Asymptotische Gleichverteilung und zentraler Grenzwertsatz

  • Published on
    15-Jun-2016

  • View
    219

  • Download
    4

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p>Math. Nachr. 127 (1986) 181-192 </p><p>Asymptotische Gleichverteilung und zentraler Grenzwertsatz </p><p>Von HOEST HERRMANN in Halle </p><p>(Eingegangen am 24.10.1984) </p><p>0. Sei ( Yfl)n=,,3,,,. eine Folge k-dimensionaler zufalliger Vektoren mit E( Y,) = = 0, E( I Y,p) -=a, E( YflJ: - 00 (i= 1, 2, ..., k) und Determinante der Kovarianz- matrix jE( YniYghj)l =-0. Wir setzen voraus, daB die Verteilungsgesetze von </p><p>n -- ( E ( y; , 1 ) - l l2 </p><p>Y.io - . . O ) a n ( E ( Y:k))- i /z </p><p>fur n -.a schwach gegen eine nichtausgeartete Noriiialverteilung 7 mit Erwar- tungswertvektor 0 und einer Kovarianzmatrix Q konvergieren. </p><p>Es sol1 geyruft werden, ob sich diese Konvergenzaussage verscharfen laBt, wenn zusatzliche Eigenschaften von ( Y,), = i,2,... , nainlich asymptotische Gleich- verteilungseigenschaften der Folge </p><p>(P Y J n =1,2, ... ? wie sie in 151 als schwache asymptotische Gleichverteilung bzw. asymptotische Gleichverteilung definiert sind, vorliegen. Obersichtliche Verhiiltnisse in Spezial- fallen sind Motivation fur diese allgemeine Fragestellung : 1st etwa fur jedea n der zufallige Vektor Yfl Sunime von unabhiingigen identisch verteilten zufalligen Vektoren XI, S,, ..., S,, so ist die schwache asymptotische Gleichverteilung der Folge </p><p>( G n ) n = , , 2 ,... </p><p>aquivalent niit der Nichtgitterformigkeit von PX1 (9. [ 5 ] ) , einer die -4nnaherung von PYfl an y begunstigenden Eigenschaft. </p><p>Als Verscharfungen der schwachen Konvergenz von Ppn fur n-a gegen y wahlen wir der asyniptotischen Gleichverteilung bzw. der schwachen asympto- tischen Gleichverteilung angepaBte Begriffe, die Konvergenz von Ppn fur n + 00 in Variation gegen y bzw. eine zwischen schwacher und Variationskonvergenz liegende Konvergenz von Ppfl fur n --)OD ,,mit Gliittung in Variation" gegen y. </p><p>In Abschnitt 1 werden die erforderlichen Begriffe bereitgestellt und disku- tiert. In Abschnitt 2 geben wir eine mit charakteristischen Funktionen formulierte hinreichende Bedingung dafur an, daB mit der schwachen Konvergenz auch die </p></li><li><p>182 Math. Xachr. 1% (1986) </p><p>Konvergenz mit Glattung in Variation der Folge </p><p>(PlT,), = l J , ... </p><p>gegen y vorliegt. Abschnitt 3 behandelt den Spezialfall, daB die Y , (n=l , 2, ...) Summe von </p><p>unabhangigen (nicht notwendig identisch verteilten) zufalligen Vektoren Xi, X 2 , ..., X,, sind. Unter einer gewissen Beschrankungsbedingung fur die Folge (X,)n31,2,... kann gezeigt werden, daB schwache Konvergenz von Ppf l fur n --COO gegen y und (schwache) asymptotische Gleichverteilung von </p><p>(PP,), = I A.. </p><p>einerseits aquivalent der Konvergenz von Pp, fur n-+- (mit Glattung) in Va- riation gegen y andererseits sind. Der Beweis dieses wichtigsten Resultates der Arbeit stutzt sich wesentlich auf ein Ergebnis aus [6]. </p><p>AbschlieBend weisen wir in Abschnitt 4 durch ein Beispiel den sich bereits in Abschnitt 1 andeutenden Sachverhalt nach, daB im allgemeinen aus der schwachen Konvergenz von PFn fur n -*m gegen y und der (schwachen) asymptotischen Gleichverteilung von </p><p>(PI~,)n=, ,? , . . . </p><p>nicht die Konvergenz von PF,, fur n -+OO (mit Gliittung) in Variation gegen y folgt. 1. A sei das LEBESGUE-Md auf [RE, mk]. Fur eine endliche a-additive Mengenfunktion w auf [Rk, Bk] bedeute ljcoll ihre </p><p>Totalvariation und ~~o&amp; die folgendermaaen definierte Norm : </p><p>I l~ l lh=suP I J f ( 4 &amp;4l J f </p><p>wobei das Supremum uber alle LIPscHITzfunktionen f auf Rk mit </p><p>zu erstrecken ist (8. [ 11). </p><p>heiBt asymptotisch gleichverteilt, wenn fur jedes a E RE Eine Folge von auf [Rk, 58'1 definierten WahrscheinlichkeitsmaBen (v,Jfl </p><p>llvn -6, :% vflll 2 0 gilt. ( v , , ) ~ = ~ , ~ , . . . ist schwach asymptotisch gleichverteilt, wenn fur jedes a E Rk und fur jedes bezuglich I absolut stetige Verteilungsgesetz cr </p><p>I l u * v f l - - 8 , * u a v f l , , I I ~ 0 </p><p>llvn - 8, * %llE n-&amp; 0 gilt oder, was d a m aquivalent ist, </p></li><li><p>Herrmann, Asyrnptotische Gleiohverteilung 183 </p><p>fur jedes u E RE erfullt ist. Diese beiden asymptotischen Gleichverteilungs- begriffe sind ausfuhrlich in [53 und [ 3 ] behandelt. </p><p>Sei Rt e { a = [ a i . ..., ak] RE: ai=-O, ..., a,=-O). </p><p>Die Folge ( V J , ~ = ,,?,... nennen wir schwach usymptotisch gleichverteilt mod a fur ulle a Rk,, wenn fur jedes a = [ a , , ..., uk] R: die durch die kanonische Abbildung des Rk auf [0, a, ) x ... x[O, aE) aus den yn entstehenden MaBe fur n -00 schwach gegen die Gleichverteilung auf [ 0 , a,) x ... x [0 , aE) konvergieren. Bezeichnet vn die charakteristische Funktion des W'ahrscheinlichkeitsmaBes Y, ( n = 1 , 2 , ...), so ist ( i~~ )~=~ ,~ , . , . genau dann schwach asymptotisch gleichverteilt mod a fur alle a Rk,, wenn fur alle t E RE, t =t= 0 , </p><p>lim pl,(t) = 0 </p><p>gilt. (Siehe dazu [5], [6] und [4].) ( Yn)n sei eine Folge k-dimensionaler zufalliger Vektoren. P,,, das Ver- </p><p>teilungsgesetz von Y9L, bezeichnen wir niit ,u9z ( n = 1 , 2 , ...). In Komponenten- schreibweise sei Yn der Zeilenvektor [ Ynl, ..., YnE] der reellen ZufallsgroBen ITnz ( i = 1, 2 , ..., Ic). \Yir setzen voraus, daB E( Y,)=O, E(I Y,12) </p></li><li><p>184 Math. Nachr. 1?7 (1986) </p><p>gilt. Die Folge ( Yn)n=1,2,.,. hat die Eigenschaft (G), wenn fur jedes Wahrscheinlich- keitsmaB u, a 4 , </p><p>Ilb 1: p,J o w -711 n-- 0 erfullt ist. </p><p>Es ist klar, daB ( V ) eine stiirkere Eigenschaft als (8) und daB (G) nicht stiirker als ( V ) und nicht schwiicher als (S) ist; tatsikhlich liegt (G) zwischen (8) und ( V ) , ohne mit einer dieser beiden Eigenschaften identjsch zu sein (wie etwa Folgerung 3.3 zeigen wird). </p><p>Eine Folge von WahrscheinlichkeitsmaSen (YJ, =i,2,... heil3t asymptotisch gleichgradig stetig, falls zu jedem E &gt; O ein 6 &gt; 0 und eine naturliche Zahl no derart existieren, dal3 </p><p>llYn -6, :3 Ynll S &amp; </p><p>fur alle z~ Rk mit 1x1 513 und alle n zn0 gilt. Wir setzen (8) voraus. Dann gilt genau dann ( V ) , menn die Folge </p><p>(pn OD;'), =I,*, ... </p><p>((6 * p n ) O ~ ; ' ) n = , , 2 , . . . </p><p>asymptotisch gleichgradig stetig ist, und genau dann (G), wenn fur jedes Ver- teilungsgesetz u, octl, die Folge </p><p>asyinptotisch gleichgradig stetig ist (a. etwa [ 3 ] , 1.13.). Dieser Sachverhalt kann auch so formuliert werden. </p><p>1.3. Es gelte (8). Dann ist ( V ) (bzw. (G)) iiquivalent der folgenden Eigenschaft. Fur jedes E=-O existieren ein 6&gt;0 und eine naturliche Zahl no, so daI3 fur alle X E Rk mit 1x1 5 6 und alle n zno </p><p>l/pn-6 - 1 :b pnl15=E (ZDn 1 </p><p>(bzw. llu 2% pn-6 (zD, ,) ::: o ::: p,lJ s E ) </p><p>gilt. Nach 1.3 fuhren (8) und die asymptotische Gleichverteilung bzw. die schwache </p><p>asymptotjsche Gleichverteilung nicht ohne weiteres zu ( V ) bzw. (G). Die geforder- ten Bedingungen sind erfiillt, wenn gewisse von den 2. Momenten der Yni (j = = 1 , 2 , ..., k ) abhangende Konvergenzgeschwindigkeiten fur die asymptotische bzw. die schwache asymptotische Gleichverteilung vorliegen. </p><p>2. (Yn)n=,,2,., , sei eine Folge zufiilliger Vektoren mit den im Abschnitt 1. angegebenen Momentvoraussetzungen. qn(t), t C Rk, sei die charakteristische Funktion von Y, (n= 1, 2 , ...). </p><p>2.1. Far jeden Vektor [-If, ..., J1] Rk rnit 41 w 0 sollen eine A-integrierbare Funktion q(')(t) und eine natarliche Zahl n, existieren, so dap </p><p>Iqn(tQl)I W f ) ( t ) </p></li><li><p>Herrmann, Asymptotische Gleichverteilung 185 </p><p>f f i r alle t [ - Manl, J&amp;J,,] x ... X[ -.Maflk, Mank] und alle n znAv erftillt ist. Dann sind die Eigenschaften ( S ) und (G) Wuivalent. </p><p>(Man beachte, daB nicht die Integrierbarkeit der charakteristischen Funktion von r,, sondern in einem mit n unbeschriinkt wachsendem Gebiet ihre betrags- maI3ige Abschatzung durch eine integrierbare Funktion gefordert wird.) </p><p>Beweis. Es ist zu zeigen, dal3 aus (S) die Eigenschaft (G) folgt. Sei ohne Beschriinkung der Allgemeinheit ~ ' ~ ' ( t ) s 1. </p><p>Die Menge der Verteilungsgesetze 0, oeA, deren charakteristische Funktionen kompakte Triiger besitzen, liegt bezuglich des Variationsabsta.ndes dicht in der Menge aller absolut stetigen Wahrscheinlichkeitsmafle. </p><p>k (Beweis. p l ( t ) = ng(ti) mit </p><p>i =I </p><p>ist charakteristische Funktion mit den1 Trager [ - 1 , 13 X ... X [ - 1, 13. Der zu- fallige Vektor 11 habe die charakteristische Funktion pl. Dann hat der zufallige </p><p>Vektor - 7 ( n = l , 3 , ...) eine charakteristische Funktion mit dem Trager </p><p>[ - n , n ) x ... x [ - n , n ] und </p><p>1 </p><p>n </p><p>P, -)&amp;. ;"-- </p><p>Demzufolge gilt fur jedes 0, a&amp;, </p><p>Es ist deshalb ausreichend, </p><p>ll(a * p,)oD,I-yIl z o fur alle WahrscheinlichkeitsmaBe a, u</p></li><li><p>186 Math. Karhr. 127 (19%) </p><p>Sei E &gt; O . Dann existiert ein T&gt;O, so daB fur alle x, ye R und alle naturlichen Zahlen n znAI </p><p>ist. Das letzte Integral ist beliebig klein, wenn nur (x-yI hinreichend klein ist. Die Funktionenfolge (f,), ist also gleichgradig stetig. (8) und die gleich- gradige Stetigkeit von (f,),=,,%,... haben aber zur Folge, daB </p><p>((d Q /In) oD11)n=i,2 ,... asymptotisch gleichgradig stetig ist. Damit ist mit [3], 1.13. der Beweis beendet. </p><p>sei eine Folge reeller ZufallsgroBen, das Verteilungs- </p><p>Wir geben noch ein einfaches Beispiel fur die Anwendung von 2.1 an. </p><p>2.2. Beispiel. ( Y,), gesetz von Y, sei </p><p>- init xj=-O, x. I -0 j-- und </p><p>mit 2.1., daB diese Polge auch die Eigenschaft (G) besitzt. </p><p>\Veiter gibt es eine naturliche Zahl nJI&gt;jH, so daB </p><p>x: =-. Bekanntlichgilt fur diese Folge (8). Wir zeigen j=l </p><p>Sei M&gt;O. Es gibt eine natiirliche Zahl j,, so daB M * xj 5 1 fur alle j zjaI ist. </p><p>4 ist. Fur nsn,, und t [ --Mfk&amp;;, M l / i x : ] gilt dann mit c = ~ . ) die fol- </p><p>i =I i = I gende Ungleichungskette : </p><p>3. ( Yn)n=1,2,,,. sei wieder eine Folge zufalliger Vektoren mit den in Abschnitt 1. angegebenen Momentvoraussetzungen. Wir setzen zusiitzlich voraus, daB Y, (n = = 1, 2, ...) Summe der unabhsngigen zufalligen Vektoren XI, X2, ..., X, ist. Mit </p><p>Pxn 5 Yn </p><p>ist also p,=yI * y 2 ... Q v,. Seien Y: die Symmetrisierung des Verteilungs- gesetzes yi und &amp;,(M) fur M=-0 die Matrix mit den Elementen </p></li><li><p>Herrmann, Asyniptotische Gleichverteilung 187 </p><p>(i , j = 1,2, ..., k). Wir erlegen der Folge ( X J n eine gewisse Beschrankungsbedingung auf. </p><p>,... (und damit der Folge ( Yn)n=l,2 ,...) </p><p>Es existiere ein M&gt;O, so daa </p><p>Sind die S,,, n = l , 2, ..., identisch verteilt, ist die Forderung (B) erfiillt. (B) gestattet aber wesentliche Abweichungen von diesem Fall. </p><p>schliealich absolut stetig, wenn das Gewicht pi (Rk) des beziiglich 1 absolut stetigen Anteils ,L,; von p n pit wachsendem n gegen 1 strebt. 1st fur ein \iVahrscheinlichkeitsmalJ v die Folge der Faltungspotenzen ( v ~ * ) ~ = ~ , ? , schlieBlich absolut stetig, sagen wir, v ist schlieBlich absolut stetig. </p><p>(a) ( Yn)n=l ,2 , . . besitzt die Eigenschnft ( G ) . (b) ( YJn=],?, . besitzt die Eigenschaft (8) und (pJn (c) ( 17n)n=l,2,, . besitzt die Eeigenschaft (8) und (pn)?&amp; = </p><p>(a) ( Y,Jn=1,2.... besitzt die Eigenschaft ( V ) . (b) ( Yn)lp=1,2, , , . besitzt die Eigenschaft (8) und (pJn = schliealich absolut stetig. (c) ( YJrL und (p&amp; ist asymptotisch gleichverteilt. </p><p>Wir nennen die Folge ( / I &amp; </p><p>3.1. Satz. E s gelte ( B ) . Dunn sind die folgenden Aussagen aquivalent. </p><p>ist schzuach asymptotisch gleichverteilt mod n fur alle a Rk,. </p><p>ist schumch asymptotisch gleichverteilt. </p><p>3.2. Satz. E s gelte ( B ) . Dunn sincl die folgenden Aussngen aquivalent. </p><p>ist schuiach asymptotisch gleichverteilt mod a fur alle a C R: und </p><p>besitzt die Eigenschaft (AS) </p><p>(Vergleiche d a m [2] und [4).) </p><p>Beweis ron 3.1. 1.) Nach [el, Theorem 1 folgt aus (b): Fur jedes h=[hi , ..., hk]ER!+ gilt mit </p><p>und P </p><p>J-,, n hi gleichmaljig in xE Rk i = l </p><p>2.) Sei yn die Norinalverteilung mit dem Erwartungsvektor 0 und der Ko- varianzmatris </p></li><li><p>185 Math. Sachr. 137 (1986) </p><p>Aus (+) folgt </p><p>(:by llP?a-Ynll~L n-.. 0 * Beweis. Sei E&gt;O. Wir zerlegen den RE so in achsenparallele kongruente </p><p>Wurfel Wi, W,, ... einer Kantenlange 1, daB fur jede LIPscmTzfunktion f mit / I f llBL= </p><p>I&amp;) -fb*)l s-5 gilt, wenn nur x und x* in dem gleichen Wurfel Wi liegen. Sei </p><p>[ -fJnl&amp;-ikj a,l&amp;-k]X x [ -a,k&amp;-l/k, df ik&amp;-*lk] d f n . Die Anzahl der Wurfel Wi, die mit Hn gemeinsame Punkte haben, ist kleiner oder gleich </p><p>r k n (2bnjE-lk+21) . l k j = l </p><p>Wir schiitzen nun IIp, -y,&amp; mit TSCHEBYSCHEWSCher Ungleichung und Mittel- wertsatz der Integralrechnung nach oben ab. </p><p>llrn-yAlk </p><p>({x: lxjl zc,j&amp;-lk}) </p><p>... I </p><p>l k i= 21C~l + E + 3 n ( 2 c ~ , ~ ~ - ~ / ~ $21) sup lpn (x + I ) - yn (x + I ) 1 , </p><p>wobei I= y=[yl, ..., ya] : 1 y . l ~ bedeutet. Fur jedes xCRk ist m i t einem </p><p>geeigneten 2 . ~ x + I </p><p>1 j = l x c R k </p><p>{ I - 2 7 1 lk 1 yn @ + I ) exp { - ( 2 ~ ~ ) Q - ( ~ D , ) . (27p1Q11/2 n onj </p><p>j = l </p><p>Wir vergleichen diesen Ausdruck mit pn (z+I) in der durch (*) gegebenen Form und stellen lediglich zwei Unterschiede fest. (a) Im Zahler steht bei p, (z-t-I) ein zusatzlicher Summand, der gleichmaI3ig in zE Rk von der Ordnung o(1) ist. </p></li><li><p>Herrniann, ABymptotische Gleichverteilung 189 </p><p>(b) Anstelle des Wertes der Exponentialfunktion exp (y&amp;-ly'), die gleichmiiBig stetig ist, an der Stelle 5 0 , steht bei pn @ + I ) der Wert dieser Funktion an der Stelle xDn. Es gilt aber </p><p>Aus a) und b) folgt, daB es fur jedes E &gt; O ein no gibt, so daB fur alle n sno </p><p>E I </p></li><li><p>190 Math. Kavhr. 127 (1986) </p><p>2.) Eine Folge (pJB =,,?,.., ist genau dann asymptotisch gleichverteilt, wenn sie schwach asymptotisch gleichverteilt und asymptotisch gleichgradig stetig ist. </p><p>(Reweis. Zu zeigen ist, daB aus der schwachen asymptotischen Gleich- verteilung und der asyinptotischen gleichgradigen Stetigkeit die asymptotische Gleichverteilung folgt. </p><p>Sei E&gt;O. Dann gibt es ein b &gt; O , so daB fur alle y mit jy] z h und alle hin- reichend groBen n </p><p>ist. Mit einem WahrscheinlichkeitsmaB 0, m</p></li><li><p>Herrmann, Asymptotische Gleichverteilimg 191 </p><p>Durch zwei Forderungen definieren wir WahrscheinlichkeitsmaBe yn (n = 1, 2, ...) : </p><p>(1) </p><p>(2) </p><p>0, wenn in ungerade , Yn( 12)) = { 2 7 4 1 9 , wenn m gerade . ynccA, </p><p>konstan t. die Dichte von Y, sei auf den Intervallen 1:) (1 -f. 8.) </p><p>( 2 ) Jxyn(dx ) + a n 9 an 2 0; J (x -afl)Z y,(dx) 3; , cr; 1 . </p><p>Nun definieren wir ZufallsgroBen Yn (n = 1 , 2, ...) durch </p><p>Y,, = (X,t -a,) n2, </p><p>wobei die ZufallsgroBen X, gemaB Y+$ verteilt sein sollen. D a m ist </p><p>E( Y,J =o, E( Y i ) =u;n4. Die Folge ( Yn)n=l,2,,.. besitzt die Eigenschaft (8). Die Folge der dazugehorigen </p><p>Verteilungsgesetze (p,Jx =,,?,.,. ist sowohl schwach asymptotisch als auch asympto- tisch gleichverteilt, denn fur jedes z ~ R l gilt fur alle nzIxI </p><p>Die Folge ( Yn),= ,,?,... besitzt aber weder die Eigenschaft ( V ) noch die Eigenschaft ( G ) , mie die folgende Rechnung zeigt. </p><p>(a) Sei cr ein beziiglich 1 absolut stetiges Verteilungsgesetz. </p><p>wegen der asymptotischen Gleichverteilung von (pn),, = geht der letzte Susdruck fur n -.a gegen Null. </p></li><li><p>192 Math. Kac-hr. 197 (1986) </p><p>wegen der absoluten Stetigkeit von y geht der letzte Ausdruck fur n-- gegen Null. </p><p>Aus (a) und (b) erhalten wir </p><p>Literatur </p><p>[l] R. M. DUDLEY, Convergence of Baire measures, Studia Mathernatica 27 (1966) 251 -268 [2] H. HERRMANN, Asymptotische Gleichverteilung von Summen unabhangiger ZufallsgroBen, </p><p>Wiss. 2. Friedrich-Schiller-Universitat Jena, Math.-Nat. Reihe, Jg. 29, Heft 2 (1980) 271 -278...</p></li></ul>

Recommended

View more >