Apostila Fuzzy - Prof. Haroldo

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CONJUNTOS FUZZY APLICADOS AO CONTROLE DE PROCESSOS

HAROLDO RODRIGUES DE AZEVEDO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLNDIA

JUNHO DE 1999

UBERLNDIA - MG - BRASIL

CONJUNTOS FUZZY APLICADOS AO CONTROLE DE PROCESSOS

1

1. INTRODUO

1.1.

Histrico

A lgica fuzzy foi desenvolvida com base na teoria de conjuntos fuzzy, proposta em meados da dcada de 60 pelo professor de cincias da computao Lotfi A. Zadeh, da Universidade de Berkeley. A elaborao dessa teoria foi motivada, em grande parte, pela convico de que os mtodos tradicionais de anlise eram inadequados para descrever sistemas nos quais as variveis no estivessem relacionadas por equaes diferenciais. Tais sistemas so comuns em biologia, sociologia, economia, e mais genericamente, em campos nos quais os sistemas so de natureza mais humanstica do que mecanstica. Os mtodos tradicionais de anlise so voltados para o uso de tcnicas numricas. Em contraste, na maioria das vezes a razo humana envolve o uso de variveis cujos valores so conjuntos nebulosos (ou fuzzy). Essa observao foi a base para a introduo da varivel lingstica, isto , uma varivel cujos valores so palavras em lugar de nmeros. Como exemplo podem ser citados alguns conceitos peculiares linguagem humana: quente, morno, muito longe, mais ou menos prximo, quase impossvel, improvvel, meia idade, etc. O primeiro trabalho de Zadeh sobre o assunto, intitulado Fuzzy Sets, foi apresentado em 1965 no volume 8 da revista Information and Control. Os primeiros trabalhos de aplicao da lgica fuzzy a controladores foram realizados por Assilian e Mamdani em 1974. Esses trabalhos ficaram, quase todos, restritos a montagens em laboratrios ou a simulao computacional. Durante a dcada de 80 foram desenvolvidos os primeiros dispositivos automticos usando a lgica fuzzy, em escala industrial.1.2. Panorama

Os controladores fuzzy, nos ltimos anos tem despertado interesse cada vez maior. A aplicao em escala mais ampla teve incio no Japo em meados da dcada de 80. Podem ser citados alguns produtos que usam a lgica fuzzy: lavadoras de prato, aspiradores de p robotizados que evitam obstculos, cmaras de vdeo que neutralizam o tremor do operador, mquinas de lavar roupa que detectam o grau de sujeira das peas, controle de velocidade de trens de metr, ar condicionado, panelas automticas para cozinhar arroz, modelos para previso meteorolgica, etc.

2 As pesquisas, ultimamente, tem sido voltadas para o uso de lgica fuzzy na rea de inteligncia artificial. Essa teoria procura reproduzir a forma de pensar e de tomar decises, do ser humano. Quando o homem faz parte de um sistema de controle, agindo como um controlador, em geral se obtm um efeito altamente estabilizante. Um exemplo que pode ser citado o ato de andar de bicicleta. A bicicleta um veculo inerentemente instvel. Entretanto, quando o ser humano passa a fazer parte do sistema, desempenhando o papel de controlador, pode ser obtido um sistema bastante estvel. Fora da rea de controle de sistemas a lgica fuzzy tem sido, tambm, objeto de intensas pesquisas. Dentro da idia de se buscar a imitao do processo de tomada de deciso humana uma srie de estudos podem ser desenvolvidos. Nessa linha podem ser citados: a) sistemas decisrios de suporte para o campo biomdico: sistemas fuzzy especialistas os quais, ao contrrio dos sistemas especialistas convencionais, podem levar em considerao a experincia pessoal e as caractersticas individuais de cada caso; controle automtico de rgos artificiais, controle de tratamentos, b) sistemas de suporte para deficientes fsicos incluindo: cadeira de rodas inteligente, mquina de auxlio leitura dos lbios para pessoas surdas, sistemas de orientao para cegos comandado pela voz, c) carros inteligentes: sistemas de preveno de coliso, motorista automtico, forma econmica de dirigir, controle de poluio, navegao comandada pela voz, estacionamento automtico, proteo ao pedestre, d) mquinas inteligentes para a execuo de servios: operao remota semi-automtica de grandes tratores, sistemas para uso na agricultura e pesca, mquinas de fazer tneis, helicpteros no pilotados, robs para explorao, e) robs inteligentes de alto nvel: robs autnomos para fins especiais, capazes de agir a partir de simples instrues, inferindo as intenes do homem de acordo com cada situao, f) sistemas conversacionais para dar instrues e informaes sobre diversos assuntos, etc.

1.3.

Breve introduo a conjuntos fuzzy

Um conjunto fuzzy descrito por uma funo que designa g raus de pertinncia entre zero e um aos seus membros. Um elemento que tenha grau de pertinncia igual a zero no pertence ao conjunto. Grau de pertinncia igual a um, indica que o elemento pertence totalmente ao conjunto. Graus de pertinncia entre zero e um significam que o elemento pertence parcialmente ao conjunto. Como exemplo, considere-se o conjunto de pessoas de meia idade. O quadro abaixo ilustra esse conjunto. Uma pessoa de 50 anos pertence, ento, ao conjunto com um grau de pertinncia de 0,7 ou 70%. Membros (idades) Graus de pertinncia 30 0,0 35 0,3 40 1,0 45 1,0 50 0,7 55 0,4 60 0,0

Tabela 1. Conjunto das pessoas de meia idade.

2. CONJUNTOS FUZZY

3 O conceito de conjunto fuzzy o principal pilar da teoria da lgica fuzzy. Na teoria clssica h uma clara distino entre os elementos que pertencem e os que no fazem parte de um conjunto. A lgica fuzzy admite a possibilidade de uma pertinncia parcial. Assim, um elemento pode pertencer a um dado conjunto, com um determinado grau de pertinncia. Para tornar mais claro esse conceito, passamos a apresentar algumas definies.

2.1.

Definies Bsicas

Definio 2.1. Seja U uma coleo de objetos denotados genericamente por {u}, onde U chamado de universo e u representa um elemento genrico de U. Um conjunto fuzzy F num universo U caracterizado por uma funo de pertinncia F que assume valores no intervalo [0,1], isto :

F : U [ 0,1]

Um conjunto fuzzy F em U pode ser representado como um conjunto de pares ordenados de um elemento genrico u e seu grau de pertinncia F na funo:

F = {( u , F ( u )) / u U }

Quando o universo contnuo, o conjunto fuzzy F costuma ser escrito concisamente como:

F = F ( u) / uU

Quando o universo U discreto, o conjunto nebuloso F representado como:

F = F ( u) / uSejam as definies:

Definio 2.2. O conjunto suporte de um conjunto fuzzy F o subconjunto dos pontos u de U tal que F(u) > 0. Definio 2.3. Um conjunto fuzzy cujo conjunto suporte um nico ponto de U com F=1 chamado de conjunto fuzzy unitrio ou singular (singleton).

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Definio 2.4. Um conjunto fuzzy vazio se, e somente se, sua funo de pertinncia for identicamente igual a zero, isto :

( u) = 0, u U

No item 2.2 sero dados alguns exemplos com o objetivo de esclarecer o significado das definies apresentadas.

2.2.

Representao de Conjuntos Fuzzy Discretos ou Contnuos Um conjunto fuzzy discreto , em geral, expresso atravs dos elementos que

compem seu universo e do grau de pertinncia de cada um desses elementos. So apresentadas abaixo, duas maneiras usuais de expressar um conjunto A:

A = 0/(-3) + 0/(-2) + 0,1/(-1) + 0,3/0 + 0,5/1 + 0,7/2 + 1,0/3 + 0,7/4 + 0,3/5 + 0/6 ou A = {0/(-3); 0/(-2); 0,1/(-1); 0,3/0; 0,5/1; 0,7/2; 1,0/3; 0,7/4; 0,3/5; 0/6}

Os nmeros localizados ao lado direito das barras so os elementos do universo. Os nmeros da esquerda correspondem ao grau de pertinncia de cada elemento do universo. Os sinais + no tem o significado convencional usado em matemtica. A seguir so apresentados exemplos relativos s definies do item 2.1: a) Tomando-se o conjunto A apresentado acima, o conjunto suporte de A dado por B, tal que:

B = {0,1/(-1); 0,3/0; 0,5/1; 0,7/2; 1,0/3; 0,7/4; 0,3/5}

b) Considere-se o conjunto fuzzy C, dado por:

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C = {0/(-1); 0/0; 0/1; 1/2; 0/3}

C um conjunto fuzzy unitrio ou singular, pois seu conjunto suporte D dado por:

D = {1/2}

Um conjunto fuzzy contnuo expresso por uma funo matemtica que relaciona os elementos do universo com seus graus de pertinncia. A funo dada abaixo um exemplo de representao de conjunto fuzzy contnuo:

A ( ui ) =

1 1 + ( 0,2( ui 5) 2 )

Nesse exemplo, os elementos do universo so representados pela varivel ui. Os graus de pertinncia so denotados por A(ui).

3. OPERAES E PROPRIEDADES BSICAS DOS CONJUNTOS FUZZY

3.1. Introduo Sero apresentadas, a seguir, as operaes e propriedades bsicas dos conjuntos fuzzy. Antes, porm, recordemos as principais propriedades satisfeitas pelos conjuntos na teoria clssica:

a)

Comutativa:

A B = B A A B = B Ab) Associativa:

A ( B C) = ( A B) C A ( B C) = ( A B) Cc) Distributiva:

A ( B C) = ( A B ) ( A C) A ( B C) = ( A B ) ( A C)d) Idempotncia:

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A A = A;e) Identidade:

A A = A

A = A;f) Absoro:

A =

A ( A B) = Ag) Leis de De Morgan:

(A (A

B) = A B B) = A B

3.2. Normas triangulares As normas triangulares so apropriadas para produzir modelos genricos para as operaes entre conjuntos fuzzy. Definio 3.1. A norma triangular t uma operao tal que t : [0,1] x [0,1] [0,1] satisfazendo as seguintes propriedades: Comutativa: Associativa: Monotnica: Contorno: A tB=BtA A t (B t C) = (A t B) t C Se A B e C D, ento A t C B t D A t 0 = 0; A t 1 = A

Definio 3.2. A co-norma triangular s uma operao tal que s : [0,1] x [0,1] [0,1] satisfazendo as seguintes propriedades: Comutativa: Associativa: Monotnica: Contorno: A s B=Bs A A s (B s C) = (A s B) s C Se A B e C D, ento A s C B s D A s 0 = A; A s 1 = 1

3.3.

Operaes Bsicas

Sejam A e B dois conjuntos fuzzy em U com funes de pertinncia com

7 A e B ,

respectivam