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  • Cours de Gostatistique et analyse des donnes 1

    Mohamed ADDAMwww.lmpa.univ-littoral.fr/ addam/

    addam.mohamed@gmail.com

    29 novembre 2011

    1. Mention Gnie Environnement. 2eme anne. Anne 2011/2012

  • Table des matires

    1 Rappel de calcul matriciel 41.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Notations et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.2.1 Le tableau des donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2 Matices carres inversibles et inverse dune matrice . . . . . . . . . 51.2.3 Transpos dun vecteur et transpose dune matrice . . . . . . . . . 6

    1.3 Rduction des martices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Valeurs propres ; polynme caractristique ; polynme minimal . . 81.3.2 Vecteurs propres ; sous-espace propres . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.4 Matrice nilpotente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.5 Exponentiel dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.4 Spectre et rayon spectral dune matrice, Matrice positive . . . . . . . . . . 151.4.1 Matrice positive et matrice dfinie positive . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Valeurs singulires dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.3 Dcomposition en valeurs singulires . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4.4 Pseudo-inverse de Moore-Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.5 Normes matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2 Variogrammes et covariances : Krigeage 242.1 Rappel sur les variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.1.1 Probabilit image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Loi de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.3 Indpendance de variables alatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.2 Esprance dune variable alatoire relle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2.1 Esprance mathmatique dun produit . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Variance dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.3 Variable alatoire ayant une densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.1 Densit dune variable alatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3.2 Esprance mathmatique dune variable alatoire densit . . . . . 302.3.3 Variance dune variable alatoire densit . . . . . . . . . . . . . . 30

    1

  • TABLE DES MATIRES 2

    2.3.4 Loi uniforme sur (a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.5 Loi normaleN (, ) ou v.a. gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.4 Covariance, corrlation, vecteur-moyenne et matrice de covariance . . . . . 332.4.1 Notation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4.2 Suite blanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.5 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.6 Le vraiogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.6.1 Hypothses de base et dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6.2 Estimation du variogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.7 Krigeage variogramme connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7.1 LES QUATIONS DU KRIGEAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.7.2 Krigeage ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.7.3 Krigeage simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7.4 Quelques cas trs simples de krigeage : . . . . . . . . . . . . . . . 47

  • Notations

    N := {0, 1, 2, . . .} lensemble des naturels, (N) := {. . . ,2,1, 0} lensemble des opposs des naturels, N = N\{0} := {n N / n 6= 0}, Z := N (N) lensemble des entiers, D lensemble des dcimaux, Q := {p

    q/ p Z, q N} lensemble des rationnels,

    R lensemble des nombres rels, C lensemble des nombres complexes.

    3

  • Chapitre 1

    Rappel de calcul matriciel

    1.1 IntroductionCe chapitre a pour but de rappeler, et dterminer, un certain nombre de rsultats relatifs

    aux matrices et aux espaces vectoriels de dimension finie, et dont un usage constant serafait dans toute la suite de ce cours de mthodes numriques.Nous faisons rfrences au cours dAlgbre, chapitre 5 situ ladresse suivante :

    www.lmpa.univ-littoral.fr/ addam/enseignement/

    pour des notions de base sur les espaces vectoriels et une introduction sur les matrices quiest suffisante pour aborder ce chapitre. Nous aborderons dans ce cours tous les rsultatsconcernant les matrices. Les rsultats importants pour la suite seront dmontrs.

    1.2 Notations et dfinitionsSoit E un espace vectoriel sur le corps des scalaires K o K = R ou C.

    1. Une base de E est un ensemble {e1, e2, . . . , en} de n vecteurs linairement indpen-dants de E, quon notera (ei)1in, ou simplement (ei) si aucune confusion nest craindre.

    2. Tout vecteur x de E admet une dcomposition unique

    x =ni=1

    xiei,

    les scalaires xi tant les composantes du vecteur x dans la base (ei).3. Lorsquune base est fixe sans ambigut, on peut ainsi identifier E Kn par une

    bijection.4

  • CHAPITRE 1. RAPPEL DE CALCUL MATRICIEL 5

    1.2.1 Le tableau des donnesEn Analyse des Donnes, on manipule des tableaux de nombres (matrices) et le tableau

    de dpart est gnralement le tableau des donnes Z

    Echantillons(lignes)

    V ariables(colonnes)

    z11 z12 . . . z1n.

    .

    .

    .

    .

    . . . ..

    .

    .

    z1 z2 . . . zn.

    .

    .

    .

    .

    . . . ..

    .

    .

    zm1 zm2 . . . zmn

    = Z = (zij) 1im1jn

    Llment zij dnote la valeur numrique place au croisement de la ligne numro i (indicede lchantillon) et de la colonne numro j (indice de la variable). On dit que la matrice Zest de m lignes et de n colonnes

    1.2.2 Matices carres inversibles et inverse dune matriceDfinition 1.2.1 Soit A une matrice carre de Mn(K).

    1. On dit que la matrice A est inversible si et seulement si dt(A) 6= 0.2. Si la matrice A est inversible. On appelle inverse de la matrice A, la matrice carre

    M de Mn(K) telle que AM = MA = I.Dans ce cas, la matrice M = A1.

    Exemple 1.2.1 A la matrice de M2(R) donne par

    A =

    (2 01 3

    ).

    La matrice A est inversible car dt(A) = 6 6= 0. Trouvons maintenant la matrice A1 =(a bc d

    ), telle que AA1 = A1A = I.(

    2 01 3

    )(a bc d

    )=

    (2a 2b

    a 3c b 3d)

    =

    (1 00 1

    )

    2a = 1,2b = 0,

    a 3c = 0,b 3d = 1,

    a = 12,

    b = 0,c = 1

    6,

    d = 13,

    doA1 =

    (12

    0161

    3

    )= 1

    6

    ( 3 01 2

    ).

    Ceci reste valable pour toutes les matrices carres inversibles dordre n 2.

  • CHAPITRE 1. RAPPEL DE CALCUL MATRICIEL 6

    1.2.3 Transpos dun vecteur et transpose dune matriceDfinition 1.2.2 1. On appelle vecteur ligne tout vecteur scrivant sous la forme v =

    (v1, v2, . . . , vn).

    2. On appelle vecteur colonne tout vecteur scrivant sous la forme W =

    w1w2.

    .

    .

    wn

    .

    3. Le vecteur transpos dun vecteur ligne v = (v1, v2, . . . , vn) est un vecteur colonne

    not par : tv =

    v1v2.

    .

    .

    vn

    4. Soit W =

    W1W2

    .

    .

    .

    Wn

    une matrice carre de Mn(K) ou Wi = (wi,1, wi,2, . . . , wi,n),

    1 i n est un vecteur ligne

    Si K = R, alors la transpose de la matrice W =

    W1W2

    .

    .

    .

    Wn

    est la matrice tW =

    (tW1,tW2, . . . ,

    tWn) outWi =

    wi,1wi,2

    .

    .

    .

    wi,n

    pour tout 1 i n.

    Si K = C, alors la transpose de la matrice W =

    W1W2

    .

    .

    .

    Wn

    est la matrice tW =

    (tW1,tW2, . . . ,

    tWn) outWi =

    wi,1wi,2

    .

    .

    .

    wi,n

    pour tout 1 i n.

    5. Une matrice A Mn(R) (resp. A Mn(C)) est dite symtrique si et seulement sitA = A (resp. tA = A).

  • CHAPITRE 1. RAPPEL DE CALCUL MATRICIEL 7

    Exemple 1.2.2 1. K = R, A la matrice de M2(R) donne par

    A =

    (pi 2

    13

    ).

    La transpose tA de la matrice A est

    tA =

    (pi 1

    23

    ).

    2. K = C, A la matrice de M3(C) donne par

    A =

    i 2 + i 31 + i 3 5

    2 3 + i 1 + i

    .

    La transpose tA de la matrice A est

    tA =

    i 2 i 22 i 3 3 i

    3 5 1 i

    .

    Exemple 1.2.3 Soit Z la matrice des donnes, donne par

    Z =

    z11 z12 . . . z1n.

    .

    .

    .

    .

    . . . ..

    .

    .

    z1 z2 . . . zn.

    .

    .

    .

    .

    . . . ..

    .

    .

    zm1 zm2 . . . zmn

    Un exemple de matrice symtrique est la matrice de variance-covariance V, contenant lesvariances sur la diagonale et les covariances en dehors de celle-ci

    V = [ij ] =1

    n(Z M)T (Z M)

    oM est la matrice rectangulaire nm des moyennesM = 1neeTZ, dont tous les lments

    de chaque colonne sont gaux la moyenne de la variable correspondant cette colonne.Exemple 1.2.4 Un autre exemple de matrice symtrique est la matrice R des corrlations

    R = [ij ] = D1VD1

    o D1 est la matrice diagonale contenant les inverses des carts-types des variables

    D1 =

    111

    0 . . . 0

    0 122

    ...

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    ...

    ... 0

    0 . . . 0 1nn

  • CHAPITRE 1. RAPPEL DE CALCUL MATRICIEL 8

    1.3 Rduction des martices carresDans cette partie, on dsigne par E un espace vectoriel de dimension finie n sur un

    corps commutatif K, par Mn(K) lensemble des matrices carres dordre n co