cours de modélisation

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    12-Jul-2015

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<p>MODELISATION Introduction aux quations aux drives partielles et leurs rsolutions numriques</p> <p>FN CRES</p> <p>Modlisation</p> <p>2</p> <p>SOMMAIRE</p> <p>AVANT-PROPOS ......................................................................................................................... 4 1. INTRODUCTION ................................................................................................................... 5 2. EXEMPLE D'ETABLISSEMENT DUNE EQUATION MECANISTE ............................................ 6 2.1. Equation de diffusion 1D ............................................................................................. 6 2.2. Interprtation d'une quation aux drives partielles................................................... 8 2.3. Equation de la Diffusion 3D ...................................................................................... 10 2.4. Conditions limites et condition initiale ...................................................................... 11 2.5. Rgime permanent ..................................................................................................... 12 2.6. Complments lquation de base............................................................................. 12 2.6.1. Injection (ou soutirage).................................................................................... 12 2.6.2. Cintique propre du produit............................................................................. 12 2.6.3. Convection........................................................................................................ 13 2.6.4. Cas o K est variable (dans toutes les directions et en tous points)................ 13 2.6.5. Autres problmatiques...................................................................................... 15 3. CLASSIFICATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DORDRE 2 ................... 16 3.1. Classification par les coniques ................................................................................... 16 3.1.1. Classification par discriminant et par valeurs propres ................................... 16 3.1.2. Application aux EDP dordre 2 ....................................................................... 16 3.2. Equation stationnaire et quation dvolution ........................................................... 17 4. RESOLUTION DES EDP - PRINCIPE DES METHODES NUMERIQUES .................................. 18 5. LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES ........................................................................... 19 5.1. Principe de la mthode ............................................................................................... 19 5.2. Cas dune EDP elliptique (stationnaire)..................................................................... 20 5.2.1. Cas de conditions de Dirichlet ......................................................................... 20 5.2.2. Cas de conditions de Neumann homognes ..................................................... 26 5.2.3. Cas de conditions de Neumann non homognes .............................................. 29 5.3. Notions sur les erreurs de la mthode ........................................................................ 31 5.3.1. Prsentation ..................................................................................................... 31 5.3.2. La consistance .................................................................................................. 32 5.3.3. La stabilit........................................................................................................ 33 5.3.4. La convergence ................................................................................................ 33 5.4. Cas dune EDP parabolique (volutive)..................................................................... 33 5.4.1. Position du problme et mthode ..................................................................... 33 5.4.2. Les schmas types............................................................................................. 34 5.4.3. Le schma explicite .......................................................................................... 36 5.4.4. Le schma implicite.......................................................................................... 36 5.4.5. Le schma explicite 2 pas.............................................................................. 38 5.4.6. Le schma pondr........................................................................................... 38 5.4.7. Cas d'un schma explicite stable...................................................................... 40 5.4.8. Cas d'un problme parabolique 2D ................................................................. 40 5.5. Cas d'une EDP hyperbolique (volutive) ................................................................... 41 5.5.1. Schmas explicites............................................................................................ 42 5.5.2. Schmas implicites ........................................................................................... 43 5.6. Maillages particuliers................................................................................................. 45 FN CRES</p> <p>Modlisation</p> <p>3</p> <p>5.6.1. Maillage irrgulier en x ................................................................................... 45 5.6.2. Maillage diffrent en x et en y.......................................................................... 46 5.7. Traitement des termes non linaires........................................................................... 47 6. LA METHODE DES ELEMENTS FINIS .................................................................................. 48 6.1. Comparaison Diffrences finies Elments finis...................................................... 48 6.2. Equivalence de problmes ......................................................................................... 48 6.2.1. Objet ................................................................................................................. 48 6.2.2. Equivalence entre systme matriciel et problme de minimisation ................. 48 6.2.3. Equivalence avec un problme de minimum .................................................... 49 6.2.4. Rcapitulatif ..................................................................................................... 50 6.2.5. Application aux EDP........................................................................................ 50 6.2.6. Approximation interne...................................................................................... 51 6.3. Construction pratique du problme variationnel........................................................ 52 6.3.1. Cas dune quation diffrentielle ..................................................................... 52 6.3.2. Cas dune EDP................................................................................................. 54 6.4. Mise en uvre de la mthode des lments finis....................................................... 55 6.5. Cas dune quation diffrentielle - Fonction linaire par morceaux.......................... 55 6.5.1. Cas de condition de Dirichlet homogne ......................................................... 55 6.5.2. Cas de condition de Neumann homogne ........................................................ 60 6.5.3. Cas de condition de Neumann non homogne ................................................. 61 6.5.4. Cas de condition de Dirichlet non homogne .................................................. 62 6.6. Cas dune quation diffrentielle - Fonction parabolique par morceaux.................. 63 6.7. Cas dune EDP Approximation linaire par lment.............................................. 70 6.8. Cas dune EDP Approximation quadratique par lment ....................................... 77 6.9. Extension de la mthode ............................................................................................ 78 6.10. Extension aux problmes volutifs ............................................................................ 78 7. RESOLUTION DES SYSTEMES DEQUATIONS LINEAIRES ................................................... 79 7.1. Introduction................................................................................................................ 79 7.2. Mthodes directes ...................................................................................................... 79 7.2.1. Mthode de Gauss-Jordan ou mthode du pivot.............................................. 80 7.2.2. Mthode de Gauss (ou triangularisation) ........................................................ 81 7.3. Mthode du double balayage pour les matrices tridiagonales (Cholesky)................. 82 7.4. Mthodes itratives .................................................................................................... 83 7.4.1. Principe ............................................................................................................ 83 7.4.2. Mthode de Jacobi ........................................................................................... 84 7.4.3. Mthode de Gauss -Seidel ................................................................................ 84 7.4.4. Facteur de relaxation ....................................................................................... 85</p> <p>FN CRES</p> <p>Modlisation</p> <p>4</p> <p>AVANT-PROPOS</p> <p>Ce polycopi est une introduction aux quations aux drives partielles et leur rsolution, tout ceci ayant comme objectif la modlisation mathmatique du monde qui nous entoure, ou, pour rester plus modeste, la modlisation des problmes courants rencontrs par l'ingnieur. Le chapitre 1 situe succinctement la modlisation mathmatique parmi les modlisations les plus courantes. Ces quations ne sont pas toujours bien abordes par les tudiants qui y voient une criture sotrique et parfois incomprhensible. Le chapitre 2 tente de dmystifier ces quations en prsentant un exemple simple et baser sur "le bon sens" dans lequel on aboutit l'quation de la diffusion. L'objectif est alors de ne pas perdre le lecteur avec une approche trop mathmatique susceptible de le dcourager. Cependant, il est important que le lecteur se familiarise rapidement avec les symboles mathmatiques utiliss. Ce n'est pas la manire "officielle" de prsenter cette quation, mais cette dmonstration prsente l'immense avantage de pouvoir tre suivie avec un niveau de terminale scientifique (du moins, je l'espre !). On arrive petit petit l'criture la plus complte de l'quation de la diffusion. Le chapitre 3 n'est pas le plus important, mais il introduit la classification des quations aux drives partielles, lment structurant pour la suite. A partir du chapitre 4, on aborde la rsolution des quations aux drives partielles par 2 mthodes numriques : La mthode des diffrences finies, qui est une mthode simple, et que lecteur pourra suivre aisment La mthode des lments finis, qui est d'un abord beaucoup plus complexe. Le lecteur s'attachera comprendre le principe et traiter les exemples complets qui y sont dvelopps. Enfin, le dernier chapitre sur la rsolution des systmes d'quations linaires, aboutissement des 2 mthodes prcdentes, est l titre informatif. En effet, la mise en uvre de ces mthodes ncessite gnralement des connaissances informatiques, notamment de programmation, ce qui dborde du sujet abord dans ce document.</p> <p>FN CRES</p> <p>Modlisation</p> <p>5</p> <p>1.</p> <p>INTRODUCTION</p> <p>La modlisation dun phnomne est une dmarche visant reprsenter par un moyen adquat le comportement de ce phnomne. Dans les sciences de l'ingnieur, la modlisation permet de comprendre les variables qui influencent ce comportement, afin de dimensionner des ouvrages, d'anticiper son volution, de simuler des situations venir. La modlisation peut tre aborde de diffrentes faons. On peut proposer la classification sommaire suivante : Les modles rduits Qui ne connat pas les souffleries o sont tests les modles rduits davion ? Le modle rduit permet de rendre compte du comportement dun objet soumis diffrentes contraintes sans avoir construire cet objet dans sa taille normale. La thorie des similitudes permet alors, partir du comportement du modle rduit, de conclure sur le comportement de lobjet rel. Les modles analogiques Ils permettent de reprsenter un phnomne partir dune analogie avec un autre plus facile laborer. Par exemple, le comportement dune nappe deau dans le sol peut tre abord par une analogie avec le potentiel lectrique d'une plaque mtallique. Les modles mathmatiques Ces modles sont les plus courants actuellement, suite la monte en puissance des ordinateurs et de leur capacit calculer vite. Ils sont bass sur la mise en quation mathmatique du phnomne tudier. Ce sont ces modles qui vont nous intresser pour ce cours. L aussi, on peut tenter une classification sommaire. - Les modles empiriques Il sagit didentifier les variables qui interviennent priori dans un phnomne physique et de les relier par une quation partir dune srie dobservations. Cette quation na parfois rien de physique, mais reprsente bien le nuage de points . Elle est totalement dpendante de lchantillon qui a servi au calage. - Les modles conceptuels Ils abordent la reprsentation dun phnomne complexe partir dun autre beaucoup plus simple tudier. Par exemple, en hydrologie, on conoit souvent le fonctionnement dun bassin versant (en termes de production dun dbit deau) comme celui dun rservoir, objet dont le remplissage et/ou la vidange se mettent facilement sous forme dquations. - Les modles mcanistes La mcanique, en tant que science, est la base de la reprsentation du phnomne. On aboutit gnralement un type dquations dites aux drives partielles, quil sagit ensuite de rsoudre. Cest ce dernier type de modlisation auquel ce cours se consacre. On verra successivement comment on aboutit des quations aux drives partielles travers un exemple, et deux mthodes classiques pour les rsoudre. FN CRES</p> <p>Modlisation</p> <p>6</p> <p>2.</p> <p>EXEMPLE D'ETABLISSEMENT DUNE EQUATION MECANISTE</p> <p>On va partir dun exemple suffisamment simple pour tre comprhensible quelque soit lorigine scientifique du lecteur : le comportement dun produit par exemple un polluant dans de leau. Il sagit dun problme dit de diffusion.</p> <p>2.1. Equation de diffusion 1DOn considre un paralllpipde, de section S, constitu de matire homogne immobile (de l'eau par exemple on verra plus loin le cas de l'eau en mouvement), ayant une concentration C1 d'un produit sur sa face gauche et C2 sur sa face droite. On peut faire comme hypothse que la quantit de matire M issue du produit en question qui franchit une section S du paralllpipde, c'est-dire qui circule par unit de longueur sur l'axe des x, de l'avant vers l'arrire pendant le temps C1 t est: - proportionnel la section S S - proportionnel la diffrence C1-C2 - proportionnel t x - inversement proportionnel x. en effet, plus x est petit et plus la quantit de matire...</p>

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