Bab v. Analisis Dimensi Dan Keserupaan-syer

  • Published on
    17-Oct-2015

  • View
    77

  • Download
    3

Embed Size (px)

Transcript

BAB VANALISIS DIMENSI DAN KESERUPAANA. PENDAHULUANMateri pembelajaran pada bab ini menguraikan tentang Analisa Dimensi dan Keserupaan. Materi ini menjelaskan azas keserbasamaan dimensi, persamaan-ipersamaan dasar tak berdimensi, teorema Pi, pembangunan model dan hal-hal yang perlu diperhatikan. Penguasaan materi ini akan membantu mahasiswa dalam menyelesaikan masalah pada matakuliah lanjutan seperti Disain kapal I, pembuatan model kapal, Tahanan dan Propulsi kapal sehingga dituntut kemampuan menyelesaikan masalah-masalah Mekanika fluida . Untuk mencapai kemampuan mahasiswa yang efektif/efisien akan dirancang proses pembelajaran yang inovatif bernuansa learning.

Sasaran pembelajaran pada bab ini , mahasiswa mampu menghitung dan menganalisa dimensi prototype dan mampu memaparkan kesamaan model dan prototype secara selektif. Bentuk pembelajaran dalam bentuk kuliah dibarengi dengan pemberian tugas mandiri dan dipresentasikan, di mana sebagai pendahuluan mahasiswa perlu dijelaskan materi pembelajaran agar sasaran pembelajaran secara keseluruhan tercapai setelah mempelajari matakuliah ini.

B. MATERI PEMBELAJARAN I.ANALISIS DIMENSIPada dasarnya analisis dimensi ialah suatu metode untuk mengurangi jumlah kerumitan variabel eksperimental yang mempengaruhi gejala fisika tertentu, dengan menggunakan semacam teknik peringkasan. Kalau suatu gejala tergantung pada n variabel berdimensi, analisis dimensi akan menyederhanakan soal itu sehingga hanya tergantung pada k variabel tak berdimensi, sedang pengurangannya n k = 1,2,3 atau 5 tergantung pada kesulitan soalnya. Pada umumnya n k sama dengan jumlah dimensi yang berbeda (kadang-kadang disebut dimensi pokok, atau utama, atau dasar) yang menguasai soal tersebut. Dalam

mekanika fluida, keempat dimensi dasar itu ialah massa M, panjang L, waktu T, dan suhu atau singkatannya suatu sistem MLT. Kadang-kadang dipakai sistem FLT, dengan gaya F sebagai pengganti massa.

Meskipun maksudnya untuk mengurangi variable dan mengelompokkan dalam bentuk tak berdimensi, namun analisis dimensi mempunyai beberapa keuntungan sampingan. Yang pertama ialah penghematan waktu dan biaya yang amat banyak. Misalkan kita mengetahui bahwa gaya F pada benda tertentu yang terbenam di dalam aliran fluida hanya akan

tergantung pada panjang L benda itu, kecepatan aliran U, rapat fluida dan kekentalan F f ( L.U . . )

. (5.1)Pada umumnya diperlukan sekitar 10 titik eksperimental untuk menentukan sebuah kurva. Untuk menentukan pengaruh panjang benda L kita harus melakukan percobaan itu dengan 10 macam panjang. Untuk masing-imasing panjang itu kita akan memerlukan 10 nilai untuk V,

10 nilai untuk dan 10 nilai untuk , sehingga total 10.000 percobaan. Kalau biaya Rp.5000 per percobaan nah anda tahu permasalahannya. Tetapi dengan analisis dimensi kita dapat

segera menyederhanakan persm. (5-1) menjadi bentuk yang setara.F VL V 2 L2

g Atau,

C g Re

. (5-2)

Artinya, koefisien gaya tak berdimensi F/v2 L2 hanya merupakan fungsi bilangan Reynolds tak berdimensi VL/.Keuntungan sampingan yang kedua dari analisis dimensi ialah cara ini membantu mengarahkan pemikiran dan perencanaan kita, baik mengenai percobaan maupun secara teoritis. Cara ini menunjukkan jalan tak berdimensi untuk menuliskan persamaannya. Analisis dimensi menunjukkan variable-variabel mana yang disingkirkan. Kadang-kadang analisis dimensi akan langsung menolak variabel-variabel itu tidak penting. Akhirnya analisis

dimensi sering memberikan pandangan mengenai bentuk hubungan fisika yang sedang kita pelajari.

Keuntungan yang ketiga ialah bahwa analisis dimensi memberikan hukum penyekalaan yang dapat mengalihkan data dari model kecil yang murah ke informasi rancang bangun untuk membuat prototype yang besar dan mahal. Kita tidak membangun pesawat udara seharga satu milyard rupiah untuk melihat apakah pesawat itu memiliki gaya bubung yang cukup. Kita mengukur gaya bubung itu pada model yang kecil dengan menggunakan hukum penyekalaan untuk meramalkan gaya bubung pada pesawat udara prototype dengan ukuran sebenarnya. Ada kaidah-kaidah yang akan kita terangkan untuk mencari hukum penyekalaan. Bila hukum penyekalaan itu berlaku, kita katakan ada keserupaan antar model dan prototipe. Dalam kasus persamaan. (5-2) keserupaan tercapai kalau bilangan Reynolds untuk model dan prototipe itu , sebab fungsi g akan membuat koefisien gayanya sama pula.

Kalau Rem = Rcp , maka Cfm = Cfp . (5-3)Disini indeks m dan p berturut berarti model dan prototipe. Dari defenisi koefisien gaya, ini berarti bahwa

2F p p V p

2 L p

(5-4)

Fm m V m

L m Bentuk data yang diambil, dengan p Vp Lp/p = mVmLm/m. Persamaan (5-5) adalah hukum penyekalaan. Kalau gaya model diukur pada bilangan Reynolds model, maka ada bilangan Reynolds yang sama gaya prorotipe besarnya sama dengan gaya model dari nisbah rapat kali kuadrat nisbah kecepatan kali kuadrat panjang.

II. ASAS KESEBERSAMAAN DIMENSI (THE PRINCIPLE OF DIMENSIONAL HOMOGENEITY)Jika sebuah persamaan sungguh-isungguh menyatakan hubungan yang benar antara variable-variabel dalam suatu proses fisika, persamaan itu dimensinya serbasama artinya setiap suku adiktifnya akan mempunyai dimensi yang sama.

Semua persamaan yang diturunkan dari teori mekanika mempunyai bentuk seperti ini.

Misalnya, tinjaulah hubungan yang menyatakan pergeseran benda yang jatuh.. (5-5)

Setiap suku dalam persamaan ini berupa pergeseran, atau panjang, dan dimensinya [L]. Persamaan itu secara dimensi serbasama. Perhatikan juga bahwa sebarang perangkat satuan yang konsisten dapat dipakai untuk menghitung suatu hasil.

Tinjaulah persamaan Bernoulli untuk aliran tak mampu-mampat

.. (5.6)

Setiap suku, termasuk tetapannya, mempunyai dimensi kecepatan kuadrat, atau (L2T-2). Persamaan itu dimensinya serbasama dan memberikan hasil yang betul untuk sebarang perangkat satuan yang konsisten

Persamaan (5.5) dan (5.6) juga melukiskan beberapa faktor lain yang sering muncul dalam analisis kedimensian, yakni variable-variabel berdimensi, tetapan-tetapan berdimensi, dan analisis dimensi

Tetapan berdimensi ialah besaran yang benar-benar berubah selama proses itu berlangsung dan akan digrafikkan terhadap satu sama lain untuk menampilkan data. Dalam persamaan. (5.5), variable-variabel itu ialah S, dan T, dalam persamaan (5.6) ialah , V dan z. Semuanya mempunyai dimensi dan semuanya dapat di takdimensikan dalam bentuk teknik analisis dimensi

Tetapan berdimensi dapat berubah dari suatu kasus ke kasus lainnya, tetapi nilainya dipertahankan tetap selama proses tertentu. Dalam persamaan. (5.5) tetapan berdimensi itu adalah So, Vo, dan g, sedang dalam persm. (5.6) , g, dan C. Tetapan-tetapan itu semua mempunyai dimensi dan pada dasarnya bisa di takdimensikan, tetapi biasanya mereka dipergunakan untuk membantu mentak-ikan variable-variabel dalam soal itu.

Tetapan murni tidak pernah berdimensi, tetapan-tetapan ini muncul dari penggarapan matematis. Dalam Persm.(5-5) dan (5.6) tetapan-tetapan murni itu ialah dan pangkat 2,

keduanya timbul dari pengintegralan : . Tetapan tak berdimensi yang lazim lainnya ialah dan e.Perhatikan bahwa pengintegralan dan pendiferensialan suatu persamaan dapat mengubah dimensi, tetapi keserbasamaan persamaan itu tidak berubah. Misalnya, integralkan atau diferensialkan persm. (5.5).

t .. (5-7a) (5-7b)

Dalam bentuk yang diintergralkan (5.7a) setiap sukunya mempunyai dimensi [LT], sedang bentuk turunannya (5-7b) mempunyai suku-suku berdimensi [LT-i2]Akhirnya, ada beberapa variable fisika yang secara wajar memang tak berdimensi berdasarkan defenisinya. Beberapa contohnya misalnya regangan (perubahan panjang per satuan panjang), nisbah Poisson (nisbah antara regangan lintang dan regangan bujur), dan berat jenis (nisbah antara rapat dan rapat air dalam keadaan standar). Semua sudut adalah tak berdimensi (nisbah antara panjang busur dan jari-jari) dan karena alasan ini sebaiknya dinyatakan dalam radian.

Motif dibalik analisis dimensi ialah bahwa setiap persamaan yang dimensinya serbasama dapat ditulis dalam bentuk tak berdimensi yang setara, yang lebih kompak. Urainnya secara rinci dijelaskan di bagian teorema pi. Misalnya persamaan (5-5) ditangani dengan mendefinisikan variable-variabel tak berdimensi

.. (5-8a).. (5-8b)

Ada dua pantangan dalam operasi seperti persm (5-8). Pertama, jangan mentakdimensikan variable secara terbalik:

.. (5-9)

Kedua, jangan .. sekali lagi: jangan .. mencampurkan variable-variabel (S,t) anda dalam satu definisi :

= . (5-10)

Ini memang baik dan menarik, tetapi anda akan menghadapi masalah matematika dan masalah penyajian yang menjengkelkan pula. Cara ini kadang-kadang bisa digunakan dalam teknik yang disebut keserupaan tetapi sebaiknya jangan dipakai dalam analisis dimensi.Nah coba definisikan (5-8) dan persamaan. (5-5)+ . (5-11a)+ .. (5-11b)

Ini masih mempunyai dimensi panjang, tetapi kalau kita membagi kedua ruas persamaan diatas dan menyendirikan variable takber-i, misalnya S* atau S**,AKD menjamin bahwa semua suku akan menjadi tak berdimensi. Maka bagilah (5-11a) dengan So dan (5-11b)

dengan . (5-12a)= . (5-12b)

Persamaan ini keduanya setara dengan satu sama lain dan segala hal setara dengan persamaan (5-5) yang asli. Grafik persamaan-persamaan itu ditunjukkan dalam gambar 5.1. Bentuk yang mana yang anda rasa lebih baik dan lebih efektif ?. Anda diminta menjelaskan pilihan anda dalam soal 5-1

Gambar 5.1 : Dua bentuk persamaan benda jatuh (5-5) yang setara dan takberdimensi (a) persamaan (5-12a) dan (b) persamaan (5-12b). Bentuk manakah yang lebih sesuai.

Sementara persamaan (5-5) berbentuk. (5-13)

Dan mengandung lima besaran berdimensi, persamaan. (5-12) masing-masing berbentuk= g( = (5-14)Dan hanya mengandung tiga besaran takberdimensi. Parameter biasanya muncul dalamproses-proses yang mempengaruhi gravitasi dan merupakan suatu bentuk bilangan froude

(lihat tabel 5-2)

Contoh ini sesuai dengan penyataan kita sebelumnya mengenai teknik analisis kedimensian. Fungsi asli yang variabelnya lima disederhanakan menjadi fungsi takberdimensi dengan tiga variabel. Penguranganya, 5 3 = 2, harus sama dengan jumlah dimensi (MLT) yang ada dalam soal.periksalah variable-variabelnya

.. (5-15)

Seperti yang diharapkan, hanya ada dua dimensi dalam soal ini, yakni {L} dan {T}. Gagasan ini mencapai puncaknya dalam teorema pi.

METODE DARAB-PANGKATUntuk yang terkhir kalinya tinjaulah lagi contoh tadi. Misalkan kita tidak mengetahui apa- iapa tentang dinamika dan harus mengerjakan suatu percobaan untuk menemukan hubungan fungsional persamaan (5-14). Karena S adalah panjang, menurut AKD f harus berupa suatu panjang : maka t, So, Vo, dan g harus digabungkan sedemikan rupa sehingga waktunya tersingkir dan yang tinggal hanyalah dimensi panjang.seperti yang ditunjukkan oleh Buckingham, satu-satunya cara untuk mewujudkan hal ini adalah dengan menggabungkan setiap suku dalam j sebagai darab besaran-besaran berpangkat:

. (5-16)

Dengan tetapan kesebandingan yang takberdimensi dan a, b, c, dan d ialah pangkat tetap yang masih harus ditentukan. Ditinjau dari dimensinya, persamaan. (5-16) harus berupa

panjang(L)b(LT-i1)c(LT-i2)d (5-17) Kalau pangkat panjang dan waktunya kita samakan, kita peroleh dua hubungan aljabar Panjang 1 = b + c + d (5-18a) Waktu 0 = a c 2d (5-18b)

Karena hanya ada dua persamaan dengan empat anu, sebarang dua di antara a, b, c dan d dapat dinyatakan dalam dua lainnya. Misalnya marilah kita nyatakan c dan d dalam a dan b

C = 2 a 2b d = a + b 1 (5-19) Persamaan (5-16) menjadi

(5-20)

Tabel 5-1 : Dimensi besaran mekanika fluidaBesaranlambangDimensi

{ML T }{PL T }

PanjangLLL

LuasAL2L2

VolumeL3L3

KecepatanVLT-1LT-1

Kelajuan bunyiaLT-1LT-1

DebitQL3T-1L3T-1

Fluks massaMMT-1FTL-2

Tekanan,

teganganP,ML-1T-1L2T-1

Laju reganganT-1FL-1

SudutF

Kecepatan sudutT-1FL

KekentalanML-1T-1FLT-1

Kekentalan

kinematikvL2T-1L2T-1

Tegangan mukaMT-2FL-1

gayaFMLT-2F

Momen gayaMML2T-2FL

DayAPML2T-3FLT-1

rapatML-3FT3L-5

SuhuT

Jenis bahanC L2T -2 -1L2T-3 -1

Tahanan termalkMLT- 3 -1FT-i-2 -1

Koefisien muai-1-1

98III. TAK BERDIMENSIAN PERSAMAAN PERSAMAAN DASAR (NON- DIMENSIONLIZATION OF THE BASIC EQUATIONS)Marilah kita secara singkat menerapkan teknik ini pada persamaan persamaan kemalaran dan pusa untuk aliran takmampu-mampat yang kekentalannya tetap:

Kemalaran: . V = 0 . (5-21)Pusa:

dV dt

= g - p + 2V (5-22)

Syarat batas yang lazim untuk kedua persamaan ini ialah

Permukaan padat yang tepat: V = 0 (5-23) Lubang masuk/keluar: diketahui V, p

Permukaan bebas, z = : w =

d p = p

(R -1 + R -1) .. (5-24)a x ydtPersamaan (5-23, 5-25) mengandung tiga dimensi dasar MLT. Semua variabel p,V, x, y, z, dan t dapat di bilangan tak berdimensikan dengan memakai rapat dan dua tetapan acuanyang bisa menunjukkan ciri khas aliran fluida tertentu:

Kecepatan acuan = U panjang acuan = L

Misalnya U kecepatan lubang masuk atau bagian hulu dan L garis tengah benda yang terbenam di dalam aliarn itu.

Sekarang definisikan semua variable yang relevan dan ditandai variable-variabel ini dengan bintang:

V* =

V xx = y =

y z* = z U L L

L (5-25)t* =

tU p =

L

p qz U 2Semua ini sudah jelas dengan sendirinya, kecuali p. Disini kita dengan seenaknya telah memasukkan pengaruh gravitasi dengan mengendalikan bahwa z ke atas. Gagasan ini di ilhami oleh persamaan Bernoulli

Karena , U, dan L semuanya adalah tatapan, turunan turunan dalam Persamaan. (5-23)

semua dapat di garap dalam bentuk bilangan tak berdimensi dengan koefisien berdimensi. Misalnya,

u (Uu ) x ( Lx )

U u L x

.. (5-26)Masukkan variable-variabel dari Persam...