apontamento_edo( 54 - )

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    12-Jul-2015

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<p>UniversidadeFederal DoReconcavodaBahia-UFRBCentrodeCienciasExataseTecnologicas-CETECNotasdaTeoriadeEquacoesDiferenciaisAdsonMotaRochaMarcode2009Conte udo1 ConceitosIniciais 51.1 Equa coesDiferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Classica cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 QuantoaClasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Quantoaordemeograu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 QuantoaLinearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Solu coesdeumaEqua caoDiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Problemasdevalorinicial. Problemasdevaloresdecontorno. . . . . . . . . . . 82 EquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdem 102.1 AsFormasNormaleDiferencialdePrimeiraOrdem. . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Equa coesSeparaveisdePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Equa caoDiferencialLineardePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 ConstantedeIntegra caoeaCondi caoInicial . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 1aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Aplica coesdeEqua coesDiferenciaisdePrimeiraOrdem. . . . . . . . . . . . . . 222.5.1 ModelagemMatematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.2 DecaimentodeMateriaisRadioativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.3 LeideResfriamentodeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5.4 Misturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 2aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.7 Equa coesExatasdePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7.1 Metodo de Resolu cao para Equa coes Diferenciais Exatas de Primeira Ordem3322.7.2 FatoresIntegrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 Equa coesHomogeneasdePrimeiraOrdem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.8.1 Equa coesHomogeneasdePrimeiraOrdem. . . . . . . . . . . . . . . . . 372.9 Equa coesdeBernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9.1 MetododeResolu cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.10 3aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.11 MaisAplica coes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.11.1 QuedadeumCorponumMeiocomAtrito . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.11.2 VelocidadedeEscape. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.12 Introdu caoaoEstudoQualitativodeEqua coesDiferenciais . . . . . . . . . . . . 452.12.1 Equa coesLogstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.13 4aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 EquacoesDiferenciaisLinearesdeSegundaOrdem 543.1 TeoriaGeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.2 MetodosdeResolu caoparaEqua coesHomogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.1 Redu caodeOrdem-MetododedAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2.2 Equa caoLineardeSegundaOrdemcomCoecienteConstantes . . . . . 593.3 OProblemadaNaoHomogenealidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4 MetodosdeResolu caodeEqua coesNao-Homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.1 Varia caodeParametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.2 MetodosdoCoecientesaDeterminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5 5aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.6 Aplica coesdeEqua coesDiferenciaisOrdinarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6.1 Oscila coes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6.2 Oscila coesLivres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.6.3 Oscila coesFor cadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.6.4 CircuitosEletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.7 6aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8034 SistemasdeEquacoesDiferenciaisLinearesdePrimeiraOrdem 824.1 Equa coesDiferenciaisdeOrdemn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 SistemadeEqua coesDiferenciaisLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3 MatrizFundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.4 SistemasLinearesHomogeneoscomCoecientesConstantes . . . . . . . . . . . 884.5 7aListadeExerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Bibliograa 90Bibliograa 914Captulo1ConceitosIniciais1.1 EquacoesDiferenciaisDenicao 1.1.1Umaequacaodiferenciavel eumaequacaodaformaF(x, y, y, y, , y(n)) = 0 (1.1)ondexeumavariavelindependenteey= y(x)umafuncaoincognitanavariavelx.Pode acontecer da fun cao incognita y depender de duas variaveis, possuindo derivadasparciais.Exemplo1.1.1.1. y = y2+ x2. uxx + uyy= 2u u23.d2ydx2+ 3dydx+ 2y = cos x4. xy + y= 35.2zxy+2zx2= x2+ y1.2 Classicacao1.2.1 QuantoaClasseAmdefazerumestudomaisdetalhadodaequa coesdiferenciais, lheclassicamosemduasclasses:51. equacoes diferenciais ordinarias EDO: se afun caoincognitadepende apenas de umavariavelindependente,comoem1,3e4;2. equacoes diferenciais parciais EDP: se a fun cao incognita depende de mais de uma variavelindependente,comoem2e5.Nestecurso,ocupar-nos-emosunicamentedeequa coesdiferenciaisordinarias.1.2.2 QuantoaordemeograuDenicao 1.2.1Aordemdeumaequacaodiferencial eaordemdamaisaltaderivadaquenelacomparece.Denicao 1.2.2Ograu deumaequacao diferencial, quepode ser escritacomo umpolinomionafuncaoincognitaesuasderivadas,eapotenciaaqueseachaelevadaaderivadadeordemmaisalta.Exemplo1.2.1.1. y5xy = ex+ 1temordem3egrau1;2. t y + t2 y (sent)y= t2t + 1temordem2egrau1;3. 5(d4bdp4)5+ 7(dbdp)10+ b7b5= ptemordem4egrau5;4. (y)3/2+ y= xtemordem2egrau3/2;5.2zxy+2zx2= x2+ ytemordem2egrau1.1.2.3 QuantoaLinearidadeDenicao 1.2.3Umaequacaodiferencial ordinariaouparcial sedizlinearseelinearnasincognitasy, dydx, d2ydx2, etc. Assim, emgeral,umaequacaodiferencial ordinaria linear deordemntemaforman(x)dnydxn+ n1(x)dn1ydxn1+ + 1(x)dydx+ 0(x)y= g(x).Onde as fun coes j(x) (j= 0, 1, 2, , n) e g(x) sao fun coes conhecidas e dependem apenas davariavel x. Asequa coesdiferenciaisquenaosaolinearessaoditasnaolineares. Emvirtudedasinforma coesdase caoanterior, epossveldenirooperadordiferenciallinearL = n(x)Dn+ n1(x)Dn1+ + 1(x)D + 0(x)Ieassimaequa caodiferencialordinarialinearteraaformasimplicadaL(y) = b(x).6Exemplo1.2.2.1. x2ux+ z2uy2= ezxyelinearconsiderandou = u(x, y, z)2.d3ydx3+ x2dydx+ y2= 1,nestecasoy= y(x)masnao elinearporcausadotermoy2.1.3 SolucoesdeumaEquacaoDiferencialDenicao 1.3.1Umasolucaodeumaequacaodiferencial(ordinaria)F(x, y, y, y, , y(n)) = 0sobreumintervalo[a, b]eumafuncaoy= tal que, , , (n)existaparatodox [a, b]esatisfacaaequacaodiferencialF(x, , , , , (n)) = 0paratodox [a, b].Exemplo1.3.1. Umasolu caodedydx= ysobreoinvervaloaberto(, +) eafun cao = AexA = const.Exemplo1.3.2. Umasolu caoded2ydx2+ 2y= 0e1= Asenx.Masnotemosque2= Bcos xetambemumasolu cao.Exemplo1.3.3. Mostrequey= x2esolu caodaequa caodiferencial14_d2ydx2_2xdydx+ y= 1 x2.Exemplo1.3.4. Mostrequeu(x, y, z) =1_x2+ y2+ z2esolu caodaequa caodiferencial2ux2+2uy2+2uz2= 0.71.4 Problemasdevalorinicial. ProblemasdevaloresdecontornoDenicao 1.4.1Umproblemadevalorinicial consisteemumaequacaodiferencial, junta-mentecomcondicoessubsidiariasrelativasayesuaderivadas. Ascondicoessubdisiariassaocondicoesiniciaisseascondicoessubsidiariassereferemamaisdeumvalordavariavel x,oproblemaeumaproblemadevaloresdecontorno.Exemplo1.4.1. Oproblemay + 2y = exy() = 1y() = 2eumproblemadevalorinicial,comcondi coesiniciaisemx = . Oproblemay + 2y = exy(0) = 1y(1) = 1eumproblemadevalores nocontorno, comcondi coes dadas emdiferentes pontos x=0ex = 1.Exemplo1.4.2. Determineumasolu caodoproblemadevalorinicialy + 4y= 0y(0) = 0y(0) = 1sabendoquey(x) = c1sen2x + c2 cos 2x eumasolu caodaequa caodiferencial.E facil vericar que y(x) = c1sen2x+c2 cos 2x e uma solu cao da equa cao diferencial y+4y=0. Daprimeiracondi caodoproblemadevalorinicial,y(0) = 0,temosc1.0 +c2= 0 =c2= 0.Comoy(x) = 2c1 cos 2x 2c2sen2x,pelasegundacondi cao,y(0) = 1,obtemos2c1= 1 =c1=12.Portantoa unicasolu caodoPVI edadapelaequa caoy(x) =12sen2x.Exemplo1.4.3. a) Verique se as fun coes y1(x) = exe y2(x) = e2xsao solu coes da equa caoy + 3y + 2y= 0.8b) Mostre que a combina cao linear de y1 e y2 tambem e solu cao , isto e, que y(x) = c1ex+c2e2xesolu cao.c)Determineumasolu caodoPVIy + 3y + y= 0y(0) = 0y(0) = 1.9Captulo2EquacoesDiferenciaisOrdinariasdePrimeiraOrdemNestecaptulotrataremosdasequa coesdiferenciaisdeprimeiraordem,F(x, y, y) = 0.Consideraremosque epossvelescreveraequa caodiferencialacimadaformay= f(x, y). (2.1)Existemtresquestionamentosbasicosquenosperguntamossobreumaequa caodiferencial.1. OProblemadaExistencia. Existe uma solu cao?Quando podemos dizer uma solu caoexiste?2. OProblemadaUnicidade. Seasolu caoexiste, elae? Existemoutras solu coes?Podemosparametrizartodasassolu coesdeumadaequa caodiferencial?3. OProblemadaSolucao. Comodeterminar(calcular)umasolu caodeumaequa caodiferencial?Aosdoisprimeiros, aquestaodaexistenciaeunicidade, paraasolu caodeumaequa caodiferencial de primeira ordem e respondida pelo seguinte teorema fundamental (conhecido comoTeoremadaexistenciaeunicidadeouTeoremadePicard):Teorema2.0.1Suponhaquef(x, y)efysaofuncoescontnuasnumavizinhancadoponto(x0, y0). Entaoexisteumaesomenteumasolucao(x)doproblemadevalorinicialy = f(x, y)y(x0) = y0(2.2)denidanumavizinhancaaberta(x0h, x0 + h)dopontox0.Observandooteorematemos,101. Se queremos conhecer se existe umasolu caode problemade valor inicial (2.2) bastachecarmos se as fun coes f(x, y) efysao contnuas dentro de alguma vizinhan ca contendooponto(x0, y0).2. Setemosumasolu caodoproblema(2.1)eambasf(x, y)efysaocontnuaspertode(x0, y0),entaotemostodasassolu coes.Quantoaoterceiroquestionamento, aquestaodasolu cao, alertamos que descobrir umasolu caopara umaequa cao diferencial e algo similarao calculode uma integral e nos sabemosqueexistemintegraisquenaopossuemprimitivas,como e ocasodasintegraiselpticas. Dessaforma,nao edeseesperarquetodasasequa coesdiferenciaispossuamsolu coes.Exemplo2.0.4. Sobrequeintervalospodemosesperarsolu cao unicaparadydx=y21 x2Nesteexemplo,temosf(x, y) =y21 x2fy=2y1 x2Estassaoambasfun coescontnuasemIR {1}. OTeoremadaExistenciaeUnicidadedizquepodemosesperaruma unicasolu caodey=y21 x2y(x0) = y0somentequandox0 = 1;isto e,x0 (, 1) (1, +1) (+1, +).Exemplo2.0.5. Consideremososeguinteproblemadevalorinicialnao-linear.y=12(x +_x2+ 4y),y(2) = 1.Veriquemosqueasfun coesy1(x) = 1 x,y2(x) = x2411saoambassolu copesdesteproblemadevalorinicialnaolinear(i)12(x +_x2+ 4y1) =12(x +_x2+ 4(1 x))=12(x +_(x 2)2)=12(x + x 2)= 1= y1(ii)12(x +_x2+ 4y2) =12_x +_x24x24_=12(x)=x2=2x4= y2EsteexemplonaocontradizoTeoremadaExistenciaeUnicidade,vistoquef(x, y) =12(x +_x2+ 4y)naotemaderivadaparcialcontnuafynoponto(x0, y0) = (2, 1),defato,fy(x, y) =1_x2+ 4yquenao edenidaquandox = 2ey = 1.Agora voltemos nossa aten cao para o problema da determinacao e/ou construcaoanalticadassolucoesdeumaequa coesdiferencial,isto e, solu coesquepodemserexpressasemtermosdefun coeselementares.2.1 AsFormasNormaleDiferencial dePrimeiraOrdemUmagrande quantidadede equa coesdiferenciaisordinarias de primeiraordem pode ser escritanasuaformanormal,dadapor:y = f(x, y)ouquandoafun caof =f(x, y)podeser escritacomooquociente deduas outras fun coesM= M(x, y)eN= N(x, y),temos:y = M(x, y)N(x, y).Evantajosomanterosinal negativoantesdafra cao, poisusandoodiferencial dy=y(x)dx,podemosescreverM(x, y)dx + N(x, y)dy = 012enestecasodiremosqueaequa caoestaescritanaformadiferencial.Exemplo2.1.1:1. A equa cao diferencial y = cos(x+y) esta na sua forma normal, mas podemos escrever naforma diferencial cos(x+y)dx+dy = 0, neste caso M(x, y) = cos(x+y) e N(x, y) = 1.2. Aequa caodiferencial y=xyestanasuaformanormal, maspodeserreescritanasuaformadiferencialxdx ydy = 0.2.2 EquacoesSeparaveisdePrimeiraOrdemSuponhaqueaequa caodiferencial deprimeiraordemy=f(x, y), ondeafun caof tenhaaformaf(x, y) = M(x)N(y)Notemos que o numerador Mdepende somente de x e o denominador Nsomente de y e podemosescreveaequa caonaformaM(x) + N(y)y = 0.Nestecaso,dizemosqueaequa caodiferencial eSeparavel.Aformadiferencialdeumaequa caoseparaveledadaporM(x)dx + N(y)dy = 0. (2.3)A determina cao de uma solu cao desta equa cao e bem facil. Observemos que e possvel separar asfun coesde modo que cada membroda igualdade possua umafun cao com apenas uma variavel.Dessemodo,podemosrealizaraintegra caodecadamembroporumprocessosimples.Exemplo2.2.1:Sejay =y2x .Reescrevendoaequa caonaformadiferencial,temosdxxdyy2= 0separandoasvariaveis,temosdxx=dyy2.Integrandooladodireitocomrespeitoaxeoladoesquerdocomrespeitoay,teremosln |x| =_xdxx=_ydyy2= 1y+ Clogoy=1c ln |x|Aequa caoacimarepresentaumasolu caogeraldaequa c aoy =y2x .13Exerccio2.2.1. Determineassolu coesdasseguintesequa coesa)dydx= eyxb)x(2y 3)dx + (x2+ 1)dy = 0 c) xyy = 1.2.3 EquacaoDiferencialLineardePrimeiraOrdemNestase caovamos admitir queafun caof(x, y) dependalinearmente devariavel y. Dessaforma,podemosescrever(2.1)naformay + p(x)y= g(x) (2.4)queconforme classica cao e uma equacaodiferenciallineardeprimeiraordem. Vamos admitirqueasfun coespegsaofun coescontnuasnointervalo 0(g) x3y + 4x2y= ex, y(1) = 0RESPOSTASA1(a) ordinaria de 1aordem e nao linear. y(t) = t nao e solu cao. (b) Ordinaria de 2aordemlinear. y(x) = 14x2e solu cao. (c) parcial de segunda ordem linear. u(x, y) = arctan_yx_esolu cao.A2(a)solu cao unicanavizinhan cade(0, 3); (b)solu cao unicanavizinhan cade(0, 0); (c)naotemsolu cao unicanavizinhan cade(1, 0).A3A4(a)y2=21 +x2; (b)y2=23 ln |1 + x3| + 1; (c)y=arcsin_2(t2+ 1)12_; (d)y=_x22+ e_e2x; (e)y=x24 x3+12+x212; (f)y =senxx2; (g)y=ex(1x)x4212.5 Aplicacoes de Equacoes Diferenciais de Primeira Or-demMuitosproblemaspraticos, podemsermodeladospelaMatematica, deacordocomasetapasabaixo(naomuitobemdenidas):1. Constru caodeumproblemaparadescreveralgumfenomenofsico;2. Estabelecimento de um procedimento matematico, Modelagem Matematica, adequado aomodelofsico;3. Realiza caodecalculos numericos aproximados comousodoModeloMatematicopre-estabelecido;4. Compara cao das quantidades numericas obtidas atraves do Modelo Matematico com aque-las que se esperava obter a partir da formula cao do modelo criado para resolver o problema.Aposestasetapas, costuma-seanalisarosresultadosenaverica caodaadequa caodosmes-mos, aceita-seomodeloenainadequa caodosresultados, reformula-seomodelo, geralmenteintroduzindomaiorescontrolessobreasvariaveisimportantes, retirando-seoscontrolessobreasvariaveisquenaomostraramimportancia.2.5.1 ModelagemMatematicaProblemas, fe...</p>