Capítol 10 Corrent altern sinusoïdal - X. alterna.pdf · 10-1 Capítol 10 Corrent altern sinusoïdal…

  • Published on
    15-Sep-2018

  • View
    212

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

  • 10-1

    Captol 10

    Corrent altern sinusodal

    10.1 Generaci de corrent altern sinusodal

    10.2 Caracterstiques dun c.a.s.

    10.3 Resposta dels dipols bsics

    10.4 Impedncia dun dipol RLC en srie

    10.5 Potncia dun dipol RLC en srie

    10.6 Ressonncia i filtres

    10.7 Qestions i problemes

    Objectius Conixer les caracterstiques del corrent altern, i el seu efecte

    sobre resistncies, condensadors i bobines.

    Interpretar el desfasament entre diferncia de potencial i in-tensitat de corrent en circuits de corrent altern.

    Calcular relacions entre diferncies de potencial i intensitats de corrent en dipols RLC en srie.

    Definir la impedncia dun circuit.

    Analitzar un circuit RLC srie des del punt de vista energtic.

    Conixer el significat del factor de potncia.

    Estudiar la ressonncia dun circuit RLC i les seues aplicaci-ons a filtres.

    Conixer la notaci complexa en corrent altern.

    Introducci

    Es parla de corrent altern en un circuit quan la intensitat i la diferncia de potencial varien sinusodalment amb el temps i(t) = Im cos (t + i). La utilitzaci del corrent altern en aplicacions relacionades amb lenergia elctrica s conse-qncia dels seus diferents avantatges tecnolgics. s de fcil generaci, tal com veurem en el primer punt del tema.

  • 10-2

    s de fcil transport, les lnies dalta tensi transporten grans quantitats denergia amb poques prdues comparades a les que es tindrien en corrent continu.

    Utilitzant transformadors s fcil passar de potenci-als alts, mitjanant els quals es realitza el transport denergia, a potencials baixos per a les aplicacions domstiques o industrials, i viceversa. Els transfor-madors, com sha pogut veure en el captol 13, sn sistemes passius formats per bobines de diferent nombre despires, en els quals, per efectes dinducci, saconsegueixen relacions de transfor-maci iguals a les relacions entre el nombre despires de les seues bobines. (En la figura, un transformador de la central de Cortes de Pallars.)

    El corrent altern es pot convertir fcilment en corrent continu, per a aplicacions delectrnica i informtica, mitjanant la utilitzaci de circuits rectificadors com els estudiats en el captol 10.

    A ms, el corrent altern presenta els avantatges mate-mtics de les funcions trigonomtriques: La suma i la resta de funcions sinusodals de la mateixa pulsaci donen una

    funci sinusodal tamb amb la mateixa pulsaci. La derivaci i la integraci donen com a resultat una funci sinusodal. I finalment, la transformaci de funcions peridiques en sries de Fourier

    permet aplicar els resultats del corrent altern sinusodal a qualsevol corrent que seguisca funcions peridiques aplicant superposici. Aquesta possibili-tat s molt important, ja que dna peu a utilitzar les conclusions de lestudi de circuits de corrent altern sinusodal que plantejarem en aquest tema a circuits electrnics analgics i digitals.

    10.1 Generaci dun corrent altern sinusodal

    El fonament de la generaci del corrent altern ja sha tractat en lapartat 13.7. El gir dun conjunt despires en un camp magntic produeix una fora e-lectromotriu induda segons la llei de Faraday. En aquell apartat sha demostrat que la fora electromotriu varia amb el temps en la forma

    = NSBcos(t + 0)

    s a dir, la fora electromotriu s una funci sinusodal del temps amb

    un valor mxim que depn del nombre despires, de la superfcie daquestes, del camp magntic i de la pulsaci.

    El principi s el mateix en tots els generadors de corrent altern: des duna central elctrica (nuclear, trmica, hidrulica, elica...) fins a la dinamo duna bicicleta.

    Figura 10.1. Transformador de la central de Cortes de

    Pallars.

  • 10-3

    10.2 Caracterstiques dun c.a.s.

    En una funci sinusodal, per

    exemple u(t) = Um cos(t + u) que representa una diferncia de potencial, podem distingir els parmetres se-gents:

    Lamplitud, Um, s el valor mxim al qual arriba la funci sinusodal. Tindr les unitats de la magnitud que represente, en el nostre cas volts (vegeu la Figura 10.2).

    El perode duna funci sinusodal T s la durada en temps dun cicle complet. Tindr per unitats les del temps, els segons (vegeu la Figura 10.2).

    La freqncia f s el nombre de cicles de la funci sinuso-dal en una unitat de temps, s a dir, en un segon. s, per

    tant, linvers del perode T

    f1= .

    La unitat s lhertz (Hz), linvers del segon s-1 (Hz).

    La pulsaci, , sn els radi-ans recorreguts per unitat de temps. Ats que un cicle sn 2 radians, i el perode s la durada dun cicle, la pulsaci ser el quocient entre ambds:

    21

    2 fT

    == . Tindr les mateixes unitats de la freqncia, tot i que

    sutilitzen els radians per segon per assenyalar la forma dexpressar els an-gles s-1 (radians/s). La fase s t + u, que expressarem en radians.

    La fase inicial s u, i representa el valor de la fase en linstant inicial. En alguns llibres, per raons de facilitat de lectura, sexpressa la fase inicial en graus i la pulsaci en radians per segon. En operar shauran dexpressar ambds termes en les mateixes unitats.

    -2

    0

    2

    temps

    D.d

    .p. (

    V)

    Um

    T

    1

    3

    -1

    -3

    Figura 10.2. Amplitud i perode dun c.a.s.

    0

    Fase (radians)

    D.d

    .p. (

    V)

    u

    2

    0

    4

    -4

    -2 2 4 6t

    Figura 10.3. Fase inicial dun c.a.s.

  • 10-4

    El desfasament es defineix per a dues funcions sinuso-dals. Per exemple, si estudi-em la relaci entre una dife-rncia de potencial u(t) = Um cos(t + u) i una intensitat de corrent i(t) = Im cos(t + i) en un circuit (vegeu la Figura 10.4). Ge-neralment relacionarem la fase de la diferncia de po-tencial respecte de la de la intensitat. El desfasament s la diferncia entre la fase inicial de la diferncia de potencial i la intensitat = u - i.

    El signe del desfasament sutilitza per a assenyalar quina funci est avanada en temps respecte de laltra.

    Si s positiu voldr dir que la diferncia de potencial est avan-ada en el temps respecte de la intensitat.

    Si s negatiu voldr dir que la diferncia de potencial est en-darrerida, o duna altra manera, que la intensitat est avanada.

    Si s zero es diu que les dues magnituds estan en fase. Valor efica: Quan mesurem una magnitud

    sinusodal, evidentment els aparells de me-sura no poden expressar el valor instantani, ja que varia contnuament. Tampoc podem fer s del valor mitj, ja que ser nul (Figura 10.5):

    valor mitj: 0cos1

    0

    == T

    m tdtUTu

    Els aparells de mesura de magnitud si-nusodals expressen el valor efica (U, I), que s larrel quadrada del valor mitj del quadrat de la funci sinusodal durant un cicle (Figura 10.6):

    ==T

    mm

    UtdtU

    Tu

    0

    2222

    2cos

    1

    UU

    uU mEFICA ===2

    2

    II

    I mEFICA ==2

    El significat fsic del valor efica vindr

    donat pel fet de ser el valor de la mateixa magnitud, intensitat de corrent o diferncia de

    0

    Fase (radians)

    D.d

    .p. (

    V)

    u

    0

    3

    -3-2 2 4 6

    i

    i(t)u(t)

    Inte

    nsita

    t (m

    A)

    0

    4

    -4

    Figura 10.4. Diferncia de fase entre la diferncia de poten-

    cial i la intensitat de corrent.

    -4-3-2-101234

    fase (radians)

    Figura 10.5. El valor mitj duna funci sinusodal s nul.

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    fase (radians)

    2

    2mU

    Figura 10.6. Valor mitj del quadrat duna

    funci sinusodal.

  • 10-5

    potencial, que en corrent continu produiria el mateix efecte Joule en una resis-tncia elctrica, tal com es podr entendre quan parlem de potncia dun dipol RLC.

    10.3 Resposta dels dipols bsics

    Tal com sha definit en el captol 7, en els circuits elctrics es denominen dipols tots els elements que tenen dos extrems accessibles al circuit. En aquell mateix captol shan definit els dipols passius com aquells dipols que no submi-nistren energia al circuit; en aquell moment lnic dipol bsic passiu que shavia estudiat era la resistncia. En corrent altern estudiarem tamb uns altres dos dipols bsics que sn el condensador i la bobina, els fonaments dels quals shan estudiat en els temes 4 i 13, res-pectivament. En corrent altern denomi-narem dipol o impedncia srie un e-lement format per una resistncia, un condensador i una bobina connectats en srie, de manera que en el circuit circular la mateixa intensitat de cor-rent pels tres. Ser lelement bsic per a lestudi del corrent altern en circuits, i buscarem les relacions entre la diferncia de potencial i la intensitat de corrent per aquest.

    Per a trobar la relaci entre diferncia de potencial i intensitat en el dipol partirem de les relacions que hi ha en els dipols bsics. La diferncia de poten-cial en el dipol ser la suma de les diferncies de potencial en cadascun dels tres dipols bsics (vegeu la Figura 10.7):

    u(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)

    La relaci entre la diferncia de potencial i intensitat en la resistncia ve donada per la resistncia R a travs de la llei dOhm:

    uR(t) = Ri(t)

    En la bobina, la llei de Faraday proporciona la relaci entre la fora elec-

    tromotriu induda, que ser la diferncia de potencial entre els extrems, i la va-riaci de la intensitat de corrent amb el temps a travs de lautoinducci L:

    dttdi

    LtuL)(

    )( =

    Els fenmens dinducci en la bobina actuen com una fora contraelec-tromotriu, oposant-se sempre a les variacions de la intensitat de corrent.

    En el condensador, la capacitat C s igual al quocient entre la seua cr-rega i la diferncia de potencial en els extrems:

    Ctq

    tuC)(

    )( =

    L R C L R C i(t) i(t)

    uR(t) uR(t) uL(t) uL(t) uC(t) uC(t)

    u(t) u(t)

    Figura 10.7. Dipol RLC srie.

  • 10-6

    Com a nosaltres ens interessa la relaci amb la intensitat, en derivar lexpressi respecte del temps, la variaci de la crrega del condensador amb el temps ser igual a la intensitat de corrent que circula pel dipol:

    Cti

    dttduC )()( =

    Daquesta manera, la diferncia de potencial del dipol quedar:

    Ctq

    dttdi

    LtRitu)()(

    )()( ++=

    Expressi vlida independentment que saplique en corrent altern sinu-

    sodal o un altre tipus de funcions. Si apliquem una diferncia de potencial sinusodal al dipol les expressi-

    ons quedarien de la manera segent: u(t) = Um cos (t + u)

    )cos()()(

    )()( um tUCtq

    dttdi

    LtRitu +=++=

    Com ens interessa la relaci amb la intensitat, derivem lexpressi:

    )sin()()()()(

    2

    2

    um tUCti

    dt

    tidL

    dttdi

    Rdt

    tdu +=++=

    Aquesta equa-

    ci diferencial de se-gon grau completa es pot integrar, per no ens interessa el resul-tat analtic. En la Figura 10.8 es repre-senta la diferncia de potencial i la intensitat de corrent enfront del temps per a un cas particular, calculada per mtodes numrics. Del resultat destaquem que:

    Hi ha un perode de temps inicial, en el qual la intensitat segueix una funci relativament complicada respecte del temps. Aix s el que es denomina el rgim transitori.

    Transcorregut un determinat nombre de cicles, la intensitat segueix una funci sinusodal digual freqncia que la diferncia de potencial i des-fasada respecte daquella, que s el que es denomina el rgim estaci-onari.

    En els casos reals de corrent altern el resultat ser equivalent, i el temps que durar el transitori ser negligible per a aplicacions prctiques reals, per la qual cosa ens centrarem en lestudi del rgim estacionari. Per tant, la conclusi s que en corrent altern la diferncia de potencial i la intensitat de corrent si-guen funcions sinusodals, digual freqncia i desfasades.

    Temps

    u(t)

    i(t)

    Figura 10.8. Rgim transitori i rgim estacionari.

  • 10-7

    Daquesta manera, pels tres dipols bsics circular la mateixa intensitat:

    i(t) = Im cos (t + i) En corrent altern ens interessar conixer la relaci entre amplituds de

    diferncia de potencial i intensitat en els dipols, i el desfasament entre les dues magnituds sinusodals. Comenarem per estudiar el que passa en cada dipol bsic.

    Resistncia En la resistncia la diferncia

    de potencial podem expressar-la com:

    uR(t) = URm cos (t + R)

    Com la relaci amb la intensi-tat la coneixem:

    uR(t) = Ri(t) = RIm cos (t + i)

    Podem ara identificar termes

    de la igualtat anterior: RIm cos (t + i) = URm cos (t + R)

    URm = RIm; R = i

    La relaci entre amplituds ve donada per la llei dOhm, i les dues magni-tuds estan en fase.

    Bobina En la bobina la diferncia de

    potencial tindr lexpressi segent: uL(t) = ULm cos (t + L)

    Com la relaci amb la intensitat la coneixem:

    )sin()(

    )( imL tLIdttdi

    Ltu +==

    Transformem la funci sinus

    en cosinus per a poder comparar-la amb la de la diferncia de potencial:

    )2

    cos()(++= imL tLItu

    I ara identifiquem termes de la igualtat:

    tiempo

    Dife

    renc

    ia d

    e po

    tenc

    ial

    Inte

    nsid

    ad

    V

    I

    Figura 10.9. Intensitat i diferncia de potencial en la

    resistncia.

    tiempo

    Dife

    renc

    ia d

    e po

    tenc

    ial

    Inte

    nsid

    ad

    V

    I

    Figura 10.10. Intensitat i diferncia de potencial en la

    bobina

  • 10-8

    )cos()2

    cos( LLmim tUtLI +=++

    2 ;

    +== iLmLm ILU

    La relaci entre amplituds depn de la pulsaci (s a dir, de la freqn-cia) i per tant no s constant. A freqncies baixes la diferncia de potencial sanulla, la bobina actua com un curtcircuit. A freqncies altes actuaria com un circuit obert. A ms les dues magnituds estan desfasades, la diferncia de potencial est avanada 90 respecte de la intensitat.

    El terme XL = L es denomina reactncia inductiva, i t unitats de re-sistncia elctrica ().

    Condensador En el condensador la dife-

    rncia de potencial tindr lexpressi segent:

    uC(t) = UCm cos (t + C) La relaci entre les dues magni-tuds, lobtenim a partir de la crrega del condensador:

    Ctq

    tuC)(

    )( =

    Derivant obtenim la relaci amb la intensitat:

    )cos(1)()(

    imC tI

    CCti

    dttdu +==

    Tornem a transformar el sinus en cosinus:

    ++=+2

    cos)sin( CCmCCm tUtU

    I identificant termes:

    ++=+2

    cos)cos(1

    CCmim tUtIC

    2 ;

    =

    = iCmCm CI

    U

    La relaci entre amplituds depn de la pulsaci, igual que en la bobina, i

    per tant no s constant. Per la relaci s la contrria, i a freqncies altes la diferncia de potencial sanulla, el condensador actua com un curtcircuit. A freqncies baixes el condensador actuar com un circuit obert. A ms, les du-

    tiempo

    Dife

    renc

    ia d

    e po

    tenc

    ial

    Inte

    nsid

    ad

    V

    I

    Figura 10.11. Intensitat i diferncia de potencial en el

    condensador.

  • 10-9

    es magnituds estan desfasades, la diferncia de potencial est retardada 90 respecte de la intensitat.

    El terme XC = 1/(C) es denomina reactncia capacitiva, i t tamb uni-tats de resistncia elctrica ().

    10.4 Impedncia dun dipol RLC en srie

    Una vegada que coneixem la resposta dels dipols bsics, po-dem plantejar la resposta dun dipol srie. Com ens interessa conixer el desfasament entre diferncia de potencial i intensitat, = u - i, simplificarem les ex-pressions considerant nulla la fase inicial de la intensitat, de ma-nera que la de la diferncia de potencial siga igual al desfasa-ment entre les dues magnituds:

    u(t) = Um cos (t + )

    i(t) = Im cos (t)

    Aplicant el resultat de lanlisi que hem fet dels dipols bsics a la dife-rncia de potencial en el dipol:

    u(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t)

    +

    ++=+2

    cos2

    cos)cos()cos( tCI

    tLItRItU mmmm

    Per poder simplificar la resoluci del problema, substitum aquesta ex-

    pressi en dos instants de temps singulars: En t = 0,

    +

    +=2

    cos2

    cos)0cos()cos(CI

    LIRIU mmmm

    Um cos() = RIm (1)

    i en =

    2t ,

    )cos()0cos(2

    cos2

    cos2

    ++

    =

    +=CI

    LIRIUt mmmm

    =

    CI

    LIU mmm )sin( (2)

    Si ara dividim les dues expressions (1) i (2):

    faseD

    ifer

    enci

    a d

    e p

    ote

    nci

    al

    Inte

    nsi

    dad

    U mI m

    I

    U

    Figura...