Bending of Beams

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Bending of Beams

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  • 3.2 j La trave inflessa j 161

    immediato rilevare dallequilibrio in direzione verticale delle azioni sul nodoC, in cui convergono le aste (1) e (2) aventi la stessa direzione orizzontale elasta (4), la quale risulta scarica N4 5 0 e che N1 5 N2.

    Si noti lindipendenza della soluzione dellequilibrio dalle dimensioni geo-metriche della struttura. Le dimensioni geometriche h 5 ,4, a, b e , peraltrosono tra loro legate e relazionate al valore dellangolo a.

    In seguito si vedr che le dimensioni geometriche della struttura e delle se-zioni delle aste sono di fondamentale importanza per la verifica di sicurezza difunzionalit e per quella di stabilit della struttura.

    La soluzione statica trovata in termini di sforzi Ni, inserita nella relazione dielasticit ezi 5 Ni>ke, conduce alla determinazione delle deformazioni

    assiali: , , .Tramite lintegrazione delle equazioni di compatibilit spostamento-dilata-

    zione ezi 5 dwi>dzi, si ottengono gli spostamenti relativi di D rispetto ad A e aB, e di B rispetto ad A:

    N3 5 2F sen a N4 5 0 N5 5 2F cos a0

    DwDA 5 3,3

    0

    ez3dz 5 2Fb

    ketana DwDB 5 3

    ,5

    0

    ez5dz 5 2Fa

    ke

    DwBA 5 3,

    0

    ez1dz 5F,

    kesen a cos a

    aB 5 F cos2 a aA 5 F sen

    2 a

    ez1 5F

    kesen a cos a 5 ez2

    ez3 5 2F

    kesen a 5 ez5

    ez4 5 0

    Curvatura

    3.2 j Trave inflessa

    In questo paragrafo viene trattata la deformazione della trave rettilinea soggettaa flessione, viene introdotta la nozione di curvatura della trave e ricavata lequa-zione differenziale della linea elastica.

    3.2.1 Nozione di curvatura

    utile qui richiamare la nozione di curvatura di una curva piana j nel piano (z,y) (Figura 3.13), che in questo contesto rappresenta la linea elastica, e cio lacurva trasformata dellasse baricentrico della trave, per effetto della deformazioneflessionale. La j, che viene ipotizzata regolare, identificabile con il grafico dellafunzione spostamento v(z) della linea dasse. Si consideri sulla j un tratto di di-mensione infinitesima ds avente come estremi la sezione S e quella Q, corrispon-denti alla sezione di ascissa iniziale z e di ascissa incrementata z 1 dz rispettiva-mente. Siano wS e wQ gli angoli formati con lasse z dalle tangenti alla j in cor-rispondenza di S e Q rispettivamente. Si ha w 5 2arctg v9, in cui con lapice si indicata la derivata rispetto a z: v9 5 dv>dz.

    Lincremento dellangolo nel passaggio da S a Q, a meno di infinitesimi diordine superiore, si pu calcolare tramite il suo differenziale:

    Dw> dw 5dw

    dzdz 5

    2 d(arctanv9)

    dzdz 5

    2 v0

    1 1 v92dz

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  • 162 j Capitolo 3 j Travi elastiche

    z

    z0 z + dz

    v(z)

    ds

    SQ

    d

    y

    S Q

    Figura 3.13

    La lunghezza infinitesima dellarco di curva fra S e Q, daltro canto vale. A questo punto si pu definire la curvatura x tramite il rap-

    porto:

    (3.6)

    che esprime il cosiddetto Teorema Aureo (G. Bernoulli, 1694).Sotto lipotesi di deformazioni infinitesime, si assume che nella radice a de-

    nominatore della (3.6), laddendo v92 sia trascurabile rispetto allunit, sicch lacurvatura assume il valore approssimato

    (3.7)

    Per riassumere, la curvatura della curva piana j, nel punto S definita tramite illimite del rapporto incrementale , con la derivata calcolata in S.

    utile rimarcare che nella convenzione utilizzata le rotazioni w sono positivese antiorarie (verso positivo della rotazione che porta y su z), mentre le derivatepositive dello spostamento v rispetto a z corrispondono a tratti in cui la v 5 v(z) crescente, nel riferimento (z, y).

    Rinviando la trattazione estesa della flessione della trave piana linearmenteelastica al Capitolo 6, in questa sede ci si limita solo a richiamare il principalerisultato di quella trattazione, consistente nella relazione lineare fra momento flet-tente Mx e curvatura elastica x:

    Mx 5 kxx (3.8)

    nella quale la costante di proporzionalit kx 5 EIx si chiama rigidezza flessionale.Questo il principale risultato della classica trattazione di Eulero-Bernoulli,

    che parte dal dato sperimentale che una trave piana come quella di Figura 3.14,sollecitata alle due estremit da due coppie, di valori rispettivamente (2C, C),agenti nel piano (y, z) con y direzione principale dinerzia della sezione, soggettaa momento flettente costante M 5 C, assume una curvatura uniforme x.

    ds 5 "1 1 v92 dzx 5

    dw

    ds5

    2v0"(1 1 v92)3

    x 5 2d2v

    dz25 2v0

    Teorema aureo di G. Bernoulli

    limDsS0

    Dw

    Ds5

    dw

    ds

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  • 3.2 j La trave inflessa j 163

    z

    dzx

    y

    R

    y

    G

    C

    a)

    P P

    ds

    y

    R = y(P)

    dz

    b)

    z

    C

    z z

    d

    d

    + +

    Figura 3.14

    Ne consegue che la fibra della trave inizialmente sovrapposta allasse baricentricoz, per effetto della deformazione flessionale si trasforma nellarco di circonferenzaj di raggio R e centro P, che viene detto linea elastica della trave. A causa del-lassunzione della curvatura, le fibre della trave parallele a z al disopra del piano(x, z) si contraggono, quelle al disotto si dilatano.

    Questo risultato dipende essenzialmente dallipotesi cinematica che le sezionidella trave, che inizialmente sono normali allasse z, a seguito della deformazionesi mantengono ancora piane e convergono nel centro di curvatura P.

    La deformazione ez delle fibre della trave parallele a z, presenti alla quota y,si determina osservando che la dimensione iniziale e quella deformata di un ele-mento dz sono dz 5 2Rdw, ds 5 (2R 1 y)dw. Assumendo per la dilatazione ez,come gi fatto nel paragrafo precedente, il valore , si ottiene , in cui la curvatura pari allinverso del raggio di curvatura (cambiato di segno). Qui R, raggio dicurvatura, stato assunto come ordinata del centro di curvatura P: R 5 y(P).

    Sotto lipotesi di elasticit lineare (s 5 Ee, Equazione 5.205), si deduce unatensione data dalla ben nota formula di Navier sz 5 Eez 5 2Ey>R, con E modulodi Young del materiale isotropo e omogeneo costituente la trave (Capitolo 6).

    Le sz sono, come le ez, lineari e omogenee sulla sezione. Il momento flettentesi calcola per equilibrio con gli sforzi interni sz:

    ove il momento dinerzia della sezione rispetto allasse x, e fornisce la rela-zione momento-curvatura sopra richiamata: Mx 5 kxx, con kx 5 EI rigidezzaflessionale della sezione e la curvatura.

    Lo spostamento v(z) legato alla rotazione w della sezione dallequazione

    (3.9)

    Mx 5 3A

    sz ydA 5 2E

    R 3A

    y2dA 5 2EIxR

    w 5 2dv

    dz

    ez 5 limdzS0ds 2 dz

    dz

    ez 5 2y

    R

    x 5 21

    R

    Relazione momento-curvatura

    Ix 5 3A

    y2dA

    x 5 21

    R

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  • 164 j Capitolo 3 j Travi elastiche

    y

    x

    z

    z

    Figura 3.15

    La curvatura geometrica della linea elastica j nella trattazione infinitesima valex 5 2d2v>dz2, sicch la (3.8) fornisce:

    (3.10)

    equazione che lega lo spostamento v della trave e la sua curvatura elastica x almomento flettente. La (3.10) fornisce dunque lequazione costitutiva della travedi Eulero-Bernoulli, che si riassume nella proporzionalit fra momento flettentee curvatura:

    Mx 5 kxx (3.11)

    a mezzo della costante di proporzionalit rigidezza flessionale kx 5 EIx. In Figura3.15 viene rappresentato il grafico delle sz tramite il diagramma bitriangolare.

    Derivando la (3.10) rispetto a z e tenendo conto dellequazione di equilibriodMx>dz 5 Ty si ottiene

    (3.12)

    Questultima, derivata rispetto a z, tramite lequazione di equilibrio

    (3.13)

    conduce alla

    (3.14)

    equazione differenziale della trave inflessa linearmente elastica, che lega il caricotrasversale allo spostamento. Nel caso di rigidezza kx 5 EIx costante nella trave,le (3.12) e (3.14) si scrivono rispettivamente

    x 5 21

    R5

    2d2v

    dz25

    Mxkx

    Ty 5dMxdz

    5 2d

    dza kxd2v

    dz2b

    dTydz

    5d2Mxdz2

    5 2qy

    d2

    dz2a kxd2vdz2 b 5 qy

    Curvatura elastica

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  • 3.3 j Equilibrio elastico della trave inflessa j 165

    (3.15)

    (3.16)

    Questultima la ben nota equazione differenziale della linea elastica della traveinflessa la cui integrazione consente di ottenere lo spostamento trasversale dellatrave inflessa.

    3.3 j Equilibrio elastico della trave inflessa

    In questo paragrafo viene introdotto il problema dellequilibrio ela

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