CHAPITRE 1. STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES ?· PT – Electronique – Chapitre 1 Page 2 STABILITE…

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    13-Sep-2018

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  • PT Electronique Chapitre 1 Page 1

    CHAPITRE 1. STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES

    I. Quest ce que la rponse harmonique dun systme linaire permanent ? ................................................ 2

    1. Rponse harmonique .............................................................................................................................. 2

    2. Systme linaire ...................................................................................................................................... 2

    3. Critre de linarit ................................................................................................................................... 3

    4. Systme permanent ou stationnaire ....................................................................................................... 3

    II. Comment caractriser la rponse harmonique ? ........................................................................................ 4

    1. Rgime harmonique tabli ...................................................................................................................... 4

    2. Fonction de transfert ............................................................................................................................... 4

    3. Notation oprationnelle ou de Laplace ................................................................................................... 4

    4. Reprsentation de la fonction de transfert : diagramme de Bode ......................................................... 5

    III. Comment tudier la rponse dun systme un signal priodique ? ........................................................ 7

    1. Dcomposition dun signal priodique quelconque en srie de Fourier ................................................ 7

    2. Reprsentation de la dcomposition : spectre ....................................................................................... 7

    3. Dcomposition en srie de Fourier de signaux usuels ............................................................................ 8

    a. Fonction harmonique .......................................................................................................................... 8

    b. Fonction crneau de valeur moyenne nulle ........................................................................................ 8

    c. Signal triangulaire ................................................................................................................................ 8

    4. Influence dun systme linaire sur un signal priodique : filtrage ...................................................... 10

    a. Principe .............................................................................................................................................. 10

    b. Filtrage dun crneau par un passe-bas ............................................................................................ 10

    c. Filtrage dun crneau par un passe-bande ........................................................................................ 11

    5. Comment vrifier quun systme rel est un systme linaire ? .......................................................... 11

    IV. Stabilit des systmes linaires ................................................................................................................ 12

    1. Dfinition ............................................................................................................................................... 12

    2. Rgime libre ........................................................................................................................................... 12

    3. Systme d'ordre un ............................................................................................................................... 12

    4. Systme d'ordre deux ............................................................................................................................ 13

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 2

    STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES

    Les objectifs de ce premier chapitre sont de :

    - dfinir un systme linaire ;

    - dcrire son comportement en rgime harmonique (fonction de transfert et diagramme de Bode) ;

    - caractriser la linarit d'un systme, utiliser la dcomposition en srie de Fourier.

    I. Quest ce que la rponse harmonique dun systme linaire permanent ?

    De nombreux systmes physiques (filtres en lectronique, masse soumise laction dun ressort de rappel et

    dun amortisseur en mcanique, machine courant continu en lectrotechnique), dans un domaine de

    fonctionnement limit, peuvent tre modliss par des systmes linaires, dont ltude est relativement

    simple.

    Nous limitons notre tude des systmes une seule entre et une seule sortie.

    1. Rponse harmonique

    Le rle dun systme est dlaborer un signal , signal de sortie ou rponse, partir dun signal donn

    , signal dentre ou excitation.

    e(t) s(t)

    La rponse harmonique est la rponse du systme un signal sinusodal : .

    2. Systme linaire

    Un systme est linaire si les grandeurs et sont lies par une quation diffrentielle linaire (D) :

    et sont des constantes relles

    , ordre maximal des drives successives de , est l'ordre du systme linaire.

    Consquence : Thorme de superposition (vrifi par tout systme linaire)

    Intrt :

    Connatre la rponse harmonique dun systme linaire permet de connatre sa rponse nimporte

    quel signal priodique (par dcomposition en srie de Fourier).

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 3

    3. Critre de linarit

    Un systme est linaire si sa rponse harmonique est harmonique.

    dit autrement : Les signaux sinusodaux sont des fonctions isomorphes des systmes linaires.

    Ltude de la rponse harmonique permet donc de vrifier la validit du modle linaire.

    4. Systme permanent ou stationnaire

    Un systme permanent est un systme dont toutes les caractristiques sont indpendantes du temps.

    Consquence : Thorme dinvariance (vrifi par tout systme permanent)

    Intrt :

    Un systme permanent nest pas modifi par un changement de lorigine du temps : .

    Une excitation donne engendrera toujours la mme rponse, quelque soit linstant auquel on la

    dclenche.

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 4

    II. Comment caractriser la rponse harmonique ?

    1. Rgime harmonique tabli

    Une fonction sinusodale du temps, dfinie sur ; n'a pas de caractre physique.

    Si l'tude est faite "suffisamment" longtemps aprs le dbut de l'excitation et si le rgime transitoire

    samortit, le rgime sinusodal est tabli : cest le "rgime sinusodal forc".

    En rgime harmonique tabli, on ne conserve que la solution particulire de lquation diffrentielle :

    cest une fonction sinusodale de pulsation , pulsation du signal harmonique d'entre.

    Si elle existe, cette solution est unique. (rsultats admis)

    lexcitation , correspond la rponse .

    Passage en notation complexe :

    La drivation par rapport quivaut une multiplication par .

    Lquation (D) scrit alors :

    2. Fonction de transfert

    La fonction de transfert du systme linaire, aussi appele transmittance complexe est :

    Le choix des lettres et pour les coefficients de lquation diffrentielle apparat clairement sur cette

    dernire expression.

    3. Notation oprationnelle ou de Laplace

    Cette notation repose sur la transformation de Laplace que nous ne dvelopperons pas ici. Dans le cas du

    rgime harmonique, on note .

    La fonction de transfert se note alors :

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 5

    Intrt :

    Dans la notation de Laplace est considr comme un oprateur :

    Sil sagit de loprateur multiplication par la constante , on retrouve la fonction de transfert

    complexe.

    Sil sagit de loprateur drive par rapport au temps , on retrouve lquation diffrentielle.

    4. Reprsentation de la fonction de transfert : diagramme de Bode

    Le gain est dfini par :

    Le dphasage de par rapport est dfini par :

    Le gain en dcibel (dB) est dfini par :

    Le diagramme de Bode donne les deux courbes et en fonction de .

    Soit la valeur maximale de ; est la valeur maximale de .

    La pulsation de coupure est dfinie par :

    On dfinit de mme la frquence de coupure :

    La bande passante dun filtre est lintervalle de pulsation donnant une amplification (ou un gain)

    suprieur la valeur de coupure :

    Annexe : Principales fonctions de transfert

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 6

    PRINCIPALES FONCTIONS DE TRANSFERT

    I. Importance des systmes dordre 1 et 2 Une fonction de transfert oprationnelle est une fraction rationnelle coefficients rels ; on peut donc la

    dcomposer en une somme de fractions rationnelles dont les dnominateurs ont un degr infrieur ou gal

    2.

    Ainsi tout systme linaire peut tre considr comme la composition de systmes linaires dordres au plus

    gal 2.

    II. Fonctions de transfert fondamentales Nous notons la fonction de transfert en rgime permanent, une constante de temps (que lon pourrait

    aussi noter

    ) et un coefficient sans dimension (que lon pourrait aussi noter

    ).

    Systmes linaires dordre 1

    Passe-bas :

    ou

    Passe-haut :

    ou

    Dphaseur :

    ou

    Systmes linaires dordre 2

    Passe-bas :

    ou

    Passe-haut :

    ou

    .

    Passe-bande :

    ou

    Rjecteur :

    ou

    Dphaseur :

    ou

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 7

    III. Comment tudier la rponse dun systme un signal priodique ?

    1. Dcomposition dun signal priodique quelconque en srie de Fourier

    Tout processus priodique dans le temps (ou dans lespace) peut tre reprsent comme la superposition

    dun nombre infini de processus harmoniques dont les pulsations forment une suite discrte.

    On considre un signal de forme quelconque priodique, donc de frquence

    de pulsation

    . Sa dcomposition en srie de Fourier scrit alors :

    La premire harmonique est le terme dit fondamental de la srie de Fourier, la pulsation du fondamental

    est . Les harmoniques proprement dites sont les termes de pulsation o .

    Proprits importantes:

    Si est une fonction paire, , si est une fonction impaire, .

    Lorsque la composante continue est nulle, le signal est alternatif.

    En physique, on crit plutt la dcomposition sous la forme :

    (justification par la mthode complexe)

    Lintrt de cette notation est dattribuer une amplitude unique la ime harmonique et de pouvoir

    synthtiser en un seul graphe le spectre des amplitudes des harmoniques de .

    2. Reprsentation de la dcomposition : spectre

    Le spectre permet de reprsenter l'ensemble des coefficients intervenant dans la dcomposition en srie de

    Fourier. Le spectre d'une fonction priodique de frquence

    est discontinu ; il est non nul aux

    frquences

    . On peut reprsenter :

    - le spectre en cosinus : ensemble des ;

    - le spectre en sinus : ensemble des ;

    - le spectre d'amplitude : ensemble des ;

    - le spectre de phase : ensemble des .

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 8

    3. Dcomposition en srie de Fourier de signaux usuels

    a. Fonction harmonique

    Si ou si , le spectre d'amplitude est constitu d'une raie unique la

    pulsation .

    b. Fonction crneau de valeur moyenne nulle

    Si

    (valeur moyenne)

    (fonction impaire)

    c. Signal triangulaire

    Si

    (valeur moyenne)

    (fonction paire)

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 9

    DEMONSTRATION DES COEFFICIENTS DE FOURIER

    DE LA DECOMPOSITION DES SIGNAUX CARRES ET TRIANGULAIRE

    I. Signal carr

    II. Signal triangulaire

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 10

    4. Influence dun systme linaire sur un signal priodique : filtrage

    a. Principe

    Un systme linaire de fonction de transfert est soumis un signal dentre

    priodique . peut tre dcompos en srie de Fourier :

    Le signal de sortie correspondant au signal dentre , harmonique de pulsation , est :

    La linarit du systme permet den dduire le signal de sortie :

    Veiller bien prendre la pulsation pour lharmonique dordre .

    Ne pas oublier la composante continue correspondant la pulsation nulle, le terme de phase

    pouvant introduire un changement de signe lorsque .

    b. Filtrage dun crneau par un passe-bas

    Spectre damplitude (coefficients )

    du signal dentre

    Diagramme du gain du systme

    (passe bas)

    Superposition des deux graphes

    Allure du spectre (coefficients )

    du signal de sortie

    Sur cet exemple, seules subsistent de faon notable la composante continue et le fondamental :

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 11

    c. Filtrage dun crneau par un passe-bande

    Spectre damplitude (coefficients )

    du signal dentre

    Diagramme du gain du systme

    (passe bande tel que )

    Superposition des deux graphes

    Allure du spectre (coefficients )

    du signal de sortie

    Comme le filtre est trs slectif, facteur de qualit Q trs lev, le signal de sortie est sinusodal sans

    composante continue. Si Q tait moins lev, il pourrait subsister dautres raies dans le spectre du signal de

    sortie et celui-ci ne serait plus sinusodal.

    5. Comment vrifier quun systme rel est un systme linaire ?

    Le critre de linarit nous indique quun systme est linaire si sa rponse harmonique est harmonique.

  • PT Electronique Chapitre 1 Page 12

    IV. Stabilit des systmes linaires

    1. Dfinition

    Physiquement, il est impossible davoir un signal sinusodal infini. Il existe toujours dans un premier temps

    un rgime transitoire.

    Le rgime transitoire correspond la solution de lquation homogne (H) :

    Cette rponse, correspondant une grandeur dentre nulle, est appele rponse libre ou rgime libre.

    Un systme stable est un systme pour lequel la rponse libre (la solution gnrale de l'quation

    diffrentielle) temps vers 0.

    2. Rgime libre

    La condition de stabilit ne porte pas sur le rgime tabli (solution particulire), mais sur le rgime libre.

    Un systme est stable si son rgime libre ne diverge pas. Au contraire, il est instable si le rgime libre

    diverge.

    3. Systme d'ordre un

    a. Coefficients de l'quation diffrentielle

    L'quation diffrentielle dont le rgime libre est solution est la suivante :

    o est un paramtre homogne un temps. On tudie la stabilit en traant l'volution dans le plan de

    phase

    , dans lequel la trajectoire est rectiligne ; en effet, l'quation diffrentielle peut s'crire

    Les deux cas sont alors distingus par le signe de :

    si est positif, alors le point reprsentatif du systme se rapproche de l'origine du systme : le

    systme est stable,

    si est ngatif, alors le point reprsentatif du systme s'loigne de l'origine du systme : le systme

    est instable.

    Un systme du premier ordre est...