CORRIGÉ EXERCICES PREMIÈRE STD2A CALCUL ?· CORRIGÉ EXERCICES PREMIÈRE STD2A CALCUL VECTORIEL EXERCICE…

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  • CORRIG EXERCICES PREMIRE STD2A CALCUL VECTORIEL

    EXERCICE 5 : On considre le ttradre

    ABCD et les points E, F, G et H dfinis par :

    AE = BC + 1

    2AC ,

    F est le milieu de [ED],

    AG = 2

    3AD et BH = 3BC .

    1. La figure :

    2.

    2. Les coordonnes des points dans

    le repre (A; AB , AC , AD ) :

    A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 1 ; 0),

    D(0 ; 0 ; 1), E( 1 ; 1,5 ; 0),

    F( 0,5 ; 0,75 ; 0,5), G(0 ; 0 ; 2

    3),

    H( 2 ; 3, 0).

    Les coordonnes du milieu de [AH] : x

    A+x

    H

    2 = 1 ;

    yA+y

    H

    2 = 1,5;

    zA+z

    H

    2 = 0 qui sont les coordonnes de E ;

    donc le point E est le milieu du segment [AH].

    3. Pour savoir si les points F, G et H sont aligns, on tudie la colinarit des vecteurs : FG (0,5 ; 0,75 ; 1

    6),

    FH ( 1,5 ; 2,25 ; 0,5) ; on remarque que 3 FG = FH , donc les vecteurs sont colinaires et les points F, G et H

    sont aligns.

    EXERCICE 6 : On considre l'espace muni du repre orthonorm (O; i , j , k ) et les quatre points A(1; 2; 1), B(3; 0; 2), C(4; 1; 5) et D( 2; 7; 4).

    2. AB = ( xBxA)2+(yByA)2+( zBzA)2 = (31)2+(02)2+(2(1))2 = 22+(2 )2+32 = 17 , AC = ( xCxA)2+(yCyA)2+(zCzA)2 = (41)2+(12)2+(5(1))2 = 32+(1)2+62 = 46 , et BC = ( xCxB)2+(yCyB)2+(zCzB)2 = (43)2+(10)2+(52 )2 = 12+12+32 = 11 . Donc le triangle ABC est quelconque.

    3. F est le symtrique de C par rapport B, donc B est le milieu du segment [CF], donc xB = x

    C+x

    F

    2,

    donc xF = 2xB xC = 6 4 = 2 ; yB = y

    C+y

    F

    2, donc yF = 2yB yC = 0 1 = 1 ;

    zB = z

    C+z

    F

    2, donc zF = 2zB zC = 4 5 = 1. Ainsi, F(2 ; 1 ; 1).

    E est le milieu du segment [BF], donc xE = x

    B+x

    F

    2 = 2,5 ; yE =

    yB+y

    F

    2 = 0,5 ; zE =

    zB+z

    F

    2 = 0,5 .

    5. Les points A, D et E sont-ils aligns ? On tudie la colinarit des vecteurs :

    AD ( 3 ; 5 ; 3), AE (1,5 ; 2,5 ; 1,5) ; on remarque que 2 AE = AD , donc les vecteurs sont colinaires et

    les points A, D et E sont aligns.

  • EXERCICE 7 : On considre le pav droit ABCDEFGH ci-contre.

    1. Les points M, N et P dfinis par

    EM = 2

    3EH ;

    AN = AB +1

    2AD +

    1

    2AE ;

    BP = AB +1

    3AD .

    2. Montrer que les trois points M, N et P

    sont aligns de deux faons :

    a) avec la relation de Chasles et par une

    galit vectorielle :

    MN = MA + AN =

    ME + EA + AN =

    2

    3EH + EA + AB +

    1

    2AD +

    1

    2AE =

    2

    3AD AE + AB +

    1

    2AD +

    1

    2AE = AB

    1

    6AD

    1

    2AE ;

    MP = MB + BP = ME + EB + BP = 2

    3EH + EB + AB +

    1

    3AD =

    2

    3AD + 2AB AE +

    1

    3AD = 2AB

    1

    3AD AE ;

    on remarque que 2 MN = MP , donc les vecteurs sont colinaires, et les points M, N et P sont aligns.

    b) en utilisant les coordonnes des points dans le repre (D ; DA , DC , DH ) :

    D(0 ; 0 ; 0), A(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 1 ; 0), H(0 ; 0 ; 1), M(1

    3 ; 0 ; 1), N(

    1

    2 ; 1 ;

    1

    2), P(

    2

    3 ; 2 ; 0).

    Alors MN (1

    6 ; 1 ;

    1

    2) et MP (

    1

    3 ; 2 ; 1). On remarque que 2 MN = MP , donc les vecteurs sont

    colinaires, et les points M, N et P sont aligns.

    3. Les points I et J sont les centres des faces EFGH et BCGF.

    a) Les coordonnes des points I et J dans le repre de la question 2. b) : I(1

    2 ;

    1

    2 ; 1), J(

    1

    2 ; 1 ;

    1

    2).

    b) IJ (0 ; 1

    2 ;

    1

    2) et EB (0 ; 1 ; 1). On remarque que 2 IJ = EB , donc les vecteurs IJ et EB sont

    colinaires. On en dduit que les droites (IJ) et (EB) sont parallles.

    c) Dans le triangle BEG, les points I et J sont les milieux des cts [GE] et [GB] ; par le thorme de la droite des

    milieux, la droite (IJ) est parallle la droite (EB) et EB = 2IJ.

    EXERCICE 8 : On considre le repre orthonorm (O; i , j , k ) de l'espace et les quatre points A(3; 2; 1),

    B(4; 3; 1), C(4; 2; 0) et D(2; 1; 1).

    2. On a BA ( 1; 1; 0) , BC (0 ; 1 ; 1) et DB (2 ; 4 ; 2) , d'o BA + BC + 1

    2DB (0 ; 0 ; 0) = 0 .

    3. On en dduit que les points A, B, C et D sont coplanaires.

    4. Soit E le milieu du segment [BD]. Les coordonnes de E sont E(3 ; 1; 0). CE ( 1 ; 1 ; 0) = BA , donc

    ABCE est un paralllogramme. De plus, AB = (xBxA)2+( yByA)2+(zBzA )2 = (43)2+(3(2))2+(11)2 = 12+(5)2+02 = 26 ,

    BC = ( xCxB)2+(yCyB)2+(zCzB)2 = (44)2+(2(3))2+(01)2 = 02+(5)2+(1)2 = 26 . Ainsi AB = BC; donc les quatre cts de ABCE sont de mme longueur, donc ABCE est un losange.