Clase5 Matrices Complemento Usm 2011

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    15-Jul-2015

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Coordinacin de Matemtica II (MAT022)Segundo semestre de 2011Semana 4: Lunes 5 al Sbado 10 de Diciembre.COMPLEMENTO Clase 1: Matrices y operaciones elementales. Rango. Clase 2: Notacin matricial de sistemas de ecuaciones lineales. Resolucin de sistemas deecuaciones lineales por eliminacin Gaussiana.ContenidosCLASE 11.1 Operaciones elementales y Matrices elementalesDenicin 1.1. En una matriz podemos realizar tres tipos de operaciones elementales por la:(1) Intercambiar (permutar) dos de sus las.(2) Multiplicar una la (es decir cada coeciente de la correspondiente la) por una constante distinta de cero.(3) Sumar el mltiplo de una la a otra laEjemplo 1.1. Ejemplos de operaciones elementales: Intercambio entre dos las: las las 1 y 3___2 0 15 4 37 6 9______7 6 95 4 32 0 1___ Multiplicacin de una la por un escalar: la la 2, se multiplica por 3___4 0 15 4 32 8 9______4 0 115 12 92 8 9___Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemtica Adicin del mltiplo de una la a otra la: Multiplicamos la la 2 por 2 y se la sumamos a la la 3___1 0 11 0 23 8 9______1 0 11 0 25 8 5___1.2 Matrices elementalesDenicin 1.2. Una matriz elemental es una matriz que resulta al efectuar una operacin elemental sobre la matrizidentidad InDado que existen tres tipos de operaciones elementales, existirn entonces tres tipos de matrices elementales; usare-mos la notacin siguiente: Ei jEs la matriz elemental obtenida intercambiando (en la matriz identidad) la la icon la la j Ei () Es la matriz obtenida multiplicando (en la matriz identidad) la la ipor =0 Ei j () Es la matriz obtenida sumndole a la la i , la la jmultiplicada por Ejemplo 1.2. Para la matriz I4:1. E24 =_____1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0_____2. E3(2) =_____1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 1_____3. E31(4) =_____1 0 0 00 1 0 04 0 1 00 0 0 1_____Considere ahora la matrizA =_____1 2 1 02 5 6 43 1 0 50 2 3 4_____Note que si multiplicamos esta matriz por la matriz elemental E24 por la izquierda, esto es, efectuamos el productoE24A, obtenemos la matrizE24 A =_____1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0__________1 2 1 02 5 6 43 1 0 50 2 3 4_____=_____1 2 1 00 2 3 43 1 0 52 5 6 4_____que es lo mismo que haber efectuado sobre la matriz A la operacin elemental, intercambiar la la 2 con la la 4.Si efectuamos el producto E3(2) A, obtenemosE3(2) A =_____1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 1__________1 2 1 02 5 6 43 1 0 50 2 3 4_____=_____1 2 1 02 5 6 46 2 0 100 2 3 4_____MAT022 (Complemento) 2Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemticaque es lo mismo que se obtiene al realizar sobre la matriz A la operacin elemental, la la 3 la multiplicamos por -2.Si efectuamos el productoE31(4) A,obtenemos el mismo resultado de la operacin elemental sobre A,la la 1 lamultiplicamos por -4 y se la sumamos a la la 3.E31(4) A =_____1 0 0 00 1 0 04 0 1 00 0 0 1__________1 2 1 02 5 6 43 1 0 50 2 3 4_____=_____1 2 1 02 5 6 47 9 4 50 2 3 4_____Se tiene al respecto el siguiente teorema.Teorema 1.1. Sea Ela matriz elemental obtenida al efectuar una operacin elemental por la sobre la matriz In. Si lamisma operacin elemental se realiza sobre una matriz A de orden n m, el resultado es el mismo que el del producto E A.Denicin 1.3. Diremos que las matrices A y B son equivalentes por las si existe una sucesin de operaciones elemen-tales por las que convierte la matriz A en la matriz B. En tal caso pondremos A BComo hemos visto, realizar una operacin elemental sobre una matriz es equivalente a multiplicar por la izquierda esamatriz por una matriz elemental; para efectos de nuestros clculos haremos directamente la operacin elemental sobrela correspondiente matriz, y la anotamos de la manera que muestra el ejemplo siguiente:Ejemplo 1.3.___1 0 12 4 03 4 6___E21 (2)___1 0 10 4 23 4 6___E31 (3)___1 0 10 4 20 4 9___E32 (1)___1 0 10 4 20 0 7___En este caso las matrices___1 0 12 4 03 4 6___y___1 0 10 4 20 0 7___son equivalentes (por la).Observacin 1.1. Un desarrollo anlogo permite denir operaciones elementales columna.Denicin 1.4. Una matriz se encuentra en forma escalonada por las si satisface las siguientes propiedades: Cualquier la que se componga enteramente de ceros se ubica en la parte inferior de la matriz. En cada la distinta de cero, la primera entrada o coeciente (contado desde la izquierda), denominado pivote, selocaliza en una columna a la izquierda de cualquier entrada principal debajo de ella.si adems se cumple: Sus pivotes son todos iguales a 1 En cada la el pivote es el nico elemento no nulo de su columnadecimos que la matriz se encuentra en forma escalonada reducida.Ejemplo 1.4. Son matrices escalonadasA =_____1 2 4 5 2 90 0 2 6 0 10 0 0 3 4 10 0 0 0 1 1_____y B =_____1 2 0 00 0 2 00 0 0 00 0 0 0_____MAT022 (Complemento) 3Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemticapero la matrizC =_____1 2 0 1 1 30 1 4 5 7 02 0 0 1 1 10 0 0 0 0 1_____no es escalonada.Ejemplo 1.5. Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida:A =_____1 2 0 0 0 5830 0 1 0 0920 0 0 1 0530 0 0 0 1 1_____, B =_____1 0 0121200 1 0143400 0 11916311600 0 0 0 0 1_____Denicin 1.5. Un algoritmo es una secuencia nita de operaciones realizables, no ambiguas, cuya ejecucin da unasolucin de un problema en un tiempo nito.El algoritmo de reduccin de Gauss escalona una matriz por las por medio de operaciones elementales la. Aqu estala descripcin del algoritmo de reduccin de GaussSea A=_ai j_mn.Para k(ndice de la) tomando los valores 1, 2, . . . , m 1 :1. Si la submatriz Mkde las las k, (k +1) , , m solo tiene coecientes nulos no hacer nada.2. Si el punto anterior no se cumple, buscar el ndice j0 ms pequeo tal que la columna j0 tenga por lo menos uncoeciente distinto de cero en Mk. Hallar el i0 ms pequeo tal que ai 0 j0 = 0 e i0k. Si i0>koperar en la matrizpermutando las ke i0.3. Para ide k +1 a m, si ai j0=0 cambiar la la ipor la la imenosai j0ak j0la la k.Ejemplo 1.6. Consideremos la matriz___2 0 31 3 60 6 15___encontrar su forma escalonada:___2 0 31 3 60 6 15___E12___1 3 62 0 30 6 15___E21(2)___1 3 60 6 150 6 15___E32(1)___1 3 60 6 150 0 0___esta es su forma escalonada.Observacin 1.2. Mostrartambinquemedianteejemplosel algoritmodeGauss-Jordansepuedellevaralaformaescalonada reducida.Denicin 1.6. Sea A una matriz. Se denomina rango de la matriz A al nmero de las no nulas de la matriz escalonadaequivalente a la matriz A original obtenida por ejemplo mediante el algoritmo de reduccin de Gauss. Se denota el rangode la matriz A por (A) o bin rango(A).MAT022 (Complemento) 4Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaEjemplo 1.7. Determinar el rango de la matrizA =_______1 2 34 1 02 1 10 0 03 1 2_______Proposicin 1.1. Si A Mnmentonces (A) min{n, m}.CLASE 22.1 Sistemas de ecuaciones linealesConsideremos el sistema de m ecuaciones y n incgnitas_______a11x1 +a12x2 +. . . +a1nxn= b1a21x1 +a22x2 +. . . +a2nxn= b2.........am1x1 +am2x2 +. . . +amnxn= bmUsando matrices, el sistema se escribe como la ecuacin matricial AX = B, dondeA =______a11a12 a1na21a22 a2n............am1am2 amn______mn, X =______x1x2...xn______n1, B =______b1b2...bm______m1Denicin 2.1. Considere un sistema AX = B con A mn (), B m1 (). Diremos que X0 n1 () es solucindel sistema siAX0 = BDenicin 2.2. Un sistema se llama compatible si tiene al menos una solucin. Si el sistema no tiene solucin, diremosque es incompatible.Denicin 2.3. Sea A Mmn(). El sistema AX =0 se llama homogneo.Ejercicio 2.1. Si un sistema de ecuaciones tiene dos soluciones distintas entonces tiene innitas soluciones distintas2.1.1 Propiedades de los sistemas homogneos1. Un sistema homogneo es siempre compatible, porque X =0 es solucin.2. Si C Mmn() es tal que C A, entonces AX =0 y CX =0 tienen las mismas soluciones.para ver esto, note lo siguiente sobre las matrices elementales, Ei jEi j = I , Ei () Ei_1_= Iadems Ei j () Ei j () =I . De esta forma Si Ees una matriz formada por un producto de matrices elemetales entonces existe una matrizE1(llamada matriz inversa de E) tal queE1E = IComo A Cexiste una sucesin de matrices elementales E1, E2, . . . , Ektales queE1E2 EkA =C.MAT022 (Complemento) 5Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de MatemticaPongamos E = E1E2 Ek.Si X0 es tal que AX0 =0, entonces se sigue CX0 = EAX0 = E0 =0.Recprocamente si CX1 =0, entonces AX1 = E1CX1 =0.Todo lo anterior nos asegura que los dos sistemas homogneos AX =0 y CX =0 tienen las mismas soluciones.2.1.2 Sistemas no homogneosCon el mismo mtodo de la seccin anterior es posible mostrar que si(A) = EA es la matriz escalonada equivalente porlas con A entoncesAX = By (A) X = E Btienen las mismas soluciones. El segundo sistema es mucho ms fcil de resolver.Ejemplo 2.1. Resolver___1 2 00 1 20 0 2______xyz___=___123___note que este sistema esx +2y = 1y +2z = 22z = 3de la ltima ecuacin obtenemos z =32 reemplazamos este valor en la segunda ecuacin y despejamos para obtener y =1teneiendo estos dos valores reemplazamos en la primera ecuacin y obtenemos el valor x =1.Vemos que un mtodo para resolver sistemas seria obtener el sistema escalonado equivalente.Denicin 2.4. Sea A Mmn() yB Mm1(). Consideremos el sistema AX=BconB = 0. Llamaremos matrizampliada del sistema a la matriz(A, B) =______a11a12 a1nb1a21a22 a2nb2...............am1am2 amnbm______Mtodo de solucin mediante el algoritmo de Gauss: Como sabemos, AX = B y(A) X = E B, donde(A) = EA, tienenlas mismas soluciones, note que la matrices(A) y E Baparcen al aplicar las operaciones elementales que escalonan lamatriz Aentonces, si aplicamos el mtodo de Gauss para obtener la escalonada de matriz ampliada del sistema (A, B)estaremos obteniendo la matriz ( (A) , E B).Ejemplo 2.2. Resolver el sistema___1 2 13 0 11 1 2______xyz___=___120___Formamos la matriz ampliada del sistema(A, B) =___1 2 1 13 0 1 21 1 2 0___MAT022 (Complemento) 6Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemticaaplicamos el algoritmo de Gauss para obtener la escalonada___1 2 1 13 0 1 21 1 2 0______1 2 1 10 6 2 10 0 2 12___y ahora resolvemos el sistema___1 2 10 6 20 0 2______xyz___=___1112___que tiene las mismas soluciones.Teorema 2.1. Sea A Mmn() y B Mm1():1. El sistema AX = B es compatible si y solo si (A) =(A, B)2. Sea AX = B un sistema compatible.(a) Si (A) =(A, B) =n (nmero de incgnitas) entonces el sistema tiene solucin nica.(b) Si (A) =(A, B)