Aula 4 Equações ... =𝜇 2 2 + 2 2 + 2 2 =𝜇 2 2 + 2 2 + 2 2 =𝜇 2 2 + 2 2 + 2 2 Equação da…

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    23-Jan-2019

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  • Universidade Federal Fluminense

    Disciplina:

    Aula 4 Equaes Diferenciais

    FENMENOS DE TRANSPORTE

    Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrcola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)

    Escola de Engenharia

  • Aula 4 Equaes Diferenciais

    Equao da continuidade

    Cinemtica

    Equao da quantidade de movimento linear

    Equao de Euler

    Equao de Navier-Stokes

  • Mtodos de soluo de problemas com fluidos:

    F

    u(r)

    Soluo analtica ou numrica

    (CFD ComputationalFluid Dynamics)

    VCGrandezas integrais (volume de controle VC):

    Vazo Fora Energia

    EQUAES INTEGRAIS

    EQUAES DIFERENCIAIS

    MTODOS EXPERIMENTAIS

    Grandezas infinitesimais (pontual):

    Velocidade: (, , , ) Tenso: , , , , , , ,

    Modelos reduzidos em laboratrio, prottipos ou medies em campo

    Anlise dimensional

    Disponvel em . Acesso em 27 mar. 2018.

  • Eq. da Continuidade

  • Volume de controle infinitesimal:Volume de controle finito:

    Equao Integral: Equao Diferencial:

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

  • Conservao da massa:

    Eq. Integral:

    Eq. Diferencial:

    V + = 0

    Volume de controle infinitesimal:

    V +

    + sada entrada

    =

    = 0

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

    +

    +

  • Conservao da massa:

    V +

    +

    +

    = 0 Eq. Diferencial:

    Volume de controle infinitesimal:

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

  • Conservao da massa:

    V +

    +

    +

    = 0 Eq. Diferencial:

    = +

    = lim0

    +

    =

    = +

    =

    =

    =

    =

    Volume de controle infinitesimal:

    V

    =

    V

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

    Em x:

  • Conservao da massa:

    Volume de controle infinitesimal:

    =

    V

    Em x:

    V +

    +

    +

    = 0 Eq. Diferencial:

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

  • Conservao da massa:

    Volume de controle infinitesimal: Em y:

    =

    V

    =

    V

    Em z:

    =

    V

    +

    +

    V

    Em x:

    V +

    +

    +

    = 0 Eq. Diferencial:

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

  • Conservao da massa:

    Volume de controle infinitesimal:

    V +

    +

    +

    V

    V +

    +

    +

    = 0 Eq. Diferencial:

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

  • Conservao da massa:

    V +

    +

    +

    V = 0

    +

    +

    +

    = 0

    divergente de

    V +

    +

    +

    = 0 Eq. Diferencial:

    + = 0

  • Conservao da massa:

    Fluido compressvel:

    + = 0

    Fluido incompressvel:

    + = 0

    0

    = 0

    = 0

    divergente nulo(campo solenoidal)

  • Conservao da massa:

    Exemplo:[PETROBRAS ENG. EQP. JNIOR - 2008]

    Considerando um escoamento permanente e incompressvel, cuja

    distribuio de velocidades seja dada pela funo = 3 + + 2 ,calcule o valor da constante C para que seja atendido o princpio da

    continuidade.

    V = 0

    x

    +y

    +z

    = 0 V = u + v + w

    u = 3xv = Cyw = 2x

    V = 3x i + Cy j + 2x k

    3 + C + 0 = 0 C = 3

    3xx

    + Cyy

    + 2xz

    = 0

  • Cinemtica

  • x

    y x

    y translao

    x

    y rotao

    x

    ydeformao

    angular (distoro)

    x

    y deformao linear

  • Partcula Pem (xp, yp, zp)

    Campo de velocidade:

    , , , = , , , + , , , + , , ,

    = , , ,

    =

    =

    , , ,

    =

    =

    +

    +

    +

    , , ,

    , , ,

    , , ,

    1

    =

    +

    +

    +

    =

    acelerao convectiva acelerao localacelerao total

  • = Ex. de campo de velocidade:

    Linhas de corrente:

    Partcula P

    y

    x

    +1

    +1 -1

    -1

    +2

    +2 -2

    -2

    +3

    C = +3 -3

    C = -3

    = 0 permanente 0

    =

    =

    +

    +

    +

    0

    Escoamento permanente no significa acelerao nula !

  • y

    +

    + +

    = +

    x

    Rotao: =

    2

  • y

    x

    +

    +

    =

    +

    Rotao: =

    2

  • y

    x

    +

    +

    = atan

    +

    0

    =

    = lim

    0

    =

    = lim

    0

    =

    =

    =

    1

    2

    =

    1

    2

    =

    =

    1

    2

    =

    =1

    2

    = + + =1

    2

    vorticidade

    se escoamento irrotacional:

    = 0

    Rotao: =

    2

  • y

    x

    +

    +

    = atan

    +

    0

    =

    = lim

    0

    =

    = lim

    0

    =

    +

    Distoro: (deformao angular)

    = +

    =

    +

    =

    +

    =

    =

    +

    =

    =

    +

    taxa de cisalhamento

    =

    +

    =

  • y

    x

    +

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    Taxa de deformao linear:

    Taxa de dilatao volumtrica :

    + + +

    1

    =

    + + +

    0

    1

    lim0

    +

    =

    = lim0

    + +

    = lim0

    +

    +

    1

    =

    +

    +

    =

    se incompressvel

    = 0

    = + +

  • Exemplo:Dados o campos de velocidade abaixo (S.I.): a) classifique o respectivo escoamento quanto ao regime temporal e dimensionalidade; b) calcule a acelerao no ponto (1,1), quando t=0; c) verifique se so rotacionais; d) e se so incompressveis (possivelmente).

    = + 2 + 3

    = 0

    0

    0

    0,

    = 0

    2D transiente

    =

    =

    +

    +

    +

    a)

    + 2 + 3 + 3 2

    = 6 + m/s

    b)

    c) = + +

    =1

    2

    3 2

    =1

    2rad/s

    d) =

    +

    +

    = 0

    possivelmente incompressvel

  • Resumo

    Translao:

    Rotao:

    Deformao angular (distoro):

    Deformao linear:

    Taxa de dilatao volumtrica:

    =

    =

    +

    +

    +

    =1

    2

    =

    +

    =

    1

    =

  • Eq. do Momentum

  • =

    Quantidade de movimento linear:

    =

    Em uma partcula fluida:

    =

    =

    V = V

    = V

    V=

    =

    +

    +

    +

    aceleraototal

    aceleraoconvectiva

    aceleraolocal

    V=

    +

    +

    +

    2 Lei de Newton:

  • Quantidade de movimento linear: Em uma partcula

    fluida:

    V=

    +

    +

    +

    Foras de campo

    Foras de contato

    Foras viscosas

    Foras de presso

    = = V

    V=

    : : :

    =

    V = V

  • Quantidade de movimento linear:

    Foras de campo

    Foras de contato

    Foras viscosas

    Foras de presso

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

    face direo

    Em uma partcula fluida:

    V=

    +

    +

    +

    V=

  • em x:

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

    Quantidade de movimento linear:

    Foras de campo

    Foras de contato

    Foras viscosas

    Foras de presso

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    Em uma partcula fluida:

    V=

    +

    +

    +

    V=

  • Quantidade de movimento linear:

    Foras de campo

    Foras de contato

    Foras viscosas

    Foras de presso

    +

    +

    +

    = +

    = +

    = +

    Em uma partcula fluida:

    V=

    +

    +

    +

    em x:

    V=

  • =

    +

    +

    VV

    =

    +

    +

    Quantidade de movimento linear:

    Foras de campo

    Foras de contato

    Foras viscosas

    Foras de presso

    = +

    = +

    = +

    = lim0

    +

    = lim0

    +

    = lim0

    +

    =

    V

    V

    =

    V

    =

    V

    Em uma partcula fluida:

    V=

    +

    +

    +

    em x:

    V=

  • Quantidade de movimento linear:

    Foras de campo

    Foras de contato

    Foras viscosas

    Foras de presso

    V

    =

    +

    +

    V

    =

    +

    +

    V

    =

    +

    +

    em x:

    em y:

    em z:

    V=

    Em uma partcula fluida:

    V=

    +

    +

    +

  • Quantidade de movimento linear:

    Foras de campo

    Foras de contato

    Foras viscosas

    Foras de presso

    V

    =

    +

    +

    V

    =

    +

    +

    V

    =

    +

    +

    em x:

    em y:

    em z:

    V=

    Em uma partcula fluida:

    V=

    +

    +

    +

    x

    y

    z

    dz

    dx

    dy

    +

    em x:

    +

    = +

    =

    = lim0

    +

    =

    V

    =

    V

  • Quantidade de movimento linear:

    Foras de campo

    Foras de contato

    Foras viscosas

    Foras de presso

    V

    =

    +

    +

    V

    =

    +

    +

    V

    =

    +

    +

    em x:

    em y:

    em z:

    V=

    Em uma partcula fluida:

    V=

    +

    +

    +

    em x:V

    =

    V

    =

    em