Autovalores V0.2 V0 goldfeld/cursos/2008.1/alglin/slides/...Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld…

  • Published on
    24-Dec-2018

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Introduo

Quando v e T v so paralelos?Qual direo preservada por T?

Exemplo

T uma reflexo em torno do eixo-x = T (x , y) = (x ,y).

Incluir Figura: relexo em torno do eixo-x

T (1, 0) = (1, 0)T (0, 1) = (0, 1)

} direes preservadas

T (1, 1) = (1,1)T (2, 3) = (2,3)

} direes no preservadas

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplos

Exemplo

T uma rotao de 90 = T (x , y) = (y ,x).

Incluir Figura: rotao de 90 graus

Nenhuma direo preservada!

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplos

Exemplo

T uma rotao de 90 = T (x , y) = (y ,x).

Incluir Figura: rotao de 90 graus

Nenhuma direo preservada!

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplos

Exemplo

T uma rotao de 90 = T (x , y) = (y ,x).

Incluir Figura: rotao de 90 graus

Nenhuma direo preservada!

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autovalor e Autovetor

Definio

Seja T : V V TL. Dizemos que0 6= v V autovetor associado ao autovalor se Tv = v.

Observao

pode ser zero, mas v no!(Se v = 0, ento Tv = v .)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autovalor e Autovetor

Definio

Seja T : V V TL. Dizemos que0 6= v V autovetor associado ao autovalor se Tv = v.

Observao

pode ser zero, mas v no!(Se v = 0, ento Tv = v .)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autovalor e Autovetor

Definio

Seja T : V V TL. Dizemos que0 6= v V autovetor associado ao autovalor se Tv = v.

Observao

pode ser zero, mas v no!(Se v = 0, ento Tv = v .)

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Definio Autoespao

Se T v = v ento T v v = T v (I)v = 0.

Logo (T I)v = 0.

Portanto v N(T I).

Definio

O autoespao associado a N(T I).

Observao

autoespao assoc. a = {autovetores assoc. a } {0}

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaos?

Dado , calculamos seu autoespao: N(T I).

Mas como encontrar um autovalor ?

T v = v, v 6= 0 (T I)v = 0, v 6= 0

N(T I)no trivial det(T I) = 0

De fato, autovalor de T s.s.s. det(T I) = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaos?

Dado , calculamos seu autoespao: N(T I).

Mas como encontrar um autovalor ?

T v = v, v 6= 0 (T I)v = 0, v 6= 0

N(T I)no trivial det(T I) = 0

De fato, autovalor de T s.s.s. det(T I) = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaos?

Dado , calculamos seu autoespao: N(T I).

Mas como encontrar um autovalor ?

T v = v, v 6= 0 (T I)v = 0, v 6= 0

N(T I)no trivial det(T I) = 0

De fato, autovalor de T s.s.s. det(T I) = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaos?

Dado , calculamos seu autoespao: N(T I).

Mas como encontrar um autovalor ?

T v = v, v 6= 0 (T I)v = 0, v 6= 0

N(T I)no trivial det(T I) = 0

De fato, autovalor de T s.s.s. det(T I) = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaos?

Dado , calculamos seu autoespao: N(T I).

Mas como encontrar um autovalor ?

T v = v, v 6= 0 (T I)v = 0, v 6= 0

N(T I)no trivial det(T I) = 0

De fato, autovalor de T s.s.s. det(T I) = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaos?

Dado , calculamos seu autoespao: N(T I).

Mas como encontrar um autovalor ?

T v = v, v 6= 0 (T I)v = 0, v 6= 0

N(T I)no trivial det(T I) = 0

De fato, autovalor de T s.s.s. det(T I) = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Como calcular autovalores e autoespaos?

Dado , calculamos seu autoespao: N(T I).

Mas como encontrar um autovalor ?

T v = v, v 6= 0 (T I)v = 0, v 6= 0

N(T I)no trivial det(T I) = 0

De fato, autovalor de T s.s.s. det(T I) = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaos de

T (x , y) =[

1 11 1

] [xy

].

1 det(A I) = det[

(1 ) 11 (1 )

]= (1 )2 1

= ( 0)( 2).2 Calculando autoespao para = 0:

Resolvemos o sistema (A 0I)x = 0.3 Calculando autoespao para = 2:

Resolvemos o sistema (A 2I)x = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaos de

T (x , y) =[

1 11 1

] [xy

].

1 det(A I) = det[

(1 ) 11 (1 )

]= (1 )2 1

= ( 0)( 2).2 Calculando autoespao para = 0:

Resolvemos o sistema (A 0I)x = 0.3 Calculando autoespao para = 2:

Resolvemos o sistema (A 2I)x = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaos de

T (x , y) =[

1 11 1

] [xy

].

1 det(A I) = det[

(1 ) 11 (1 )

]= (1 )2 1

= ( 0)( 2).2 Calculando autoespao para = 0:

Resolvemos o sistema (A 0I)x = 0.3 Calculando autoespao para = 2:

Resolvemos o sistema (A 2I)x = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaos de

T (x , y) =[

1 11 1

] [xy

].

1 det(A I) = det[

(1 ) 11 (1 )

]= (1 )2 1

= ( 0)( 2).2 Calculando autoespao para = 0:

Resolvemos o sistema (A 0I)x = 0.3 Calculando autoespao para = 2:

Resolvemos o sistema (A 2I)x = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaos de

T (x , y) =[

1 11 1

] [xy

].

1 det(A I) = det[

(1 ) 11 (1 )

]= (1 )2 1

= ( 0)( 2).2 Calculando autoespao para = 0:

Resolvemos o sistema (A 0I)x = 0.3 Calculando autoespao para = 2:

Resolvemos o sistema (A 2I)x = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 25

AutovaloresV0.2 V0.3

MotivandocomGeometria

Definio

Calculando

AplicaesDiagonalizao

Potncia/Exponencialde Matriz

Exemplo

Exemplo

Calcule os autovalores e autoespaos de

T (x , y) =[

1 11 1

] [xy

].

1 det(A I) = det[

(1 ) 11 (1 )

]= (1 )2 1

= ( 0)( 2).2 Calculando autoespao para = 0:

Resolvemos o sistema (A 0I)x = 0.3 Calculando autoespao para = 2:

Resolvemos o sistema (A 2I)x = 0.

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 25

Autov...

Recommended

View more >