Bernoulli & Binomial

  • Published on
    02-Dec-2015

  • View
    2.842

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

<ul><li><p>1 </p><p>BAB I </p><p>PENDAHULUAN </p><p>1.1 Latar Belakang </p><p>Salah satu jenis distribusi variabel random diskrit yang paling sederhana </p><p>adalah distribusi binomial. Distribusi Binomial adalah distribusi untuk proses </p><p>Bernoulli. Distribusi ini dikemukakan pertama kali oleh seorang ahli matematika </p><p>bangsa Swiss yang bernama J. Bernoulli (1654-1705). </p><p>Suatu sebaran Bernoulli merupakan performans dari suatu percobaan </p><p>dengan hanya memiliki dua macam keluaran yaitu Sukses atau Gagal. </p><p>Probabilitas sukses dilambangkan dengan p, sedangkan probabilitas gagal </p><p>dilambangkan dengan q dimana p+q = 1. Sedangkan sebaran binomial berasal dari </p><p>percobaan binomial yaitu suatu proses percobaan yang terdiri dari sederetan </p><p>tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali. </p><p>Berdasarkan latar belakang diatas, penulis memberi judu lmakalah ini </p><p>Bernoulli dan Binomial. Tujuan penulis menyusun makalah ini adalah untuk </p><p>mengetahui lebih lanjut tentang sebaran Bernoulli dan binomial terkait tentang fungsi </p><p>kepekatan peluang, nilai harapan, ragam, fungsi pembangkit momen, dan fungsi </p><p>pembangkit momen faktorial. Dan agar dapat mengetahui kemungkinan (peluang) </p><p>kesuksesan maupun kegagalan dari sebuah percobaan. </p><p>1.2 Rumusan Masalah </p><p>Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dari </p><p>penulisan ini adalah : </p><p>1. Apa pengertian sebaran bernoulli </p><p>2. Apa pengertian sebaran binomial </p><p>1.3 Tujuan Penyusunan Makalah </p><p>1. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Bernoulli, ciri-ciri Bernoulli, </p><p>dan sifat sebarannya. </p><p>2. Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan Binomial, ciri-ciri Binomial, </p><p>dan sifat sebarannya. </p></li><li><p>2 </p><p>BAB II </p><p>LANDASAN TEORI </p><p>2.1 Sebaran Bernoulli </p><p>Suatu sebaran Bernoulli merupakan suatu hasil dari suatu percobaan yang </p><p>hanya memiliki dua macam keluaran yaitu sukses atau gagal. Percobaan tersebut </p><p>disebut dengan tindakan Bernoulli atau percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). (Sigit </p><p>Nugroho : 2008). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat: </p><p>1. Keluaran yang mungkin hanya salah satu dari sukses atau gagal </p><p>2. Jika peluang sukses p, maka peluang gagal q = 1 p </p><p>2.1.1 Fungsi Kepekatan Peluang </p><p>Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi </p><p>kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak </p><p>mempunyai nilai. Jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q dan f(1)=p dan </p><p>peubah acak Bernoullinya adalah : 1 jika e E </p><p> X (e) = </p><p>0 jika e E </p><p>Maka fungsi kepekatan peluang dari sebaran Bernouli dapat diekspresikan sebagai </p><p>berikut : (x) = px q1-x untuk x = 0 atau 1 dan besarnya q = 1-p dan 0 &lt; p &lt; 1. </p><p>Dalam percobaan Bernoulli, dimana p adalah peluang sukses dan q = 1- p </p><p>adalah peluang gagal, dan jika X adalah peubah acak yang menyatakan kejadian </p><p>sukses, maka sebaran peluang Bernoulli dapat didefinisikan sebagai : </p><p>px q1-x ; x = 0, 1 , dimana 0 &lt; p &lt; 1 </p><p> (x;p) = </p><p> 0 ; x 0 atau 1 ( x lainnya ). </p></li><li><p>3 </p><p>2.1.2 Nilai Harapan </p><p>Nilai harapan adalah sebuah ukuran rata-rata dari suatu peubah acak. </p><p>Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu sukses atau </p><p>gagal (1 atau 0) maka rumus nilai harapan dari sebaran Bernoulli didefinisikan </p><p>sebagai x = E(X) = p. Pembuktian rumus nilai harapan Bernoulli sebagai berikut : </p><p>Definisi 2.1.2 </p><p>Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kepekatan peluang (x), </p><p>maka nilai harapan dari X didefinisikan sebagai </p><p> ( ) ( ) </p><p>Karena sebaran Bernoulli hanya memiliki dua kemungkinan yaitu sukses atau </p><p>gagal ( x = 0, atau , x = 1 ) dan jika fungsi kepekatan peluangnya adalah f(0)=q </p><p>dan f(1)=p, maka berdasarkan definisi 2.1.2 rumus nilai harapan Bernoulli dapat </p><p>ditulis sebagai berikut : </p><p> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) </p><p>Dari pembuktian rumus diatas, terbukti bahwa nilai harapan (x) Bernoulli adalah </p><p>p, secara umum ditulis x = E(X) = p. </p><p>2.1.3 Ragam </p><p>Ragam adalah sebuah ukuran dispersi dari peubah acak. Rumus ragam </p><p>sebaran Bernoulli dapat diperoleh dari rumus nilai harapan yaitu : </p><p>Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q </p><p>Bukti : </p><p> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) </p><p> ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) </p><p>2x = Var (X) = E(X</p><p>2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = p q </p><p>Jadi rumus ragam sebaran Bernoulli dapat ditulis : 2x = p q. </p></li><li><p>4 </p><p>2.1.4 Fungsi Pembangkit Momen </p><p>Fungsi pembangkit momen adalah suatu teknik atau cara mencari distribusi </p><p>fungsi dengan beberapa peubah acak, fungsi tersebut merupakan jumlah peubah </p><p>acak bebas. </p><p>Definisi 2.1.4 </p><p>Fungsi pembangkit momen peubah acak X diberikan oleh E(etX) dan </p><p>dinyatakan dengan MX(t). Jadi fungsi pembangkit momen dirumuskan </p><p>sebagai berikut : MX(t) = E(etX) </p><p> ( ) </p><p> ( ) </p><p> ( ) ( ) </p><p>(Ronald E. Walpole dan Raymond H. Myers : 1986). </p><p>Karena sebaran Bernoulli merupakan peubah acak diskret, maka berdasarkan </p><p>definisi 2.1.4 rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli dapat ditulis </p><p>sebagai berikut : </p><p> ( ) </p><p> ( ) </p><p> ( ) </p><p> ( ) ( ) </p><p> ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Jadi rumus fungsi pembangkit momen sebaran Bernoulli adalah ( ) ( </p><p> ). </p><p>2.1.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial </p><p>Momen faktorial adalah bentuk khusus lain dari nilai harapan peubah acak. </p><p>Definisi 2.1.5 </p><p>Momen faktorial ke-r peubah acak X didefinisikan sebagai </p><p>E [ ( ) ( )] </p><p>dan fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak didefinisikan sebagai </p><p>Gx(t) = E(tx) </p><p>jika nilai harapannya ada untuk semua t dalam beberapa interval terbuka </p><p>yang mencakup nilai 1 dalam bentuk 1- . </p></li><li><p>5 </p><p>Berdasarkan definisi 2.1.5 rumus fungsi pembangkit momen faktorial dapat ditulis </p><p>sebagai berikut : </p><p> ( ) ( ) </p><p> ( ) </p><p> ( ) </p><p> ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )</p><p> ( ) </p><p>Jadi rumus fungsi pembangkit momen factorial adalah ( ) ( ) </p><p>2.2 Sebaran Binomial </p><p>Sebaran Binomial berasal dari suatu proses percobaan yang terdiri dari </p><p>sederetan tindakan Bernoulli yang saling bebas dan diulang sebanyak n kali. Dalam </p><p>percobaan binomial, kuantitas yang diamati adalah banyaknya sukses dari </p><p>sebanyak n tindakan pengulangan. Secara langsung, percobaan binomial memiliki </p><p>ciri-ciri sebagai berikut: </p><p>1. Percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang sebanyak n kali </p><p>2. Setiap percobaan menghasilkan keluaran yang dapat dikatagorikan sebagai </p><p>gagal dan sukses </p><p>3. Probabilitas sukses p tetap konstan dari satu percobaan ke percobaan lain </p><p>4. Percobaan yang berulang adalah saling bebas. </p><p>2.2.1 Fungsi Kepekatan Peluang </p><p>Fungsi kepekatan peluang digunakan untuk peubah acak diskrit, fungsi </p><p>kepekatan peluang pada nilai tertentu adalah peluang bahwa peubah acak </p><p>mempunyai nilai. Karena percobaan Binomial merupakan percobaan Bernaulli </p><p>yang dilakukan berulang-ulang, maka percobaan binomial menghasikan peluang </p><p>sukses atau gagal yang jumlah suksesnya dihitung dalam setiap n percobaan. Jika </p><p>peluang sukses pada setiap tindakan Bernoulli tersebut adalah p, dan X </p><p>melambangkan banyaknya kejadian sukses, maka fungsi kepekatan peluang dari </p><p>peubah acak X dalam percobaan Binomial didefinisikan sebagai </p><p> ( ) ( ) </p><p>Fungsi kepekatan peluang Binomial diatas diperoleh dari uraian berikut ini : </p></li><li><p>6 </p><p>1. Pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan tertentu. </p><p>Karena ulangan semuanya bebas, maka peluang tiap hasil yang berbeda </p><p>dapat digandakan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan gagal dengan </p><p>peluang q=1 p. jadi peluang untuk urutan tersebut adalah pxqn-x. </p><p>2. Tentukan banyaknya semua titik contoh dalam percobaan tersebut yang </p><p>menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini sama </p><p>dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok </p><p>sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya, n-x hasil, </p><p>pada kelompok kedua. Banyaknya x hasil yang sukses dapat dinyatakan </p><p>dengan ( ). </p><p>3. Karena pembagian kelompok pada (2) saling terpisah, maka peluang x </p><p>sukses diperoleh dari hasil penggandaan ( ) dengan pxqn-x. </p><p>Hal yang harus diperhatikan adalah </p><p> ( ) </p><p> ( ) ( ) </p><p>Bila pada n percobaan terdapat paling tidak sebanyak r sukses, maka </p><p>sebaran binomial kumulatif yang ditulis P(X &gt; r), dengan r</p></li><li><p>7 </p><p> ( ) ( ) </p><p> ( ) </p><p> ( ) </p><p>( ) ( ) </p><p> ( ) ( )</p><p> ( </p><p> ) ( ) </p><p> ( ( )) ( ) ( ) </p><p> ( ) </p><p> ( ) </p><p> ( ) ( ) </p><p>( ) ( ) ( ) ( )</p><p> ( ) ( </p><p> ) ( ) ( ) </p><p>2.2.3 Ragam </p><p>Ragam dari peubah acak X berdistribusi Binomial didefinisikan sebagai : </p><p>2x =Var(X) = E(X</p><p>2) [E(X)]2 = np(np+q)-(np)2 = npq </p><p>Bukti : </p><p>Karena E[X(X-1)] = E[X2-X] = E(X2) E(X), maka E(X2) = E[X(X-1)]+E[X] </p><p>Dari rumus nilai harapan distribusi Binomial, telah diperoleh nilai E(X) dan </p><p>nilai E[X(X-1)], sehingga nilai E(X2) dapat dicari seperti berikut ini : </p><p>E(X2) = E[X(X-1)]+E[X] = n(n-1)p2 + np= n2p2 np2 + np = np(np) + np(1-p)</p><p> = np(np+q). </p><p>Jadi rumus ragam distribusi Binomial dapat ditulis sebagai berikut : </p><p>2x =Var(X) = E(X</p><p>2) [E(X)]2 = np(np+q) (np)2 = npq. </p></li><li><p>8 </p><p>2.2.4 Fungsi Pembangkit Momen </p><p>Fungsi pembangkit momen sebaran binomial X dapat diambil dari definisi </p><p>Definisi 2.1.4 yaitu : </p><p> ( ) ( ) </p><p> ( ) </p><p>( </p><p> ) (</p><p> ) ( </p><p>) </p><p>Berdasarkan penguraian binomial (pet + q)n maka dapat diperoleh </p><p>Mx(t) = (pet + q)n. </p><p>2.2.5 Fungsi Pembangkit Momen Faktorial </p><p>Fungsi pembangkit momen faktorial peubah acak x yang berdistribusi </p><p>binomial didefinisikan sebagai : </p><p> ( ) ( ) (</p><p> )</p><p> ( )</p><p>( ) ( ) </p><p>2.3 Ilustrasi Percobaan Bernoulli dan Percobaan Benomial </p><p>2.3.1 Ilustrasi Percobaan Bernoulli </p><p>Pada saat pelemparan sebuah koin maka terdapat dua macam </p><p>kemungkinan, yaitu sukses dan gagal. </p><p>2.3.2 Ilustrasi Percobaan Binomial </p><p>Ruang sampel A untuk percobaan E yang terdiri dari himpunan tak hingga </p><p>tetapi masih terhitung dari titik titik sampel: </p><p>Jika S = Sukses dan G = Gagal </p><p>E1: S (sukses pada percobaan pertama) </p><p>E2: GS (gagal pada percobaan pertama dan sukses pada percobaan kedua) </p><p>E3: SG (sukses pada percobaan pertama, gagal pada percobaan kedua) </p><p>E4: GGS (gagal pada percobaan 1 dan 2, sukses pada percobaan ketiga) </p><p>E5: GSG (gagal pada percobaan 1 dan 3, sukses pada percobaan kedua) </p><p>E6: SGG (gagal pada percobaan 2 dan 3, sukses pada percobaan pertama) </p><p>En : SSS....S GGG...G (sukses sebanyak x kali, gagal sebanyak n x kali). </p></li><li><p>9 </p><p>Jika peluang sukses dinotasikan dengan p maka peluang gagal adalah </p><p>q = 1 p. Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan </p><p>yang saling bebas. Maka peluang X pada masing masing percobaan E adalah: </p><p>P(X) = p untuk E1 </p><p>P(X) = qp = pq untuk E2 </p><p>P(X)=pq untuk E3 </p><p>P(X)=q2p = pq2 untuk E4 </p><p>P(X)=qpq = pq2 untuk E5 </p><p>P(X)= pqq = pq2 untuk E6 </p><p>P(X) = Pxqn-x untuk En </p></li><li><p>10 </p><p>BAB III </p><p>HASIL DARI PEMBAHASAN </p><p>3.1 Contoh dan Pembahasan </p><p>3.1.1 Contoh sebaran Bernoulli </p><p>1. Di awal tahun ajaran baru, mahasiswa fakultas teknik biasanya membeli </p><p>rapido untuk keperluan menggambar teknik. Di koperasi tersedia dua jenis </p><p>rapido, yang tintanya dapat di isi ulang (refill) dan yang tintanya harus diganti </p><p>bersama dengan cartridgenya. Data yang ada selama ini menunjukkan </p><p>bahwa 30% mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang. Jika </p><p>variabel acak X menyatakan mahasiswa yang membeli rapido yang tintanya </p><p>dapat diisi ulang, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut: </p><p>Jawab : </p><p> 1 jika mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat isi ulang </p><p> X = </p><p> 0 jika mahasiswa membeli rapido yang cartidgenya harus diganti </p><p>p(1) = p(X = 1) = 0,3 </p><p>p(0) = p(X = 0) = 1 0,3 = 0,7 </p><p>p(x 0 atau 1) = P(X 0 atau 1) = 0 </p><p>Maka fungsi kepekatan peluang fungsi Bernoulli dengan satu parameter </p><p>p = 0,3 adalah : </p><p> (x;p) = (p)x (q)1-x = (x;0,3) = (0,3)x (0,7)1-x ; x = 0 , 1 0 &lt; p &lt; 1 </p><p>2. Anggap ada ilmuan yang melakukan percobaan, p adalah percobaan </p><p>probabilitas sukses. Anggap p = </p><p> (percobaan seperti ini hanya mempunyai </p><p>dua hasil yaitu sukses atau gagal, dan disebut percobaan Bernoulli). Misal X </p><p>adalah variabel acak yang sama dengan jumlah keberhasilan pada hari </p></li><li><p>11 </p><p>tertentu. Dengan demikian X hanya mempunyai dua nilai yaitu 0 dan 1. </p><p>Hitunglah fungsi kepekatan peluang ? </p><p>f(0) = P(X = 0) = 1 p Grafik fungsi kepekatan untuk p = </p><p>f(1) = P(X = 1) = p F(X) </p><p>f(a) = 0 untuk semua nilai a yang lain 1- </p><p> 0.8- </p><p> 0,6- </p><p> 0,4- </p><p> 0,2- </p><p> 0 1 2 </p><p> Gambar 1.1 </p><p>Selanjutnya kita dapat menghitung fungsi sebaran kumulatif : </p><p>f(a) = 0 jika a &lt; 0 F(x) Gambar fungsi untuk p = </p><p>f(a) = 1-p jika a &lt; a &lt; 1 1- </p><p>f(a) = 1 jika a &gt; 1 0.8- </p><p> 0.6- </p><p> 0.4- </p><p> 0.2- </p><p> 0 1 2 z </p><p> Gambar 1.2 </p><p>3. Berdasarkan soal di atas, hitunglah nilai harapan ? </p><p>Jawab : Karena hanya memiliki nilai 0 atau 1 maka x = E(X) = p = </p><p>4. Berdasarkan soal di atas hitunglah varians ? </p><p> Jawab : Varians untuk p = </p></li><li><p>12 </p><p>Var (X) = E(X2)-( E(X)) 2 = p - p2 = p (1-p) = 0.2 (1-0.2) </p><p> = 0.2 (0.8) = 0.16. </p><p>4.1.1 Contoh sebaran Binomial </p><p>1. Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang muncul muka adalah </p><p> . Apakah </p><p>peluang dari tepat empat kepala muncul ketika suatu koin dilemparkan </p><p>sebanyak tujuh kali? </p><p>Solusi : Terdapat 27 = 128 keluaran yang mungkin. </p><p>Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka diantara tujuh pelemparan </p><p>adalah ( ) Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas, maka peluang </p><p>untuk masing-masing dari keluaran tadi adalah : </p><p>(p)x(q)n-x=.( </p><p> )</p><p>( </p><p> )</p><p> ( </p><p> )</p><p>( </p><p> )</p><p> . Akibatnya, peluang kemunculan tepat </p><p>empat muka adalah ( ) (</p><p> )</p><p>( </p><p> )</p><p>= ( </p><p> ). </p><p>2. Peluang keberhasilan setiap ulangan yang bebas ini adalah 1/6 dan peluang </p><p>kegagalan adalah 5/6. Dalam hal ini munculnya bilangan 2 dianggap </p><p>keberhasilan maka : (3,5, </p><p> ) = </p><p> ( ) .( </p><p> )3 (</p><p> )5-3 = 0,032. </p><p>5. Untuk b(5; 5 0.20), di mana x = 5, n = 5 dan p = 0.20 sehingga q = 0.80 </p><p>maka </p><p> = 5 0.20 = 1.00 </p><p> = 5 0.20 0.80 = 0.80 </p><p> = 080. = 0.8944 </p><p>6. 10 % dari semacam benda tergolong kategori A. Sebuah sampel berukuran </p><p>30 diambil secara acak. Berapa peluang sampel itu akan berisi benda </p><p>kategori A : </p><p>a. Semuanya </p><p>b. Paling banyak 2 buah </p><p>Jawab : n = 30, p = 0,1 </p><p>a. X =30 </p><p>P (X = 30) = [ </p><p>] ( ) ( ) </p></li><li><p>13 </p><p>artinya untuk mendapatkan benda kategori A sebanyak 30 peluang nyaris </p><p>nol </p><p>b. X paling banyak 2, berarti X 2 </p><p>P(x2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) </p><p>P (x=0) = [ </p><p>] ( ) ( ) </p><p>P (x=1) = [ </p><p>] ( ) ( ) </p><p>P (x=2) = [ </p><p>] ( ) ( ) </p><p>maka P(x2) = 0,0423 + 0,1409 + 0,227 = 0,4102. </p><p>7. Seorang penjual mengatakan bahwa 25% dari seluruh dagangannya rusak </p><p>akibat truk yang membawa barang itu mengalami kecelakaan. Jika seseorang </p><p>membeli barang dagangan itu sebanyak 10 buah, tentukan : </p><p>a. peluang orang itu akan mendapat 5 barang yang rusak </p><p>b. peluang orang tersebut memperoleh minimal 3 tetapi kurang dari 7 barang </p><p>ya...</p></li></ul>