jest te prawdziwe, gdy nierwnoci dla drugiej pochodnej s odwrotne w ssiedztwach jednostronnych punktu x0.

  • Punkty przegicia wykresu funkcjiII warunek wystarczajcy istnienia punktu przegicia

    Jeeli funkcja f spenia warunki:-

    -

    - n jest liczb nieparzyst,

    to (x0,f(x0)) jest punktem przegicia jej wykresu.

  • Punkty przegicia wykresu funkcji

    Jeeli funkcja f spenia warunki:-

    -

    - n jest liczb parzyst,

    to (x0,f(x0)) nie jest punktem przegicia jej wykresu.

  • rdo: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocaw 2004.

  • Badanie funkcji

    1. Ustalenie dziedziny funkcji.2. Wskazanie podstawowych wasnoci funkcji (parzysto, okresowo, miejsca zerowe, cigo).3. Obliczenie granic lub wartoci funkcji na kracach dziedziny.4. Znalezienie asymptot pionowych i ukonych.

  • Badanie funkcji5. Zbadanie pierwszej pochodnej funkcji:a) wyznaczenie dziedziny pochodnej;b) wyznaczenie punktw, w ktrych funkcja moe mie ekstrema;c) ustalenie przedziaw monotonicznoci funkcji;d) ustalenie ekstremw funkcji;e) obliczenie granic lub wartoci pochodnej na kracach jej dziedziny.

  • Badanie funkcji6. Zbadanie drugiej pochodnej funkcji:a) wyznaczenie dziedziny drugiej pochodnej;b) wyznaczenie punktw, w ktrych funkcja moe mie punkty przegicia;c) ustalenie przedziaw wklsoci i wypukoci;d) wyznaczenie punktw przegicia wykresu funkcji;e) obliczenie pierwszej pochodnej w punktach przegicia.

  • Badanie funkcji

    7. Sporzdzenie tabelki.8. Sporzdzenie wykresu funkcji.

Recommended

View more >