BAB 1 Besaran Dan Analisis Dimensi

  • Published on
    07-Jan-2016

  • View
    69

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika

Transcript

  • Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com

    1

    1. Besaran dan analisis dimensi

    1.1 Pendahuluan mekanika Newton Mekanika Newton adalah studi konsep gerak benda dan gaya. Mekanika merupakan salah satu

    ilmu tertua dan sangat menarik untuk dipelajari. Mekanika digunakan di semua ukuran benda, mikroskopik dan makroskopik, seperti gerak elektron dalam atom dan gerak planet dalam ruang angkasa. Mekanika dapat dibagi menjadi tiga bagian: kinematika, dinamika dan statika. Kinematika mempelajari gerak benda tanpa meninjau gaya sebagai penyebab gerak benda. Kinematika membahas hubungan posisi, kecepatan, percepatan dan waktu. Dinamika mempelajari gerak benda dengan meninjau gaya sebagai penyebab gerak. Statika mempelajari benda diam dalam pengaruh gaya.

    Mekanika telah dimulai sejak zaman purbakala. Mekanika newton didasarkan oleh kebutuhan untuk menjelaskan gerak benda-benda di bumi berhubungan dengan eksperimen gerak benda jatuh bebas oleh Galileo Galilei (1642-1564), dan gerak benda-benda langit berhubungan dengan hasil observasi gerak planet-planet oleh Nicolas Copernicus (1543-1473), Tyco Brache (1546-1601) dan Johannes Kepler (1571-1630). Mekanika Newton dirumuskan oleh Sir Isaac Newton (1642-1727) pada tahun 1687 dalam buku Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Newton merumuskan hukum gerak Newton untuk menjelaskan gerak benda-benda di bumi dan hukum gravitasi Newton untuk menjelaskan gerak planet-planet. Newton sebagai salah satu ilmuwan besar yang memiliki peranan penting dalam perkembangan sains dan teknologi saat ini. 1.2 Besaran

    Besaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur, memiliki nilai dan satuan standar. Berdasarkan

    satuan, besaran dibedakan menjadi dua bagian, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Besaran pokok adalah besaran yang satuannya telah didefenisikan terlebih dahulu. Pada tahun 1971 dalam pertemuan Bereau of weight and measure di Prancis disepakati tujuh besaran pokok seperti pada Tabel 1.1 dan dua besaran tambahan, yaitu sudut datar satuannya radian (rad) dan sudut ruang satuannya steradian (sr). Radian digunakan sebagai satuan sudut. Steradian digunakan untuk menyatakan intensitas cahaya dalam ruang. Dua besaran tambahan ini tidak memiliki dimensi. Besaran turunan adalah besaran yang satuannya disusun oleh satuan besaran pokok. Contoh besaran turunan adalah kecepatan, percepatan, luas, volume, gaya, momen gaya, momentum, impuls, tekanan, daya, kerja , dan frekuensi.

    Tabel 1.1 : Daftar besaran pok ok

    Besaran pokok Satuan Simbol Satuan Dimensi Panjang meter m [L]

    Massa kilogram kg [M]

    Waktu sekon (detik) s (det) [T]

    Kuat arus listrik ampere A [I]

    Suhu kelvin K []

    Intensitas cahaya candela Cd [J]

    Jumlah zat mol N [N]

    1.3 Satuan

    Satuan adalah ukuran yang menjadi acuan standar dari nilai sebuah besaran. Besaran tanpa satuan tidak memiliki arti. Karena itu, kita harus menuliskan satuan pada setiap besaran fisika. Ada beberapa besaran fisika yang tidak memiliki satuan seperti koefisien gesek, koefisien restitusi dan indeks bias.

    1.3.1 Sistem satuan Sistem satuan yang umum digunakan dalam mekanika : 1. Sistem mks atau sistem metrik

  • Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com

    2

    Sistem ini menggunakan satuan panjang adalah meter, satuan massa adalah kilogram , dan satuan waktu adalah sekon.

    2. Sistem cgs atau sistem gaussian Sistem ini menggunakan satuan panjang adalah centimeter, satuan massa adalah gram , dan satuan waktu adalah sekon.

    3. Sistem British Sistem satuan ini digunakan di Inggris, Amerika Serikat dan beberapa negara di Eropa. Satuan panjang adalah kaki (foot), satuan massa adalah slug, satuan waktu adalah sekon. Contoh konversi satuan British adalah 1 foot (1 kaki) = 0,3048 m dan 1 slug = 14,59 kg.

    4. Sistem Satuan Internasional Sistem Satuan Internasional (SI) digunakan setelah pertemuan Bereau of weight and measure di Prancis. Sistem ini adalah bentuk pengembangan dari sistem metrik. Sistem SI menggunakan satuan besaran pokok dalam Tabel 1.1.

    Defenisi satuan besaran pokok untuk besaran panjang, massa dan waktu. a. Satu sekon adalah interval waktu dari 9.192.631.770 kali waktu getar atom Cesium-133. b. Satu meter adalah jarak yang ditempuh oleh cahaya di ruang hampa dalam waktu 1/299.792.458

    sekon. c. Satu kilogram adalah massa sebuah silinder platinum-iridium yang disimpan di Serves Prancis.

    Tabel 1.2 menunjukkan awalan dari satuan SI. Kita akan menggunakan awalan satuan untuk menyatakan hasil pengukuran yang memiliki orde sangat besar dan sangat kecil.

    Tabel 1.2 : Awalan satuan S I

    Faktor Awalan Simbol 10

    24 yotta- Y

    1021

    zetta- Z 10

    18 exa E

    1015

    peta- P 10

    12 tera- T

    109 giga- G

    106

    mega- M

    103 kilo- k

    102

    hekto- h 10

    1 deka- da

    10-1

    desi- d 10

    -2 centi- c

    10-3

    milli- m 10

    -6 mikro-

    10-9

    nano- n 10

    -12 piko- p

    10-15

    femto- f 10

    -18 atto- a

    10-21

    zepto- z 10

    -24 okto- y

    1.3.2 Konversi satuan

    Kita sering melakukan konversi satuan besaran fisika dalam penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian besaran dalam perhitungan fisika. Contohnya: 1 jam = 60 menit = 3600 detik, kita dapat menuliskan

  • Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com

    3

    1jam1

    3600detik dan

    3600detik1

    1jam

    Faktor 1 jam/3600 detik dan 3600 detik/1 jam disebut faktor konversi. Untuk mengubah suatu satuan ke bentuk satuan yang lain, kita harus mengalikannya dengan faktor konversinya.

    Sebaiknya anda memilih salah satu sistem satuan sebelum memulai melakukan perhitungan.

    Perbandingan satuan yang sama akan saling menghilangkan satu sama lain. Sebagai contoh, sebuah benda bergerak dengan kecepatan konstan 54 km/jam selama 20 menit. Pertama, kita mengubah satuan waktu dalam jam.

    1jam 120menit =(20 menit ) jam

    60 menit 3

    Jarak yang ditempuh oleh benda adalah

    km 154 jam=18km

    jam 3s vt

    Kita juga dapat mengubah satuan SI ke dalam satuan British menggunakan faktor konversinya.

    Contoh 1.1 : Ubahlah sistem satuan di bawah ini ke dalam sistem SI! a. 1 dyne = 1 gr. cm/s2 b. 1 slug / kaki3

    Pembahasan:

    a. 5 52 2 2

    gr cm gr cm 1kg 1m kg m1 1 10 10 N

    1000gr 100cms s s

    b. 1 slug = 14,59 kg, 1 kaki = 0, 3048 m atau 1 kaki3 = 0,02832 m3 3

    53 3 3 2 3

    slug slug 14,59kg 1kaki kg m kg1 1 10 515,2

    1slugkaki kaki 0,02832m s m

    Contoh 1.2 : Sebuah bak mandi berbentuk kubus panjang rusuk 10 kaki. Air mengalir ke dalam bak mandi melalui kran dengan kelajuan 0,1 liter/detik. Jika mula-mula bak mandi kosong, hitunglah waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi sampai penuh!

    Pembahasan:

    Panjang rusuk bak mandi adalah 0,3048m

    10 kaki 10kaki 3,048m1kaki

    s

    .

    Volume bak mandi adalah 33 3 33,048m 28,31683m 28316,83dm 28316,83LV s .

    Ingat bahwa 1 dm3 = 1 L. Waktu yang dibutuhkan untuk mengisi bak mandi sampai penuh:

    s28316,83 L 0,1 2832 s=47,2menit

    Lt

    1.4 Analisis dimensi Dimensi sebuah besaran menunjukkan cara suatu besaran itu tersusun dari besaran-besaran

    pokok. Lihat kembali Tabel 1.1, lambang [ ] menunjukkan simbol dimensi besaran. Besaran panjang

    memiliki dimensi L, massa memiliki dimensi M, dan waktu memiliki dimensi T. Kita dapat menentukan dimensi besaran-besaran turunan dari satuan besaran-besaran pokok penyusunnya. Satuan

    km km 1000m 1jam m36 =(36 ) 10

    jam jam km 3600s s

    3600detik0,5 jam=(0,5 jam) 1800detik

    jam

  • Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com

    4

    kecepatan adalah m/s, maka dimensi kecepatan adalah L/T =LT-1

    . Dimensi besaran diperoleh dengan menguraikan satuannya ke dalam satuan SI. Satuan gaya adalah Newton atau setara dengan kg.m/s

    2,

    maka dimensi gaya adalah 2MLT .

    Contoh 1.3 : Tentukanlah dimensi besaran fisika di bawah ini, a. percepatan b. momentum c. tekanan d. konstanta gravitasi.

    Pembahasan: a. Satuan percepatan (a) adalah m/s2. Jadi, [a] = LT-2.

    b. Momentum adalah perkalian massa dan kecepatan, p mv . Satuan momentum adalah kg.m/s.

    Jadi, [p] = MLT-1

    . c. Tekanan adalah gaya persatuan luas, P=F/A. Satuan tekanan adalah N/m2 = kg.m-1.s-2. Jadi, [P] =

    ML-1

    T-2

    . d. Rumus gaya gravitasi adalah F = Gm1m2/r

    2 . Konstantan gravitasi dinyatakan oleh G = F r

    2/m1m2 .

    Satuan konstanta gravitasi G adalah Nm2/kg

    2 = m

    3/s

    2kg. Jadi, [G] = M

    -1 L

    3T

    -2.

    Tabel 1.3 : Daftar dimensi besaran-besaran mekanika

    Besaran Rumus Satuan MKS Dimensi

    Luas A p l m2

    2L

    Volume V p l t m3

    3L Massa jenis m V -3kg m 3ML

    Kecepatan v dx dt m/s 1LT

    Percepatan 2a d x dt m/s2 2LT

    Gaya F ma -2kg m s N 2MLT

    Momentum linear p mv -1kg m s 1MLT

    Impuls I F t p -1kg m s =N s 1MLT

    Energi kinetik 212

    Ek mv 2 -2kg m s J 2 2ML T

    Energi potensial gravitasi Ep mgh 2 -2kg m s J 2 2ML T

    Energi potensial pegas 212

    Ep kx 2 -2kg m s J

    2 2ML T

    Usaha W F x EK 2 -2kg m s J 2 2ML T

    Daya P W t 2 -3kg m s J s 2 3ML T

    Tekanan p F A

    2 -1 -2N m = kg m s

    2 3ML T

    Frekuensi 1f T s-1

    = hertz= Hz 1T

    Kecepatan angular 2 f -1rad s 1T

    Percepatan angular 0 t -2rad s 2T

    Momen inersia partikel 2I mr

    2kg m 2ML

    Momen gaya (Torsi) sinI rF

    2 2kg m N ms 2 2ML T

    Momentum sudut L I mvr 2 1kg m s 2 1ML T

    Tiga manfaat analisis dimensi :

  • Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com

    5

    a. Mengetahui kesetaraan dua buah besaran

    Dua buah besaran setara jika dua besaran tersebut memiliki dimensi yang sama. Contoh dua buah besaran yang setara adalah usaha dan energi kinetik. Analisis dimensi sebagai alat untuk menentukan kebenaran hasil perhitungan. Jawaban harus memiliki dimensi yang setara atau sama dengan besaran yang ditanyakan dalam soal. Sangat penting untuk memeriksa dimensi jawaban akhir setelah selesai mengerjakan soal. Jika dimensi jawaban berbeda, maka sebaiknya anda mengulang mengerjakan soal tersebut dengan lebih teliti.

    .

    Contoh 1.5 : Seorang siswa menyelesaikan soal-soal fisika mendapatkan jawaban akhir :

    i. 1

    1 2

    sin 2m yt

    m m g

    ii. 2

    m g pF

    t y t

    dimana waktu (t), gaya (F), massa (m), jarak (y), percepatan gravitasi (g), momentum (p). Tentukan jawaban yang benar secara dimensi!

    Pembahasan: Jawaban bagian (i) benar karena dimensi waktu (t) sama dengan dimensi jawaban akhir. Jawaban bagian (ii) salah karena dimensi gaya (F) sama dengan dimensi jawaban akhir. b. Memeriksa kebenaran persamaan gerak

    Kita hanya dapat melakukan penjumlahan atau pengurangan dua besaran yang memiliki dimensi yang sama. Setiap persamaan gerak harus memenuhi syarat kesamaan dimensi, artinya dimensi setiap suku dalam persamaan gerak harus sama. Jadi, setiap persamaan gerak harus konsisten dalam satuannya. Jika dimensi setiap suku persamaan ada yang berbeda maka persamaan tersebut salah. Sebuah persamaan posisi benda dinyatakan oleh x = v0t+ at

    2, dimensi x sama dengan v0t dan at

    2

    ,yaitu [L] . Karena dimensi setiap suku persamaan ini sama maka persamaan posisi benda x = v0t+ at

    2 benar secara dimensi.

    Contoh 1.4 : Perhatikan tiga persamaan berikut ini :

    i. 2 2x vt at

    ii. 212

    ma x mv Fx

    iii. 2 212

    2E p m kx

    di mana posisi x, kecepatan v, percepatan a , waktu t, massa m, momentum p, konstanta pegas k dan energi mekanik E. Tentukanlah persamaan-persamaan yang benar secara dimensi.

    Pembahasan: Tinjau persamaan (i) :

    2 2x vt at

    Dimensi ruas kiri adalah L

    Dimensi ruas kanan adalah 1 2 2 1LT T LT T LT LT . Dimensi setiap suku ada yang berbeda, maka persamaan (i) salah. Tinjau persamaan (ii) :

    212

    ma x mv Fx

    Dimensi ruas kiri adalah 22 1 2 2 2 2M LT L M LT ML T ML T

    Dimensi ruas kanan adalah 22 2MLT L ML T .

  • Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com

    6

    Dimensi setiap suku sama, maka persamaan (ii) benar. Tinjau persamaan (iii) :

    2 212

    2E p m kx

    Dimensi ruas kiri adalah 2 2ML T

    Dimensi ruas kanan adalah 2 2 22

    1 1 2 22MLT M MT L ML T ML T .

    Dimensi setiap suku persamaan adalah sama, maka persamaan (iii) benar. c. Membentuk sebuah persamaan fisika.

    Kita dapat mengetahui ketergantungan sebuah besaran fisis terhadap besaran lainnya

    menggunakan alat bantu analisis dimensi. Selanjutnya, kita akan mengetahui perbandingan antara besaran-besaran tersebut. Sebuah persamaan /rumus benar hanya jika dimensi ruas kanan sama dengan dimensi ruas kiri.

    Contoh 1.6 : Sebuah benda bermassa m bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan linear v dan jari-jari lintasan r. Tentukan gaya sentripetal Fs yang dialami oleh benda bergantung pada besaran m,v dan r ! Pembahasan: Kita dapat menuliskan :

    x y zsF k m v r

    dimana k adalah konstanta tidak berdimensi. Nilai x , y dan z diperoleh menggunakan analisis dimensi.

    Satuan gaya adalah kg.m/s2 : 2sF MLT

    .

    Satuan massa adalah kg : m M .

    Satuan kecepatan adalah m/s : 1v LT .

    Satuan jari-jari lintasan adalah m : r L .

    Gunakan syarat bahwa dimensi ruas kiri sama dengan dimensi ruas kanan. Kita peroleh hubungan:

    2 1yx z

    MLT M LT L

    2 x y z yMLT M L T Kita peroleh tiga buah persamaan :

    1, 1x y z dan 2y .

    Jadi, 1, 2x y dan 1z . Gaya sentripetal yang dialami oleh benda adalah

    2

    svF k mr

    Secara teoritik dapat dibuktikan bahwa nilai k = 1. Besar gaya sentripetal yang dialami oleh benda

    bergerak melingkar adalah 2

    svF mr

    . Gaya sentripetal berbanding lurus dengan massa, berbanding

    lurus dengan kuadrat kecepatan dan berbanding terbalik dengan jari-jari lintasan.

    1.5 Pendekatan limit khusus

    Pendekatan limit khusus akan membantu anda untuk penyelesaian kasus fisika yang lebih rumit. Metode ini sangat penting untuk dilakukan di akhir perhitungan untuk memeriksa apakah jawaban akhir yang anda peroleh benar untuk kondisi limit khusus. Langkah ini anda lakukan setelah memeriksa dimensi. Jawaban akhir yang anda peroleh benar jika pada limit kasus khusus juga benar. Pendekatan kasus khusus dilakukan dengan cara memilih kondisi massa benda sangat besar atau sangat kecil, tali sangat panjang, permukaan bidang licin atau sangat kasar, dan simpangan benda kecil. Metode ini akan membantu kita untuk melihat sifat s istem untuk kasus ekstrim. Pendekatan

  • Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com

    7

    kasus khusus juga akan memudahkan kita dalam menginterpretasikan makna fisis jawaban akhir. Pendekatan limit khusus sering dilakukan dengan pendekatan deret, misalnya deret binomial Newton, deret Taylor, dan deret Maclaurin. a. Deret binomial Newton

    Untuk setiap bilangan riil n dan |x| < 1 berlaku

    2 3

    ( 1) 2( 1)(1 ) 1

    2! 3!n

    n n nn nx nx x x

    (1.1)

    Contoh 1.7 :

    2 2 3 2 3

    ( 2) 3 4( 2)( 3)(1 ) 1 ( 2) 1 2 3 4

    2! 3!x x x x x x x

    31 1 1 11

    2 2 2 2 22 3 2 32( )( ) ( )( )( )1 1 1 1

    (1 ) 1 12 2! 3! 2 8 16

    x x x x x x x

    Hasil pendekatan khusus ketika x

  • Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com

    8

    b. 2 3(0) (0)

    ( ) sin (0) (0)2! 3!

    f ff x x f f x x x

    (4) (4)

    ( ) sin (0) 0

    ( ) cos (0) 1

    ( ) sin (0) 0

    ( ) cos (0) 1

    ( ) sin (0) 0

    f x x f

    f x x f

    f x x f

    f...