BAB II METODE DISTRIBUSI MOMEN - pada yahun 1930-an yang mana merupakan sumbangan penting yang pernah diberikan dalam analisis struktur balok menerus ... metode distribusi momen

  • Published on
    06-Feb-2018

  • View
    226

  • Download
    10

Embed Size (px)

Transcript

  • II-1

    BAB II

    METODE DISTRIBUSI MOMEN

    2.1 Pendahuluan

    Metode distribusi momen diperkenalkan pertama kali oleh Prof. Hardy

    Cross pada yahun 1930-an yang mana merupakan sumbangan penting yang

    pernah diberikan dalam analisis struktur balok menerus (continuous beam)

    dan portal (rigid frame). Dalam analisis permulaan (preliminary analyzes)

    dan perancangan suatu struktur sederhana atau bagian dari suatu struktur

    yang besar, metode ini merupakan metode yang sangat memuaskan untuk

    memudahkan dalam memberikan gambaran tentang repons struktur berupa

    gaya dan perubahan bentuk (deformation).

    2.2 Konsep Dasar

    Jika suatu struktur balok menerus menerima beban kerja atau penurunan

    pada tumpuan, rotasi pada sumbu batang yang tidak diketahui (unknown

    member-axis rotation) tidak terjadi dalam respon perubahan bentuknya.

    Akan tetapi, titi buhul portal dapat atau mungkin tidak mempunyai

    kebebasan dari jumlah translasi yang tidak diketahui. Meskipun metode

    distribusi momen dapat digunakan untuk untuk menganalisis portal dengan

    translasi yang tidak diketahui, namun diperlukan proses bertahap untuk

    menyelesaikannya. Oleh karena itu, berikut ini diberikan konsep dasar

    tentang dasar pemikiran bahwa suatu struktur tidak mempunyai rotasi

    sumbu batang yang tidak ketahui.

    Respon perubahan bentuk dari suatu balok menerus atau portal tanpa

    translasi titik buhul yang tidak diketahui dinyatakan dengan rotasi titik

    buhul yang belum diketahui yaitu B, C, dan D seperti ditunjukkan pada

    Gambar 2.1(a) dan (c). Secara fisika, hal ini dapat dimungkinkan bahwa

    momen pengunci (locking moment) dapat dikerjakan pada titik buhul B, C

  • II-2

    dan D untuk membuat kemiringannya relatif datar seperti ditunjukkan pada

    Gambar 2.1(b) dan (d). Pada kenyataannya, besar dan arah dari momen

    pengunci ini diketahui dari beban yang bekerja atau penurunan tumpuan.

    Jika momen pengunci pada salah satu titik buhul dilepas, maka titik buhul

    akan berotasi. Rotasi ini menyebabkan perubahan tidak hanya pada momen

    diujung batang dekat titik buhul yang dilepasm tetapi juga pada momen

    pengunci pada titik buhul bersebelahan dikedua ujung titik buhul yang

    dilepas tersebut. Jika masing-masing titik buhul dilepas secara berurutan

    dan dikunci kembali dan kemudian proses ini diulangi, suatu saat akan

    dicapai dimana setiap titik buhul mencapai suatu respon perubahan bentuk

    akhir yang tetap. Momen pengunci ini selanjutnya akan didistribusikan ke

    seluruh struktur pada masing-masing jumlah rotasi titik buhulnya, sehingga

    metode ini dinamakan sebagai distribusi momen.

    (a)

    (b)

    (c)

    (d) Gambar 2.1 Kondisi jepit dalam metode distribusi momen

    B C DA

    B C D

    E

    A B C D

    E

    A

    B

    C D

    E

    B

    A

    B

    C D

    E

    B

    C DB

  • II-3

    2.3 Angka Kekakuan dan Induksi (Stiffness and Carry-Over Factors)

    Untuk mengembangkan detail tentang prosedur metode distribusi momen,

    perlu diketahui beberapa hal yang akan dikemukakan berikut ini.

    Jika momen MA dikerjakan pada ujung sendi dari suatu balok yang

    memiliki momen inersia seragam, dimana menumpu pada sendi pada salah

    jungnya dan jepit di ujung lainnya seperti ditunjukkan pada Gambar 2.2(a),

    maka pada ujung sendi akan terjadi rotasi sebesar A dan momen MB pada

    ujung jepitnya.

    (a)

    (b)

    (c) Gambar 2. 2 Penentuan angka kekakuan dan angka induksi ujung jepit

    Diagram momen lentur balok tersebut dapat diuraikan menjadi seperti

    ditunjukkan pada Gambar 2.2(b) dan (c). Berdasarkan teorema balok

    konjugasi, besarnya B1 dan B2 dapat ditentukan dan B sama dengan nol.

    B = B1 B2 = EI3LM

    EI6LM BA = 0

    diperoleh :

    A MA

    MB A

    B

    L

    EI = konstan

    MA

    A1 B1EI3LM A

    EI6LM A

    MB

    A2 B2

    EI3LM B

    EI6LM B

  • II-4

    MB = AM21 (2.1)

    Selanjutnya dengan teorema balok konjugasi pula :

    A = A1 + A2 = EI6LM

    EI3LM BA + = 0

    Substitusi persamaan 2.1 ke dalam persamaan di atas akan diperoleh :

    MA = ALEI4

    (2.2)

    Jika selanjutnya ujung jauh jepit pada balok Gambar 2.2(a) diganti

    dengan ujunng sendi seperti pada hambar 2.3, dimana MB = 0 maka :

    MA = ALEI3

    (2.3)

    Gambar 2. 3 Angka kekakuan ujung sendi

    Selanjutnya, nilai dalam kurung dalam persamaan 2.2 dan 2.3 adalah

    angka kekakuan (stiffness factor) masing-masing untuk ujung jepit dan

    ujung sendi. Angka kekakuan ini didefinisikan sebagai momen di dekat

    ujung jauh (far-end moment) untuk menyebabkan satu unit rotasi di dekat

    ujung jauh. Kemudian nilai 21

    + dalam persaman 2.1 adalah angka induksi

    (carry-over factor) yang mana didefinisikan sebagai perbandingan momen

    pada ujung jauh jepit terhadap momen pada ujunng dekat yang mengalami

    rotasi.

    A MA A

    B

    L

    EI = konstan

    B

  • II-5

    2.4 Angka Distribusi (Distribution Factors)

    Angka distribusi dapat didefinsikan sebagai hasil bagi dari kekakuan suatu

    batang terhadap jumlah kekakuan batang-batang lainnya pada titik buhul

    yang bersangkutan.

    Jika terdapat beberapa batang suatu struktur pada titik buhul tertentu

    (gambar 2.4), akibat adanya rotaasi ujung-ujung batangnya akibat beban

    yang bekerja, momen pengunci (Mo) yang bekerja harus didistribusikan

    secara proporsional ke masing-masing batang sesuai dengan angka

    kekakuannya.

    Gambar 2. 4 Angka distribusi pada suatu struktur

    Persyaratan keseimbangan pada titik buhul A adalah :

    MAB + MAC + MAD Mo = 0

    Dimana momen-momen di titik A adalah :

    MAB = ( )

    AAB

    AB

    LEI4

    MAC = ( )

    AAC

    AC

    LEI4

    Mo

    A

    B

    C

    D

    A

    A

  • II-6

    MAD = ( )

    AAD

    AD

    LEI4

    Jika bahan struktur tersebut adalah sama, maka momen pengunci, Mo, dapat

    ditulis :

    Mo = 4EA

    ++

    AD

    AD

    AC

    AC

    AB

    AB

    LI

    LI

    LI

    Jika diambil bahwa LI = K, maka persamaan di atas dapat ditulis :

    Mo = 4EAK

    Atau :

    KM o = 4EA

    Sehingga momen ujung masing-masing batang yang melalui titik buhul A

    adalah :

    MAB = oAB MKK

    = (DF)AB Mo

    MAC = oABC MK

    K

    = (DF)AC Mo (2.4)

    MAD = oAD MKK

    = (DF)AD Mo

    Nilai KK,

    KK

    ,K

    K ADACAB selanjutnya disebut dengan angka distribusi

    (distribution factor/DF) masing-masing untuk batang AB, AC dan AD.

    Untuk memenuhi persyaratan keseimbangan pada titik buhul, jumlah angka

    distribusi pada suatu titik buhul adalah harus sama dengan satu.

    (DF)AB + (DF)AC + (DF)AD = 1

    2.5 Momen Ujung Jepit (Fixed End Moment)

    Jika suatu balok yang tumpuannya adalah jepit-jepit untuk melawan rotasi

    atau translasi menerima beban luar arah transversal, maka balok tersebut

  • II-7

    dinamakan dengan balok ujung jepit (fixed-end beam). Momen yang bekerja

    akibat beban luar ini disebut dengan momen ujung jepit (fixed-end moment).

    Beberapa nilai momen ujung jepit untuk balok prismatis diberikan pada

    Tabel 2.1.

    Tabel 2. 1 Beberapa momen ujungjepit (FEM)

    FEMAB Pembebanan FEMBA

    2

    2

    LPab

    - 22

    LbPa

    12wL2

    -12

    wL2

    30wL2

    -30

    wL2

    + 2

    22

    La3

    La86

    12wL

    -

    La34

    12wL2

    La35

    L60wa3

    -

    + 2

    22

    La3

    La1016

    60wa

    96wL5 2

    -96wL5 2

    - ( ) 2LMba2b

    - ( ) 2LMab2a

    ( )aLL

    Pa

    - ( )aLL

    Pa

    P

    La bA B

    w

    LA B

    w

    LA B

    w

    (L a)A Ba

    w

    (L a)A Ba

    w

    (L/2)A B(L/2)

    Ma

    A Bb

    L

    P

    L 2aa aA B

    P

  • II-8

    Tabel 2. 1 Beberapa momen ujungjepit (FEM) (Lanjutan)

    FEMAB Pembebanan FEMBA

    ( )

    2

    22

    L2bLPb

    8wL2

    128wL9 2

    128wL7 2

    2.6 Aplikasi Analisis Struktur Statis Tak Tentu Dengan Metode Distribusi Momen

    2.6.1 Struktur balok menerus

    Contoh 1. Tentukan diagram momen lentur dan gaya lintang dari struktur

    balok menerus seperti pada Gambar 2.5.

    Gambar 2.5 Contoh aplikasi metode distribusi momen untuk struktur balok menerus

    Prosedur analisis struktur balok dengan metode distribusi momen meliputi

    menentukan momen ujung jepit (FEM), angka kekakuan dan angka

    distribusi.

    Momen Ujung Jepit

    B

    P

    La bA B

    w

    LA

    w

    L/2A L/2

    w

    L/2A

    L/2

    24 t 3 t/m

    20 m 10 m 10 m

    C

    B

    A (3EI) (2EI)

  • II-9

    FEMAB = + ( )2203121

    = 100 t.m (berlawanan arah jarum jam)

    FEMBA = - ( )2203121

    = 100 t.m (searah jarum jam)

    FEMBC = + ( ) ( )222 1020202

    1024

    = 90 t.m (berlawanan arah jarum jam)

    FEMCB = 0(sendi)

    Angka Kekakuan

    Untuk memudahkan dalam penghitungan angka kekakuan dapat dilakukan

    dengan cara membandingkan relative antara angka kekakuan satu batang

    dengan batang-batang lainnya, sehingga disebut juga angka kekakuan

    relative. Dalam hal ini cukup hanya menghitung angka kekakuan dari

    batang-batang yang bertemu pada satu titik buhul.

    SFBA : = SFBC = ( )20

    EI34 : ( )20

    EI23 = ( )20EI12 : ( )

    20EI6 = 2 : 1

    Angka Distribusi

    DFBA = ( )122+

    = 0.67

    DFBC = ( )121+

    = 0.33

    Selanjutnya momen-momen pada tiap-tiap batang dihitung seperti

    disajikan dalam Tabel 2.2.

    Tabel 2.2 Proses penghitungan metode distribusi momen

    Titik Buhul A B C Batang AB BA BC CB Angka Distribusi (DF) - 0.67 0.33 - Tahapan 1 FEM +100 -100 +90 0 +6.6 +3.4 Induksi +3.3 Tahapan 2 - - - - Total Akhir +103.3 -93.4 +93.4 0

    Hasil penghitungan momen-momen ujung batang dan reaksi gaya

    akibat beban luar dapat digambarkan dalam diagram benda bebas (free

    body diagram) seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6.

    1/2

  • II-10

    (a)

    (b) Gambar 2. 6 Diagram benda bebas struktur balok menerus (a) akibat beban luar (b) akibat

    momen ujung

    Reaksi gaya pada tumpuan dan momen lentur dihitung dengan cara

    superposisi dari Gambar 2.6(a) dan (b).

    RA,V = 30 + 0.495 = 30.495 t.m

    RB,V = 30 0.495 +12 + 4.67 = 46.175 t.m

    RC,V = 12 4.67 = 7.33 t.m

    Kontrol resultante keseimbangan gaya arah vertikal :

    30.495 + 46.175 + 7.33 (30 x 20) 24 = 0 OK!

    (a)

    (b) Gambar 2. 7 (a) Diagram gaya lintang (b) Diagram momen lentur

    Momen lentur positif pada bentang AB ditentukan pada jarak x dari

    tumpuan A dimana gaya lintangnya adalag nol, sebagai berikut :

    103.3

    B A B C

    24 t 3 t/m

    B A B C

    93.4 93.4

    12 1230 30

    0.495 0.495 4.67 4.67

    30.495

    29.505

    16.67

    7.33 (-)(-)

    (+) (+)

    A B C

    D

    E

    103.3 93.4

    x

    (+) (+)

    (-) (-)

    73.351.69

  • II-11

    SFx = RA,V q.x = 0 x = 3495.30

    qR V,A = = 10.165 m (dari tumpuan A)

    Maka :

    Mx = RA,V.x 2x.q 2 + MAB

    = (30.495 x 10.165) - ( )2

    165.103 2 - 103.3 = +51.691 T.m

    Sedangkan momen lentur positif pada bentang BC (titik E : ditengah

    bentang) ditentukan sebagai berikut :

    ME = RB,V(kanan).2L + MAB = (16.67 x 10) 93.4 = +73.3 T.m

    2.6.2 Struktur balok menerus pada perletakan elastis

    Bila suatu struktur balok dengan konstruksi seperti pada Gambar 2.8

    dimana pada perletakan diujung C dapat dianalogikan bahwa balok

    tersebut didukung oleh perletakan elastik seperti pada Gambar 2.9.

    (a)

    (b) Gambar 2. 8 Struktur balok menerus di atas perletakan elastik

    Dalam hal ini letak ujung C akan dipengaruhi oleh defleksi batang DE.

    Bila ujung C terletak di tengah batang DE, maka angka pegas (spring

    BA

    C

    LAB LBC

    P1 P2

    BA D, E D E

    C

    LAB LBC LDE

    P1 P2

  • II-12

    constant) ddiberikan dalam persamaan 2.5a. namun, ujung C dapat pula

    didukung oleh suatu batang dari atas (tie-rod), maka keadaan demikian ini

    mempunyai angka pegas seperti disajikan dalam persamaan 2.5b.

    t = ( )3LEI48 (2.5a)

    t = ( )L

    AE (2.5b)

    (a)

    (b)

    (c)

    Gambar 2. 9 Analogi balok di atas perletakan elastik

    Bila defleksi ujung C belum diketahui, maka analisis balok pada

    Gambar 2.9(a) merupakan superposisi dari dua tahap seperti pada Gambar

    2.9(b) dan (c) dan diberikan dalam persamaan 2.6. Pada tahap pertama

    reaksi pada perletakan di C ditentukan terhadap beban luar (Gambar

    2.9(b)), selanjutnya beban luar ini tidak diperhitungkan dalam tahap kedua

    dimana reaksi pada tumpuan C ditentukan berdasarkan hanya akibat

    defleksi.

    RC =t.C

    C = n1C

    RC =ROC + n1RC (2.6)

    A

    B

    C

    P1 P2

    t C

    RC

    A

    B

    C

    P1 P2

    ROC

    A

    B C'C

    RC

  • II-13

    Dan nilai n1 yang belum diketahui dapat dihitung sebagai berikut :

    t C = ROC + n1RC

    t n1C = ROC + n1RC (2.6a)

    n1(RC - t.C )+ ROC = 0

    n1 = CC

    oC

    'R'.tR

    (2.6b)

    Maka momen akhir total adalah :

    M = Mo + n1 M (2.7)

    Contoh 2. Tentukan momen dan reaksi pada tumpuan dari struktur balok

    menerus seperti pada Gambar 2.10.

    E = 20 x 106 kN/m2; I = 2 x 10-3 m4

    Tahap I: diasumsikan bahwa tidak terjadi defleksi pada ujung C dan

    dalam penghitungan momen ujung jepit hanya akibat beban luar.

    FEMBA = ( )261081

    = -45 kN.m

    FEMBC = ( )63081

    + ( )

    + 63081

    21 = +33.75 kN.m

    Angka kekakuan :

    SFBA : SFBC = ( )6EI3 : ( )

    6EI3 = 1 : 1

    Angka distribusi :

    DFBA = 111+

    = 0.5

    DFBC = 111+

    = 0.5

    A B

    C

    10 kN/m 30 kN

    t = 5 x103 kN/m

    6 m 3 m 3 m

    (EI) (EI)

  • II-14

    Tabel 2.3 Proses penghitungan metode distribusi momen Tahp I

    Titik Buhul A B C Batang AB BA BC CB Angka Distribusi (DF) - 0.5 0.5 - Tahapan 1 FEM 0 -45 +33.75 0 +5.625 +5.625 - - - - Jumlah Mo 0 -39.375 +39.375 0

    Gambar 2. 10 Diagram benda bebas Tahap-I

    RoC = 6375.39

    230

    = +8.4375 kN

    Tahap II: diasumsikan bahwa defleksi pada ujung C, C = 1 cm (= 0.01

    m) dan dalam penghitungan momen ujung jepit beban luar tidak dihitung

    lagi.

    FEMBC = ( ) ( )( )( )

    2

    36

    2C

    601.010210203

    L'EI3

    +=+

    = +33.33 kN.m

    Tabel 2.4 Proses penghitungan metode distribusi momen Tahap II

    Titik Buhul A B C Batang AB BA BC CB Angka Distribusi (DF) - 0.5 0.5 - Tahapan 1 FEM 0 +33.333 0 -16.667 -16.667 - - - - Jumlah M 0 -16.667 +16.667 0

    Gambar 2. 11 Diagram benda bebas Tahap II

    RC = 6667.16

    = -2.778 kN

    A C BB

    10 kN/m 30 kN39.375 39.375

    36.5625 21.562523.4375 RoC = 8.4375

    A C BB

    16.667 16.667

    2.778 2.7782.778 RC = 2.778

  • II-15

    Menggunakan persamaan 2.6(a) diperoleh :

    n1 = ( ) ( )778.201.050004375.8

    + = 0.16

    Momen akhir total dihitung menggunakan persamaan 2.7 :

    MBA = MoBA + n1 MBA = -39.375 + (0.16)(-16.667) = -42.0395 kN

    MBC = MoBC + n1 MBC = +39.375 + (0.16)(16.667) = +42.0395 kN

    Gambar 2. 12 Diagram benda bebas Contoh-2

    2.6.3 Struktur dengan penurunan pada perletakan

    Metode distribusi momen dapat juga digunakan untuk menganalisis

    struktur balok atau portal yang mengalami penurunan pada perletakannya

    (support settlemennt). Akibat dari penurunan atau perpindahan posisi pada

    perletakan ditunjukkan pada Gambar 2.13.

    Gambar 2. 13 Kontruksi portal akibat penurunan pada perletakan

    A C BB

    10 kN/m 30 kN 42.04 42.04

    37.007 22.00722.993 7.993

    A B C

    D

    E

    B

    Ev

    v

    h

    P1 Pn

    (EI)

    (EI)

    (EI)

    (EI)

    hAD hBE

    LAB LBC

  • II-16

    Akibat perpindahan posisi perletakan E, baik vertikal dan horisontal,

    terjadi momen ujung yang dapat digambarkan seperti pada Gambar 2.14.

    Ujung B mengalami penurunan sebesar D, untuk kedua ujung adalah

    terkekang (jepit) momen ujung yang ditentukan seperti pada persamaan

    2.8a, dimana momen ujung B (MB) adalah sama besar dan arahnya dengan

    MA. Sementara bila salah satu ujungnya adalah sendi (Gambar 2.14b),

    momen ujung diberikan pada persamaan 2.8b.

    (a)

    (b) Gambar 2. 14 Konsep balok akibat penurunan pada perletakan

    MA = MB =( )

    2LEI6

    + (2.8a)

    MB =( )

    2LEI3

    (2.8b)

    Contoh 3. Gambarkan diagram gaya lintang, momen lentur dan gaya

    normal dari konstruksi portal seperti pada Gambar 2.15. Perletakan E

    mengalami perpindahan posisi vertikal (v)10 cm dan perletakan D

    bergeser (h) 2.5 cm ke kiri. Nilai modulus elastisitas (E) bahan 2 x 108

    kN/m2, dan momen inersia penampang (I) 6 x 10-5 m4.

    Angka kekakuan :

    SFAD = ( )

    6EI8

    6EI24

    =

    A B

    (EI)

    L

    V

    V

    MA(+) MB(+)

    B C

    (EI)

    LMB(-)

  • II-17

    Gambar 2. 15 Kontruksi portal akibat penurunan pada perletakan untuk Contoh 3

    SFAB = SFBA = ( )

    6EI4

    12EI24

    =

    SFBC = ( )

    6EI

    12EI2...

Recommended

View more >