Apostila Numeros Complexos

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    20-Nov-2015

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Est apostila faz uma reviso sobre nmeros complexos.

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  • 1

    NMEROS COMPLEXOS

    1. Introduo

    Os nmeros complexos podem ser representados por um ponto em um plano referido a um sistema de eixos cartesianos, denominado plano complexo.

    Eixo horizontal eixo Real (+ a -)

    Eixo vertical eixo Imaginrio (+j a j)

    Este ponto tambm determina um raio vetor a partir da origem. Qualquer nmero real de zero a pode ser representado por um ponto no eixo real.

    Eixos real e imaginrio do plano complexo

    No plano complexo o eixo horizontal ou real representa todos os nmeros positivos direita do eixo imaginrio e todos os negativos esquerda do mesmo. Todos os nmeros imaginrios positivos so representados acima do eixo real e todos os nmeros imaginrios negativos, abaixo dele.

    Para representar nmeros complexos em um plano so utilizadas duas formas: forma retangular, representada por um ponto no plano, e forma polar, representada por um raio vetor que parte da origem at um determinado ponto.

    a) Forma Retangular: = + , onde a letra C foi escolhida a partir da palavra complexo.

    Forma retangular de um nmero complexo

    O nmero j usado para denotar a parte imaginria e corresponde a X = 0 e Y= 1

    Nota: antes da introduo dos nmeros complexos acreditava-se que os nmeros que no pertenciam ao eixo dos nmeros reais no existissem, motivo pelo qual o eixo vertical foi denominado de eixo imaginrio.

  • 2

    Exemplos: representar os seguintes nmeros complexos no plano complexo:

    a) = +

    b) =

    c) =

  • 3 b) Forma Polar: =

    onde a letra Z foi escolhida a partir da seqncia X, Y, Z, e representa apenas o mdulo (magnitude) do nmero

    (vetor) e o o ngulo (argumento) formado entre Z e o eixo real positivo, medido sempre no sentido anti-horrio.

    Forma polar de um nmero complexo

    O sinal negativo em frente ao nmero complexo na forma polar mostrado na figura a seguir. Observar que o resultado um nmero complexo oposto ao nmero complexo com sinal positivo.

    = = +

    Efeito de um sinal negativo sobre a forma polar

    O ngulo medido no sentido horrio a partir do eixo real positivo deve ser associado a um sinal negativo.

  • 4

    Exemplos: representar os seguintes nmeros complexos no plano complexo:

    a) =

    b) =

    c) = ,

    = , = , + = ,

  • 5

    2. Converso entre as duas formas

    Relao entre as duas formas

    Nota: Teorema de PITGORAS:

    = + ; e de forma anloga, tem-se: = +

    a) Da forma Retangular para Polar: = + =

    b) Da forma Polar para Retangular: = =

  • 6 Exemplos:

    a) converter o nmero complexo a seguir para a forma polar: = +

    Portanto:

    = ,

    b) converter o nmero complexo a seguir para a forma retangular:

    =

    Portanto:

    = , + ,

    c) converter o nmero complexo a seguir para a forma polar: = +

    Portanto:

    = ,,

    =

    = ,

    = ,

    = () + ()= =

    = = ., = ,

    = = ., = ,

    = , + ,

    Se um ngulo de um nmero complexo estiver no segundo, terceiro ou quarto quadrante, deve-se tomar cuidado ao associ-lo ao vetor.

    =

    = ,

    = , = ,

    = ,,

    = () + ()= = ,

  • 7 d) converter o nmero complexo a seguir para a forma retangular:

    = +

    Portanto:

    = , + ,

    3. Complexo Conjugado

    O conjugado ou complexo conjugado de um nmero complexo obtido simplesmente trocando-se o sinal da parte imaginria (forma retangular), ou o sinal do ngulo (forma polar).

    a) Forma retangular: o conjugado complexo de:

    = + =

    b) Forma polar: o conjugado complexo de:

    = =

    = = .,

    = ,

    = = = .,

    = ,

    = , + ,

    = = ( )

  • 8 4. Operaes matemticas com nmeros complexos

    Primeiramente, interessante efetuar algumas definies para que, posteriormente, poa definir os critrios das quatro operaes bsicas com nmeros complexos: adio, subtrao, multiplicao e diviso.

    Sabe-se que, por definio:

    = ; sendo X = 0 e Y = 1 ; ou Z = 1 e = 90. Logo:

    = ; e

    = . = =

    = . = . =

    =

    4.1. Adio

    Para adicionar dois nmeros complexos basta adicionar as partes reais e imaginrias separadamente.

    = e =

    Ento: + =

    Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:

    a) Adicionar: = + e = +

    Soluo:

    + = + + +

    + = +

    Ou de outra forma:

    +

    +

    +

    +

  • 9 b) Adicionar: = + e = +

    Soluo:

    + = + +

    + = +

    Ou de outra forma:

    4.2. Subtrao

    Na subtrao, as partes reais e imaginrias tambm so consideradas separadamente.

    = e =

    Ento: = +

    Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:

    a) Subtrair: = + e = +

    Soluo:

    = +

    = +

    Ou de outra forma:

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    -

    +

  • 10 b) Subtrair: = + e = +

    Soluo:

    = +

    =

    Ou de outra forma:

    +

    +

    A adio e a subtrao no podem ser realizadas na forma polar, a menos que os nmeros complexos

    tenham o mesmo ngulo , ou sua diferena seja um mltiplo de 180. Utilizar somente a forma retangular.

  • 11

    4.3. Multiplicao

    Para multiplicar dois nmeros complexos basta multiplicar os mdulos e somar algebricamente os ngulos.

    = e =

    Ento: . = . +

    Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:

    a) Multiplicar: = e =

    Soluo:

    . = . +

    . =

    b) Multiplicar: = e = +

    Soluo:

    . = . +

    . =

    4.4. Diviso

    Na forma polar, a diviso realizada simplesmente dividindo o mdulo do numerador pelo mdulo do denominador e subtraindo os respectivos ngulos.

    = e =

    Ento:

    =

    Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:

    a) Dividir: = e =

    Soluo:

    =

    = ,

  • 12 Dividir: = e =

    Soluo:

    =

    = ,

    Para dividir um nmero complexo na forma retangular por um nmero real, tanto a parte real quanto a imaginria tm de ser dividida por esse nmero.

    +

    =

    +

    = +

    Ou, ento:

    ,

    =

    ,

    +

    = , +

    Para se efetuar a multiplicao e a diviso deve-se dar preferncia para o uso da forma retangular.

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