Apostila juliano eme905

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    20-Jul-2015

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<ul><li><p>UNIVERSIDADE FEDERAL DE DE ITAJUB</p><p>INSTITUTO DE ENGENHARIA MECNICA</p><p>NOTAS DE AULA DE EME12</p><p>Controle de Sistemas Mecnicos</p><p>Autor: Prof. Dr. Jos Juliano de Lima Junior</p><p>08/2007</p></li><li><p>Sumrio</p><p>1 Introduo aos Sistemas de Controle 11.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Reviso Histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Exemplos de Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3</p><p>1.4.1 Sistema de Controle de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Sistema de Controle de Nvel de Lquido . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3 Configurao de um Sistema de controle de retroao . . . . . . . . 41.4.4 Sistema de Controle de temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>2 Transformada de Laplace 72.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 A Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7</p><p>2.2.1 Plos e Zeros de X(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>2.3.1 Funo Impulso Unitrio (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.2 Funo Degrau Unitrio u(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.3 Pares de Transformada de Laplace de Sinais Comuns . . . . . . . . 10</p><p>2.4 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Deslocamento no Tempo (Time Shifting) . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3 Deslocamento no Domnio s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.4 Escalonamento no tempo (time Scaling) . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.5 Reverso do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.6 Diferenciao no Domnio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.7 Diferenciao no Domnio de s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.8 Integrao no Domnio do Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.9 Convoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13</p><p>2.5 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.1 Frmula de Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.5.2 Uso de Tabelas de Pares de Transformada de Laplace . . . . . . . . 14</p><p>Prof. Jos Juliano de Lima Jr.</p></li><li><p>ii SUMRIO</p><p>2.5.3 Expanso em Fraes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6 A funo do Sistema ou Funo de Transferncia . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>2.6.1 Funo do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6.2 Caracterizao de um Sistema LTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6.3 Funo do Sistema para um Sistema LTI Descrito por Equaes</p><p>Diferenciais Lineares de Coeficiente Constantes . . . . . . . . . . . 202.6.4 Interconexes entre Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22</p><p>3 Anlise Dinmica de Processos 253.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Modelo Matemtico Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25</p><p>3.2.1 Soluo de um sistema com excitao harmnica . . . . . . . . . . . 293.3 Modelagem no Espao de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Sistemas de Ordem Zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32</p><p>3.5.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5.2 Exemplo de sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.3 Constante de tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41</p><p>3.6 Sistemas de Segunda Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6.1 Outras formas de representar o sistema . . . . . . . . . . . . . . . . 463.6.2 Exemplos de sistemas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . 473.6.3 Combinao de dois sistemas de 1a. Ordem . . . . . . . . . . . . . 51</p><p>3.7 Linearizao de Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7.1 Aproximao linear de modelos matemticos no-linear - Funo de</p><p>uma Entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.2 Aproximao linear de modelos matemticos no-linear - Funo de</p><p>duas Entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.7.3 Exemplo de Linearizao de uma Equao No-Linear . . . . . . . . 56</p><p>4 Modelos Matemticos de Sistemas 594.1 Sistema de Nvel de Lquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>Prof. Jos Juliano de Lima Jr.</p></li><li><p>Lista de Figuras</p><p>1.1 Sistema de Controle de Velocidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Sistema de Controle de Nvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Diagrama de Blocos do Sistema de Nvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Sistema de Controle com Realimentao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura. . . . . . . . . 51.7 Evoluo da temperatura aps um incremento r no valor da referncia da</p><p>temperatura para: (a) K=10 e atraso=0,1; (b) K=1 e atraso=0,1; (c) K=10e atraso=0,025. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6</p><p>2.1 Representao no Plano s de X(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Funo Transferncia do Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Sistema em Srie no Domnio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Sistema em Srie no Domnio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Sistema em Paralelo no Domnio de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Sistema em Paralelo no Domnio de s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23</p><p>3.1 Sistema de 1a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Funo Transferncia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Modelo de Estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Nvel de Lquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5 Comparao entre as Respostas da Equao do Sistema de Nvel de L-</p><p>quido No-Linear e Linearizada - hss: resposta em regime permanente; h0:altura do nvel em regime permanente; Qi: pequena variao na vazo deentrada; Qi0: vazo de regime permanente; h: pequena variao do nvele Qi</p><p>Qi0 0, 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38</p><p>3.6 Linearizo da Curva Q0(t)H(t) em torno do ponto (H,Q). . . . . . . . 383.7 Sistema de Aquecimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.8 Curva de Resposta com Excitao Degrau Unitrio - Constante de Tempo. 423.9 Funo Transferncia de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . 463.10 Modelo de Estados de Espao de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . 47</p><p>Prof. Jos Juliano de Lima Jr.</p></li><li><p>iv LISTA DE FIGURAS</p><p>3.11 Diagrama de Blocos de um Sistema de 2a Ordem. . . . . . . . . . . . . . . 473.12 Sistema Massa-Mola com Excitao Impulso Unitrio. . . . . . . . . . . . . 483.13 Redutor de Velocidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.14 Sistemas de 1a Ordem Gerando um Sistema de 2a. Ordem; sem e com</p><p>efeito de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.15 Sistemas de 2a. Ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.16 Resposta da Vazo a uma Excitao Degrau de Reservatrios em Srie c/</p><p>e s/ Interao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54</p><p>4.1 Nvel de Lquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Vazo de Sada em Regime Estacionrio em Funo da Presso da Altura</p><p>da Coluna de Lquido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63</p><p>Prof. Jos Juliano de Lima Jr.</p></li><li><p>Captulo 1</p><p>Introduo aos Sistemas de Controle</p><p>1.1 Introduo</p><p>O controle automtico tem desempenhado um papel vital no avano da engenharia,com aplicaes em:</p><p> Veculos espaciais;</p><p> Sistema de guiamento de msseis;</p><p> Sistemas robticos;</p><p> Processos industriais e</p><p> Sistemas de manufatura - mquinas ferramentas de comando numrico.</p><p>A teoria de controle e os sistemas de controle automtico propiciam meios para atingir:</p><p> Desempenho timo de sistemas dinmicos;</p><p> Melhoria na produtividade e</p><p> Alvio de trabalho enfadonho de muitas operaes manuais repetitivas e muito mais.</p><p>Os engenheiros e cientistas, em sua maioria, devem possuir um bom conhecimentodeste campo.</p><p>1.2 Reviso Histrica</p><p> No sculo XVIII, James Watt construiu um controlador centrfugo para o controlede velocidade de uma mquina a vapor;</p><p>Prof. Jos Juliano de Lima Jr.</p></li><li><p>2 Introduo aos Sistemas de Controle</p><p> Em 1922, Minorsky trabalhou em controladores automticos para pilotar naviose mostrou como poderia determinar sua estabilidade a partir da representao dosistema atravs de equaes diferenciais;</p><p> Em 1932, Nyquist desenvolveu um procedimento relativamente simples para deter-minar a estabilidade de sistema a malha fechada com base na resposta estacionriade sistemas a malha aberta a excitaes senoidais;</p><p> Em 1934, Hazen discutiu o projeto de servomecanismo a rel capaz de seguir, demuito perto, uma excitao varivel no tempo;</p><p> Durante a dcada de 1940, os mtodos de resposta em frequncia tornaram possvelaos engenheiros projetar sistemas de controle a malha fechada satisfazendo requisitosde desempenho;</p><p> No final da dcada de 1940 at o incio dos anos 50 desenvolveu-se completamenteo mtodo do lugar das razes graas a Evans (Teoria Clssica de Controle - SISO);</p><p> A partir de 1960, com a disponibilidade dos computadores digitais, tornou-se pos-svel a anlise no domnio do tempo de sistemas complexos (Teoria Moderna deControle - MIMO - variveis de estados);</p><p> Durante o perodo de 1960 a 1980, foram investigados os controles timos de sistemasdeterminsticos e estocsticos bem como o controle adaptativo e o controle comaprendizado;</p><p> De 1980 aos dias de hoje, os desenvolvimentos na teoria moderna de controle tmse concentrado no controle robusto, no controle H e tpicos associados.</p><p>1.3 Definies</p><p>Varivel controlada: a grandeza ou a condio que medida e controlada. normal-mente a varivel de sada do sistema.</p><p>Varivel manipulada: a grandeza ou condio variada pelo controlador de modo aafetar o valor da varivel controlada.</p><p>Distrbio: caracterizado por um sinal que tende a afetar de modo adverso o valor davarivel de sada de um sistema.</p><p>Sistema: uma combinao de componentes que agem juntos e constituem um conjuntopara atingir objetivos.</p><p>Prof. Jos Juliano de Lima Jr.</p></li><li><p>1.4 Exemplos de Sistemas de Controle 3</p><p>Controle por Realimentao: uma operao que na presena de perturbaes, tendea reduzir a diferena entre a sada do sistema e a entrada de referncia.</p><p>Sistema de controle por realimentao: aquele que tende a manter uma relaopr-determinada entre sada e entrada pela comparao destas e empregando adiferena como meio de controle.</p><p>Servomecanismo: um sistema de controle por realimentao em que a sada : posiomecnica, velocidade ou acelerao.</p><p>Sistema Regulador Automtico: um sistema de controle por realimentao em quea entrada (referncia) ou a sada sempre constante.</p><p>Sistema de controle de processo: um sistema de regulador automtico em que asada uma varivel como: temperatura, presso, fluxo, nvel de lquido ou pH.</p><p>Sistema de Controle por Malha Fechada (closed loop): aquele em que o sinalde sada tem uma atuao direta sobre a ao controle</p><p>Sistema de Controle por Malha Aberta (open loop): aquele em que a sada notem efeito sobre a ao de controle.</p><p>1.4 Exemplos de Sistemas de Controle</p><p>1.4.1 Sistema de Controle de Velocidade</p><p>O princpio bsico do regulador de Watt para controlar a velocidade de um motor decombusto interna ilustrado no diagrama esquemtico da figura (1.1). A quantidade decombustvel admitida no motor ajustada de acordo com a diferena entre a velocidadedesejada e a velocidade real do motor.</p><p>Figura 1.1: Sistema de Controle de Velocidade.</p><p>Prof. Jos Juliano de Lima Jr.</p></li><li><p>4 Introduo aos Sistemas de Controle</p><p>1.4.2 Sistema de Controle de Nvel de Lquido</p><p>A figura (1.2) mostra um sistema automtico de controle de nvel onde a vazo deentrada do fluido no reservatrio controlada em funo do nvel do reservatrio atravsde um sistema de medio de nvel, cuja leitura enviada ao controlador, que envia osinal de controle a vlvula pneumtica de controle de vazo.</p><p>Figura 1.2: Sistema de Controle de Nvel.</p><p>A figura (1.3) apresenta o diagrama de blocos correspondente ao sistema de controlede nvel apresentado na figura(1.2).</p><p>Figura 1.3: Diagrama de Blocos do Sistema de Nvel.</p><p>1.4.3 Configurao de um Sistema de controle de retroao</p><p>A figura (1.4) apresenta a estrutura de um sistema de controle automtico por retro-ao. A retroao prov, um sistema, com a capacidade de se adaptar as variaes doambiente. Quando a refer encia um sinal normalmente constante, se est diante de umsistema regulador. Se a referncia varivel, como acontece, por exemplo, em um radarde rastreamento de aeronaves, se est ante a um servossistema.</p><p>Figura 1.4: Sistema de Controle com Realimentao.</p><p>Prof. Jos Juliano de Lima Jr.</p></li><li><p>1.4 Exemplos de Sistemas de Controle 5</p><p>1.4.4 Sistema de Controle de temperatura</p><p>Na figura (1.5) apresenta-se um sistema cujo objetivo manter a temperatura de umaestufa num valor preestabelecido. A estufa aquecida custa de uma circulao foradade ar quente, cuja velocidade determinada por um ventilador.</p><p>Figura 1.5: Sistema de Controle de Temperatura.</p><p>Em virtude da velocidade finita de circulao de ar quente, qualquer variao detemperatura no queimador ser detectada pelo termmetro colocado na estufa, apenas L/vsegundos mais tarde (L o comprimento da tubulao e v velocidade do ar na tubulao).Se, no instante t = 0, a referncia for incrementada de r, o erro sofrer imediatamente esseacrscimo e manter-se- nesse valor durante L/v segundos, comeando ento a diminuir,e acabando por mudar de sinal num instante posterior, que designar-se- por tc.</p><p>Figura 1.6: Diagrama de Blocos do Sistema de Controle de Temperatura.</p><p>Quando isso acontece, o controlador ordena a reduo do calor fornecido a estufa.Contudo, isso s se far semtir tambm L/v segundos mais tarde. At l, o ar que foiatravessando a estufa transportou mais calor do que o necessrio, pelo que a temperaturada estufa no instante tc + L/v estar acima do valor desejado. Consequentemente, omesmo padrp ir se repetir, mas agora com o sinal contrrio, e assim sucessivamente. Atemperatura oscilar com perodo aproximado de 4L/v, conforme ilustrado na figura (1.7)curva (a). Reduzindo o valor de K (procedimento cauteloso), figura (1.6), pode-se evitaras oscilaes - mas custa da preciso e velocidade de resposta. Este fato patente na</p><p>Prof. Jos Juliano de Lima Jr.</p></li><li><p>6 Introduo aos Sistemas de Controle</p><p>curva (b) da figura (1.7), onde se pode ver a temperatura convergir muito lentamente, ede forma montona, para um valor mais baixo.</p><p>Figura 1.7: Evoluo da temperatura aps um...</p></li></ul>