Calcul Inverse

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    03-Dec-2015

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methodes numeriques

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  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Cours 3: Inversion des matrices dans lapratique...

    Clment RauLaboratoire de Mathmatiques de ToulouseUniversit Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan

    Module complmentaire de maths, anne 2012

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    1 Rappel de lpisode prcdent sur linverse duneapplication linaire/matrice

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    2 Pivot de Gauss sur les matricesBut de lalgorithmePrsentation de la mthodeDiposition des calculs : un exempleLalgorithme gnral

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    1 Rappel de lpisode prcdent sur linverse duneapplication linaire/matrice

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    2 Pivot de Gauss sur les matricesBut de lalgorithmePrsentation de la mthodeDiposition des calculs : un exempleLalgorithme gnral

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Rappel : Notion dapplication bijective

    DefinitionSoit f : U V une application linaire. On dit que f estbijective si pour tout y de V , il existe un unique x dans U telque f (x) = y .

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Rappel : Notion dapplication bijective

    DefinitionSoit f : U V une application linaire. On dit que f estbijective si pour tout y de V , il existe un unique x dans U telque f (x) = y .

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Notion dinverse dun application linaire bijective

    Dans le cas o f est bijective, on peut lui fabriquer uneapplication inverse note f1

    f1 : V U

    qui chaque y de V associe lunique x de U tel que y = f (x).

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Notion dinverse dun application linaire bijective

    Dans le cas o f est bijective, on peut lui fabriquer uneapplication inverse note f1

    f1 : V U

    qui chaque y de V associe lunique x de U tel que y = f (x).

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Proprits videntes de linverse

    On a :f1 est bijective(f1)1 = fpour tout x dans U, f1(f (x)) = x ,

    ie : f1of = IdU

    pour tout y dans V , f (f1(y)) = y ,

    ie : fof1 = IdV

    si f est linaire, alors f1 lest aussi.Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Proprits videntes de linverse

    On a :f1 est bijective(f1)1 = fpour tout x dans U, f1(f (x)) = x ,

    ie : f1of = IdU

    pour tout y dans V , f (f1(y)) = y ,

    ie : fof1 = IdV

    si f est linaire, alors f1 lest aussi.Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Proprits videntes de linverse

    On a :f1 est bijective(f1)1 = fpour tout x dans U, f1(f (x)) = x ,

    ie : f1of = IdU

    pour tout y dans V , f (f1(y)) = y ,

    ie : fof1 = IdV

    si f est linaire, alors f1 lest aussi.Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Proprits videntes de linverse

    On a :f1 est bijective(f1)1 = fpour tout x dans U, f1(f (x)) = x ,

    ie : f1of = IdU

    pour tout y dans V , f (f1(y)) = y ,

    ie : fof1 = IdV

    si f est linaire, alors f1 lest aussi.Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Proprits videntes de linverse

    On a :f1 est bijective(f1)1 = fpour tout x dans U, f1(f (x)) = x ,

    ie : f1of = IdU

    pour tout y dans V , f (f1(y)) = y ,

    ie : fof1 = IdV

    si f est linaire, alors f1 lest aussi.Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Proprits videntes de linverse

    On a :f1 est bijective(f1)1 = fpour tout x dans U, f1(f (x)) = x ,

    ie : f1of = IdU

    pour tout y dans V , f (f1(y)) = y ,

    ie : fof1 = IdV

    si f est linaire, alors f1 lest aussi.Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Proprits videntes de linverse

    On a :f1 est bijective(f1)1 = fpour tout x dans U, f1(f (x)) = x ,

    ie : f1of = IdU

    pour tout y dans V , f (f1(y)) = y ,

    ie : fof1 = IdV

    si f est linaire, alors f1 lest aussi.Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Dfinition de linverse dune matrice

    Puisque une matrice est une reprsentation dune applicationlinaire (dans de certaines bases), la notion dinverse duneapplication linaire se translate aux matrices...

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Dfinition de linverse dune matrice

    On considre une application linaire bijective f : Rn RmSoit Bd et Ba des bases respectives de Rn et Rm.Soit A la matrice de f dans les bases Bd et BaSoit B la matrice de f1 dans les bases Ba et Bd

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Dfinition de linverse dune matrice

    On considre une application linaire bijective f : Rn RmSoit Bd et Ba des bases respectives de Rn et Rm.Soit A la matrice de f dans les bases Bd et BaSoit B la matrice de f1 dans les bases Ba et Bd

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Dfinition de linverse dune matrice

    On considre une application linaire bijective f : Rn RmSoit Bd et Ba des bases respectives de Rn et Rm.Soit A la matrice de f dans les bases Bd et BaSoit B la matrice de f1 dans les bases Ba et Bd

    Clment Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

  • Rappel de lpisode prcdent sur linverse dune application linaire/matricePivot de Gauss sur les matrices

    Notion dinverse dune application linaireInverse dune matriceCritre dinversibilit : le dterminant

    Dfinition de linverse dune matrice

    Puisque la multiplication matricielle a t construite pourprolonger la composition des applications, des galits

    f1of = IdRn fof1 = IdRm

    on dduit :BA = Idn AB = Idm,

    o Idp =

    1 0... . . . ...0 1

    (de taille p)DefinitionLa matrice B sappelle la matrice inverse de A. On la noteparfois A1.

    Clment Rau Cours 3: Inversi