Cours - Déterminants

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  • Dterminants

    Exo7

    Vido partie 1. Dterminant en dimension 2 et 3Vido partie 2. Dfinition du dterminantVido partie 3. Proprits du dterminantVido partie 4. Calculs de dterminantsVido partie 5. Applications des dterminantsExercices Calculs de dterminants

    Le dterminant est un nombre que lon associe n vecteurs (v1, . . . ,vn) de Rn. Il correspond auvolume du paralllpipde engendr par ces n vecteurs. On peut aussi dfinir le dterminant dunematrice A. Le dterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas, et de faon plusgnrale, joue un rle important dans le calcul matriciel et la rsolution de systmes linaires.

    Dans tout ce qui suit, nous considrons des matrices coefficients dans un corps commutatif K,les principaux exemples tant K = R ou K = C. Nous commenons par donner lexpression dudterminant dune matrice en petites dimensions.

    1. Dterminant en dimension 2 et 3

    1.1. Matrice 22En dimension 2, le dterminant est trs simple calculer :

    det

    (a bc d

    )= adbc.

    Cest donc le produit des lments sur la diagonale principale (en bleu) moins le produit deslments sur lautre diagonale (en orange).

    a b

    c d

    +

    1.2. Matrice 33Soit A M3(K) une matrice 33 :

    A =

    a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

    .Voici la formule pour le dterminant :

    detA = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a31a22a13a32a23a11a33a21a12 .

    1

  • 2Il existe un moyen facile de retenir cette formule, cest la rgle de Sarrus : on recopie les deuxpremires colonnes droite de la matrice (colonnes grises), puis on additionne les produits de troistermes en les regroupant selon la direction de la diagonale descendante (en bleu), et on soustraitensuite les produits de trois termes regroups selon la direction de la diagonale montante (enorange).

    a11 a12 a13 a11 a12

    a21 a22 a23 a21 a22

    a31 a32 a33 a31 a32

    a11 a12 a13 a11 a12

    a21 a22 a23 a21 a22

    a31 a32 a33 a31 a32

    Exemple 1

    Calculons le dterminant de la matrice A =

    2 1 01 1 33 2 1

    .Par la rgle de Sarrus :

    detA = 2 (1)1+133+0123 (1)0232111=6.

    2 1 0 2 1

    1 1 3 1 1

    3 2 1 3 2

    Attention : cette mthode ne sapplique pas pour les matrices de taille suprieure 3. Nousverrons dautres mthodes qui sappliquent aux matrices carres de toutes tailles et donc aussiaux matrices 33.

    1.3. Interprtation gomtrique du dterminant

    On va voir quen dimension 2, les dterminants correspondent des aires et en dimension 3 desvolumes.Donnons nous deux vecteurs v1 = (ac ) et v2 =

    ( bd)

    du plan R2. Ces deux vecteurs v1,v2 dterminentun paralllogramme.

    v1

    v2

    x

    y

    O ~i

    ~j

  • 3Proposition 1

    Laire du paralllogramme est donne par la valeur absolue du dterminant :

    A =det(v1,v2)= det

    (a bc d

    ).

    De manire similaire, trois vecteurs de lespace R3 :

    v1 =

    a11a21a31

    v2 =a12a22a32

    v3 =a13a23a33

    dfinissent un paralllpipde.

    v1v2

    v3

    partir de ces trois vecteurs on dfinit, en juxtaposant les colonnes, une matrice et un dtermi-nant :

    det(v1,v2,v3)= det

    a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

    .Proposition 2

    Le volume du paralllpipde est donn par la valeur absolue du dterminant :

    V =det(v1,v2,v3).

    On prendra comme unit daire dans R2 laire du carr unit dont les cts sont les vecteurs de labase canonique

    ((10),(0

    1))

    , et comme unit de volume dans R3, le volume du cube unit.

    Dmonstration

    Traitons le cas de la dimension 2. Le rsultat est vrai si v1 =(a

    0)

    et v2 =( 0d). En effet, dans ce cas on a

    affaire un rectangle de cts |a| et |d|, donc daire |ad|, alors que le dterminant de la matrice(a 00 d

    )vaut ad.

    v1

    v2

    a

    d

    O ~i

    ~j

    Si les vecteurs v1 et v2 sont colinaires alors le paralllogramme est aplati, donc daire nulle ; on calcule

  • 4facilement que lorsque deux vecteurs sont colinaires, leur dterminant est nul.

    Dans la suite on suppose que les vecteurs ne sont pas colinaires. Notons v1 =(ac)

    et v2 =( bd). Si a 6= 0,

    alors v2 = v2 ba v1 est un vecteur vertical : v2 =(

    0d ba c

    ).

    Lopration de remplacer v2 par v2 ne change pas laire du paralllogramme (cest comme si on avaitcoup le triangle vert et on lavait coll la place le triangle bleu).

    v1

    v2v2

    O ~i

    ~j

    Cette opration ne change pas non plus le dterminant car on a toujours :

    det(v1,v2)= det(a 0b d ba c

    )= adbc= det(v1,v2) .

    On pose alors v1 =(a

    0)

    : cest un vecteur horizontal. Encore une fois lopration de remplacer v1 par v1ne change ni laire des paralllogrammes ni le dterminant car

    det(v1,v2)= det

    (a 00 d ba c

    )= adbc= det(v1,v2) .

    v1

    v2

    v1O ~i

    ~j

    On sest donc ramen au premier cas dun rectangle aux cts parallles aux axes, pour lequel lersultat est dj acquis.

    Le cas tridimensionnel se traite de faon analogue.

    Mini-exercices

    1. Pour A =(1 25 3

    )et B =

    (7 89 5

    )calculer les dterminants de A, B, AB, A+B, A1,

    A, AT .

    2. Mmes questions pour A =(a bc d

    )et B=

    (a 0c d

    ).

    3. Mmes questions pour A =

    2 0 12 1 23 1 0

    et B=1 2 30 2 2

    0 0 3

    .4. Calculer laire du paralllogramme dfini par les vecteurs

    (73)

    et(1

    4).

  • 55. Calculer le volume du paralllpipde dfini par les vecteurs(2

    11

    ),(1

    14

    ),(1

    31

    ).

    2. Dfinition du dterminant

    Cette partie est consacre la dfinition du dterminant. La dfinition du dterminant est assezabstraite et il faudra attendre encore un peu pour pouvoir vraiment calculer des dterminants.

    2.1. Dfinition et premires proprits

    Nous allons caractriser le dterminant comme une application, qui une matrice carre associeun scalaire :

    det : Mn(K)K

    Thorme 1. Existence et dunicit du dterminant

    Il existe une unique application de Mn(K) dans K, appele dterminant, telle que(i) le dterminant est linaire par rapport chaque vecteur colonne, les autres tant fixs ;(ii) si une matrice A a deux colonnes identiques, alors son dterminant est nul ;(iii) le dterminant de la matrice identit In vaut 1.

    Une preuve de lexistence du dterminant sera donne plus bas en section 2.4.On note le dterminant dune matrice A = (ai j) par :

    detA ou

    a11 a12 a1na21 a22 a2n

    ......

    ...an1 an2 ann

    .

    Si on note Ci la i-me colonne de A, alors

    detA =C1 C2 Cn= det(C1,C2, . . . ,Cn) .

    Avec cette notation, la proprit (i) de linarit par rapport la colonne j scrit : pour tout , K,det(C1, . . . ,C j+Cj, . . . ,Cn)=det(C1, . . . ,C j, . . . ,Cn)+det(C1, . . . ,Cj, . . . ,Cn), soit

    a11 a1 j+a1 j a1n...

    ......

    ai1 ai j+ai j ain...

    ......

    an1 an j+an j ann

    =

    a11 a1 j a1n...

    ......

    ai1 ai j ain...

    ......

    an1 an j ann

    +

    a11 a1 j a1n...

    ......

    ai1 ai j ain...

    ......

    an1 an j ann

    .

    Exemple 2 6 5 47 10 3

    12 25 1

    = 5

    6 1 47 2 312 5 1

    Car la seconde colonne est un multiple de 5.

  • 63 2 437 5 329 2 104

    =3 2 47 5 39 2 10

    3 2 37 5 29 2 4

    Par linarit sur la troisime colonne.

    Remarque

    Une application de Mn(K) dans K qui satisfait la proprit (i) est appele forme multi-linaire.

    Si elle satisfait (ii), on dit quelle est alterne.Le dterminant est donc la seule forme multilinaire alterne qui prend comme valeur 1sur la matrice In. Les autres formes multilinaires alternes sont les multiples scalaires dudterminant. On verra plus loin comment on peut calculer en pratique les dterminants.

    2.2. Premires proprits

    Nous connaissons dj le dterminant de deux matrices : le dterminant de la matrice nulle 0n vaut 0 (par la proprit (ii)), le dterminant de la matrice identit In vaut 1 (par la proprit (iii)).

    Donnons maintenant quelques proprits importantes du dterminant : comment se comporte ledterminant face aux oprations lmentaires sur les colonnes ?

    Proposition 3

    Soit A Mn(K) une matrice ayant les colonnes C1,C2, . . . ,Cn. On note A la matrice obtenuepar une des oprations lmentaires sur les colonnes, qui sont :

    1. Ci Ci avec 6= 0 : A est obtenue en multipliant une colonne de A par un scalairenon nul. Alors detA =detA.

    2. CiCi+C j avec K (et j 6= i) : A est obtenue en ajoutant une colonne de A unmultiple dune autre colonne de A. Alors detA = detA.

    3. Ci C j : A est obtenue en changeant deux colonnes distinctes de A. AlorsdetA =detA .

    Plus gnralement pour (2) : lopration Ci Ci +nj=1j 6=i

    jC j dajouter une combinaison linaire

    des autres colonnes conserve le dterminant.Attention ! changer deux colonnes change le signe du dterminant.

    Dmonstration

    1. La premire proprit dcoule de la partie (i) de la dfinition du dterminant.

    2. Soit A =(C1 Ci C j Cn

    )une matrice reprsente par ses vecteurs colonnes Ck.

    Lopration CiCi+C j transforme la matrice A en la matrice A =(C1 Ci+C j C j Cn

    ).

    Par linarit par rapport la colonne i, on sait que

    detA = detA+det(C1 C j C j Cn

    ).

    Or les colonnes i et j de la matrice(C1 C j C j Cn

    )sont identiques, donc son

    dterminant est nul.

  • 73. Si on change les colonnes i et j de la matrice A =(C1 Ci C j Cn

    )on

    obtient la matrice A =(C1 Ci C j Cn

    ), o le vecteur C j se retrouve en

    colonne i et le vecteur Ci en colonne j. Introduisons alors une troisime matrice B =(C1 Ci+C j C j+Ci Cn

    ). Cette matrice