Bernoulli & Binomial

  • Published on
    02-Dec-2015

  • View
    2.845

  • Download
    2

Embed Size (px)

Transcript

  • 1

    BAB I

    PENDAHULUAN

    1.1 Latar Belakang

    Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana

    adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses

    Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika

    bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705).

    Suatu sebaran Bernoulli merupakan performans dari suatu percobaan

    dengan hanya memiliki dua macam keluaran yaitu Sukses atau Gagal.

    Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal

    dilambangkan dengan q dimana p+q = 1. Sedangkan sebaran binomial berasal dari

    percobaan binomial yaitu suatu proses percobaan yang terdiri dari sederetan

    tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali.

    Berdasarkan latar belakang diatas, penulis memberi judu lmakalah ini

    Bernoulli dan Binomial. Tujuan penulis menyusun makalah ini adalah untuk

    mengetahui lebih lanjut tentang sebaran Bernoulli dan binomial terkait tentang fungsi

    kepekatan peluang, nilai harapan, ragam, fungsi pembangkit momen, dan fungsi

    pembangkit momen faktorial. Dan agar dapat mengetahui kemungkinan (peluang)

    kesuksesan maupun kegagalan dari sebuah percobaan.

    1.2 Rumusan Masalah

    Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dari

    penulisan ini adalah :

    1. Apa pengertian sebaran bernoulli

    2. Apa pengertian sebaran binomial

    1.3 Tujuan Penyusunan Makalah

    1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Bernoulli, ciri-ciri Bernoulli,

    dan sifat sebarannya.

    2. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Binomial, ciri-ciri Binomial,

    dan sifat sebarannya.

  • 2

    BAB II

    LANDASAN TEORI

    2.1 Sebaran Bernoulli

    Suatu sebaran Bernoulli merupakan suatu hasil dari suatu percobaan yang

    hanya memiliki dua macam keluaran yaitu sukses atau gagal. Percobaan tersebut

    disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). (Sigit

    Nugroho : 2008). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:

    1. Keluaran yang mungkin hanya salah satu dari sukses atau gagal

    2. Jika peluang sukses p, maka peluang gagal q = 1 p

    2.1.1 Fungsi Kepekatan Peluang

    Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi

    kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak

    mempunyai nilai. Jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q dan f(1)=p dan

    peubah acak Bernoullinya adalah : 1 jika e E

    X (e) =

    0 jika e E

    Maka fungsi kepekatan peluang dari sebaran Bernouli dapat diekspresikan sebagai

    berikut : (x) = px q1-x untuk x = 0 atau 1 dan besarnya q = 1-p dan 0 < p < 1.

    Dalam percobaan Bernoulli, dimana p adalah peluang sukses dan q = 1- p

    adalah peluang gagal, dan jika X adalah peubah acak yang menyatakan kejadian

    sukses, maka sebaran peluang Bernoulli dapat didefinisikan sebagai :

    px q1-x ; x = 0, 1 , dimana 0 < p < 1

    (x;p) =

    0 ; x 0 atau 1 ( x lainnya ).

  • 3

    2.1.2 Nilai Harapan

    Nilai harapan adalah sebuah ukuran rata-rata dari suatu peubah acak.

    Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu sukses atau

    gagal (1 atau 0) maka rumus nilai harapan dari sebaran Bernoulli didefinisikan

    sebagai x = E(X) = p. Pembuktian rumus nilai harapan Bernoulli sebagai berikut :

    Definisi 2.1.2

    Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang (x),

    maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai

    ( ) ( )

    Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu sukses atau

    gagal ( x = 0, atau , x = 1 ) dan jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q

    dan f(1)=p, maka berdasarkan definisi 2.1.2 rumus nilai harapan Bernoulli dapat

    ditulis sebagai berikut :

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

    Dari pembuktian rumus diatas, terbukti bahwa nilai harapan (x) Bernoulli adalah

    p, secara umum ditulis x = E(X) = p.

    2.1.3 Ragam

    Ragam adalah sebuah ukuran dispersi dari peubah acak. Rumus ragam

    sebaran Bernoulli dapat diperoleh dari rumus nilai harapan yaitu :

    Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q

    Bukti :

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

    2x = Var (X) = E(X

    2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q

    Jadi rumus ragam sebaran Bernoulli dapat ditulis : 2x = p q.

  • 4

    2.1.4 Fungsi Pembangkit Momen

    Fungsi pembangkit momen adalah suatu teknik atau cara mencari distribusi

    fungsi dengan beberapa peubah acak, fungsi tersebut merupakan jumlah peubah

    acak bebas.

    Definisi 2.1.4

    Fungsi pembangkit momen peubah acak X diberikan oleh E(etX) dan

    dinyatakan dengan MX(t). Jadi fungsi pembangkit momen dirumuskan

    sebagai berikut : MX(t) = E(etX)

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    (Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers : 1986).

    Karena sebaran Bernoulli merupakan peubah acak diskret, maka berdasarkan

    definisi 2.1.4 rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli dapat ditulis

    sebagai berikut :

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Jadi rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli adalah ( ) (

    ).

    2.1.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial

    Momen faktorial adalah bentuk khusus lain dari nilai harapan peubah acak.

    Definisi 2.1.5

    Momen faktorial ke-r peubah acak X didefinisikan sebagai

    E [ ( ) ( )]

    dan fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak didefinisikan sebagai

    Gx(t) = E(tx)

    jika nilai harapannya ada untuk semua t dalam beberapa interval terbuka

    yang mencakup nilai 1 dalam bentuk 1- .

  • 5

    Berdasarkan definisi 2.1.5 rumus fungsi pembangkit momen faktorial dapat ditulis

    sebagai berikut :

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

    ( )

    Jadi rumus fungsi pembangkit momen factorial adalah ( ) ( )

    2.2 Sebaran Binomial

    Sebaran Binomial berasal dari suatu proses percobaan yang terdiri dari

    sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali. Dalam

    percobaan binomial, kuantitas yang diamati adalah banyaknya sukses dari

    sebanyak n tindakan pengulangan. Secara langsung, percobaan binomial memiliki

    ciri-ciri sebagai berikut:

    1. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali

    2. Setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikatagorikan sebagai

    gagal dan sukses

    3. Probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain

    4. Percobaan yang berulang adalah saling bebas.

    2.2.1 Fungsi Kepekatan Peluang

    Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi

    kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak

    mempunyai nilai. Karena percobaan Binomial merupakan percobaan Bernaulli

    yang dilakukan berulang-ulang, maka percobaan binomial menghasikan peluang

    sukses atau gagal yang jumlah suksesnya dihitung dalam setiap n percobaan. Jika

    peluang sukses pada setiap tindakan Bernoulli tersebut adalah p, dan X

    melambangkan banyaknya kejadian sukses, maka fungsi kepekatan peluang dari

    peubah acak X dalam percobaan Binomial didefinisikan sebagai

    ( ) ( )

    Fungsi kepekatan peluang Binomial diatas diperoleh dari uraian berikut ini :

  • 6

    1. Pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu.

    Karena ulangan semuanya bebas, maka peluang tiap hasil yang berbeda

    dapat digandakan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan gagal dengan

    peluang q=1 p. jadi peluang untuk urutan tersebut adalah pxqn-x.

    2. Tentukan banyaknya semua titik contoh dalam percobaan tersebut yang

    menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini sama

    dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok

    sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya, n-x hasil,

    pada kelompok kedua. Banyaknya x hasil yang sukses dapat dinyatakan

    dengan ( ).

    3. Karena pembagian kelompok pada (2) saling terpisah, maka peluang x

    sukses diperoleh dari hasil penggandaan ( ) dengan pxqn-x.

    Hal yang harus diperhatikan adalah

    ( )

    ( ) ( )

    Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka

    sebaran binomial kumulatif yang ditulis P(X > r), dengan r

  • 7

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    (

    ) ( )

    ( ( )) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) (

    ) ( ) ( )

    2.2.3 Ragam

    Ragam dari peubah acak X berdistribusi Binomial didefinisikan sebagai :

    2x =Var(X) = E(X

    2) [E(X)]2 = np(np+q)-(np)2 = npq

    Bukti :

    Karena E[X(X-1)] = E[X2-X] = E(X2) E(X), maka E(X2) = E[X(X-1)]+E[X]

    Dari rumus nilai harapan distribusi Binomial, telah diperole