Convergence d'un schéma itératif explicite

  • Published on
    04-Jul-2016

  • View
    214

  • Download
    1

Embed Size (px)

Transcript

  • C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SPrie I, p. 511-514, 1998 Analyse num&ique/Numerical Analysis

    Convergence dun schhma it&atif explicite

    Mohamed Rachid LAY DI

    -

    R&urn& Une mCthode iterative est proposCe pour le calcul de solutions de problkmes variationnels par la mCthode des 6lt5ments finis. Ce calcul peut seffectuer Clement par ClCment dune manikre totalement expiicite. Nous appliquons cette mtthode B un schCma nodal pour la rCsolution de problkmeh de diffusion. et nous donnons des r&ultats de convergence. 0 Academic des Sciences/Elsevier. Paris.

    Nous pr&entons, dans la premikre section, un ulgorithrne g6zcrnl de Gtzuss-&i&l pour la m6thode des ClCments finis, fortement Ii6 aux nzcffhodes de correcrion par sous-espace.s (voir [I], [2]), et nous donnons une condition ru5xssaire et .sujjT,santr pour :

  • M.R. Laydi

    oti lifl est un espace delkments finis.

    (21, (.: .) est une forme bilinkaire symktrique dCfinie positive sur V,:,, . (2) ,[I, ( ) est une forme lintaire sur V,, 0)

    On lui associe deux sous-espaces I/t:/,. PI, de VI,, tels que V,, soit somme directe de WI, et ?f,, et on se donne une forme bilinkaire symCtrique lt,, (., .) sur V,, ,

    semi-dkfinie positive sur L,, et dCfinie positive sur Wn. (4)

    Alors. notre mtthode consiste h approcher la solution !bj, = ~31, + l)t,, WJ, E W,, , pl, E PI',, , du problirme (I), par :

    1

    en partant de ,I,: E V,, . trouver .!I;: := UJ;:+ + I,;:+ t/ ~1 E N :

    on calcule dabord ,I,:;:+ E iv,, vkrifiant :

    X,,h,, (w;;+ - ,w;; ; C/< ) = j,, (C/, ) - a/, (71;; ) //, ) tjlli, E I&,, , (5)

    on calcule ensuite ;o;:+ E Ff,, vCrifiant :

    (I,,, (P,, +l. V,)) = .f,,(v,,) - (/,,( w;~flJ~,,) vu,, E P,,,.

    pour un scalaire positif Xl,, tel que :

    (7)

    Plus prkcistment. on a :

    THCORCME I. - Soit VI, un espace de dimension jnie, muni dun produit scrrlcCre b,l (., .), tt soient W,, et P,, des sous-espaces tels que V,, wit somme directe de iv,, et P,, Alors, .sous les hypothPses (2). (3), (4) et (6). la suite de solutions {u;: } du problPme (5) converge vers la solution du prohrt?me (I) lorsque II, tend vers 1 infini.

    Remarque 1. - Ce rksultat est optimal. Pour sen assurer, il suffit de prendre p,,, et W,, orthogonaux pour le produit scalaire (~1, (., .). La condition (6) clevient alors nkcessaire pour bl, (.. .) = a,,(., .).

    Remarque 2. - La condition (6) est satisfaite lorsque I),,(.. .) = (61, (.. .) et XI, = 1. Dans ce cas, cet algorithme revient simplement 2 utiliser la mkthode de Gauss-Seidel par blocs.

    Remarque 3. - Lalgorithme (6) est done totalement explicite, dans le cas oh : I) lensemble V,, est lespace des fonctions de base noties d,,, % = 1: . N. N >> 1, et M;,,

    et P,, sont des sous-espaces engendrk respectivement par 4~~. . tn . 9 / ,,l et ciJ,,,+.~, . . ,d\i, pour un certain 71) E N, 1 < 7~). < N :

    2) le produit scalaire o,,(,. .) est dCtini par : l,,

    b,, (VI,. W,,) = c I+(,/,,, ) LI;~(lUjl) vii:,,, 111, E v,,. (8) A.= 1

    oti I opkrateur C, dksigne la forme associke 2 la fonction de base $, :

    L,(d,,) = n;.; vi.j = I,. ,fV.

    3) les fonctions de base de Iespace P,, sent ti supports deux-kdeux disjoints, cest-h-dire

    a~, (4, , Q, ) = 0 Vi, ;j = rrd + 1, . . , N. tel que % # ,j.

    512

  • Convergence dun schema itbratif explicite

    2. Application

    On considere la resolution, par une methode nodale, du problbme :

    i

    trouver u E H;(Q). solution de :

    - div( DV*u) + CT~I = .f dans 11, 71, = 0 sur X1, (9)

    oti 12 est un domaine polygonal borne darts Iw , de front&e ilb2. avec les donnees generales n E L(Q), D(z) > d > 0, IT E L2(62), ff(:c) 2 0 et f E L2(11).

    Pour cela, soit h > 0 un parametre de discretisation et soit z, une triangulation reguliere de R, composee de rectangles h;, de diametre inferieur a I/.. La methode nodale du plus bas ordre con&e a chercher une fonction ~1,) ~LI,,~ E P, := { 1. :rr. 3:~. XT, x;}, verifiant :

    - div( DV,,,o,,, ) + F ut, = 7 dans 12, [Ill,] = 0 sur At, ) ;izt, = 0 sur i)Af, 1 (10)

    ou V,, (.)I~ := V(,.) V(h; E Z,. i)Al, et At, designent respectivement lensemble des a&es du maillage contenues dans 312 et dans 12, et oti [u] designe le saut de la trace de 11 sur y. Les fonctions F et Z sent. definies par :

    oti 131 et ]h:] sont les mesures respectives de y et K. En fait, la methode utilisee est equivalente a la methode delements finis mixtes de Raviart-Thomas

    dordre le plus bas (voir [9]) et setend a la dimension 3 ainsi que sur divers types de maillages (voir [7]). On pourra consulter 1.51, [6] pour la convergence et [Sl pour la superconvergence.

    Algorithme de r&olution. - On associe a Iespace I,,. lensemble des degres de liberd C, constitue de la moyenne a linterieur de K et des moyennes le long de ses a&es. On se place dam le cas (voir remarque 3) oti :

    Les fonctions 41, et $K designent respectivement les fonctions de base dans Vt, associees a la moyenne sur y et a la moyenne sur h :

    - {

    1 sur 1. == 4, =

    1 sur K.!

    0 ailleurs, 4% =

    { 0 ailleurs.

    Compte tenu de ces notations, Ialgorithme (5) revient simplement a calculer la solution w, = EYEA,, n+& + C,rl,, u,&, du probltme (IO), par :

    I

    en partant de IL E I/ tr +,, on determine u,, I + l E vt, ) II E N :

    on calcule dabord u:+ sur y E At, : ,!I:+ = ur] - rrT 02 . .[- ,I on calcule ensuite uz+l sur h E TS par : -D~u~~+~ + Cr ,~c+l = r, 7

    ou ny est le vecteur normal a Iarete ;f E hl, exterieur B K.

    (I.?)

    51 3

  • M.R. Laydi

    Formulation vuriationnelle du probkme nodal. -- Introduisons les formes :

    et h,,(l/Q>, /I/,) := 1 ~o.,,~,,. (15)

    5EAJ Alors :

    PROPOSITION 1. - (i) Unefimction ~1, E VI, est solution unique du probl&ne nodal (10) si et seulement si elle est solution du problPme ( I ) atec a,, (~ .) et jf, donnees par (I 4).

    (ii) Le probkme (13) skrit, dune mani2re equivalente, .sous la ,fkwme (5) avec b,,(., .) don& par (15).

    PROPOSITION 2. - Supposons de plus yue

    le maillage est ,formi e.rclusi\ ement de rectangles carrks. (16)

    Alors, 1 inegalitk :

    h, 2 ; ;,t; P(:r:)( (17)

    est une condition sufjsunte pour la convergence du problPme iterat!f ( 13).

    Estimation du rayon spectral. - Notons HA la matrice gouvernant Ialgorithme ( 13), et supposons que :

    Alors :

    TH~OR~ME 2. - Sous les hypothRses .supplrmentaires (16), (18) et lhypoth6se A,, = 7d. le rayon spectral de lu mutrice HA satisjkzit ?I litkgalitr p( fix) < $.

    Remerciements. Lauteur remercie M. Laghsal pour tliffkrentea remarques fructeuses

    Rdfkences bibliograpbiques

    [I ] Bramble J.H.. Pahclah J.E.. W~lng J.. Xu J.. Convergence estimates for ptoduct iterative methods with applications to domain

    decomposition, Math. Comput. 57 (1991) I-21.

    ]2] Bramble J.H.. PaGak J.E., Xu J.. The analysis of multigrid algorithms with nonnested spaces or noninherited quadratic

    forms, Math. Comput. 56 ( IYY I J l-3 I.

    [3] Chen Z., Ewing R.. Lazarov R.. Domain decomposition algorithms for mixed methods for second-order elliptic problems.

    Math. Comput. 6.5 ( 1996) 467400.

    141 Glowinski R.. Dlnh Q.V., PCriaux J.. Domain decomposition methods for nonlinear problems in Ruid dynamics. Comput.

    Methods Appl. Mech. Enprg. 40 (lY83) 27-109.

    151 Hennart J.P.. A General Family oi Nodal Schemes. SIAM J. Sci. Statist. Comput. 7 (1986) 264-287.

    [6] Hennart J.P.. Jafft-e .I.. Rohert J.. .A Constructive Method for Deriving Finite Elements of Nodal type. Numer. Math. 53

    (IYXX) 701-738.

    [7] Lnydi M.R.. Convergence dalgorithmc iteratif : une mCthodc nodale totalement explicite pour les probli-mes de diffusion.

    ii paraitre dam Bull. Belgian Math. Sot. Simon Stevin (1998).

    181 Laydi M.R., Superconvergence dcs solutions approchCes par une mCthode nodale pour la r&olution de problemes de

    diffusion. a paraitre dans Rev. Roumaine Math. Pures Appl. (I 998)

    191 Raviart P.A., Thomas J.M.. Primal hybrid linile element methods fol- 2nd order elliptic equations. Math, Comp. .%I (lY77)

    3Yl-413.

    514

Recommended

View more >