Cours satellites

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    23-Mar-2016

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Cours satellites

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  • Chapitre 5

    Satellites et plane`tes

    Description du chapitre

    Fiche 1 : les referentiels detude.

    Fiches 2 et 3 : linteraction gravitationnelle.

    Fiches 4 et 5 : generalites sur les mouvements des satellites et plane`tes.

    Fiches 6 et 7 : etude du mouvement circulaire des satellites et plane`tes.

    Fiches 8 : les satellites geostationnaires.

    Fiches 9 : limpesanteur.

    espace

    1

  • CHAPITRE 5. SATELLITES ET PLANE`TES

    Fiche 1 - Les dierents referentiels detude

    Referentiel Origine du referentiel Axes du referentiel

    Copernic

    Centre de masse dusyste`me solaire de

    de de de de de de dede de

    Centre de masse dusyste`me solaire de

    de de de de de de dede de

    Heliocentrique

    Centre de masse dusyste`me solaire de

    de de de de de de dede de

    Centre de masse dusyste`me solaire de

    de de de de de de dede de

    Geocentrique

    Centre de masse dusyste`me solaire de

    de de de de de de dede de

    Centre de masse dusyste`me solaire de

    de de de de de de dede de

    Terrestre

    Centre de masse dusyste`me solaire de

    de de de de de de dede de

    Centre de masse dusyste`me solaire de

    de de de de de de dede de

    Table 5.1: les dierents referentiels detude.

    Pour etudier le mouvement des plane`tes autour du Soleil, on utilise le

    referentiel heliocentrique. Ce referentiel est suppose galileen.Pour etudier le mouvement des satellites autour dune plane`te, on se

    place dans le referentiel dont lorigine est au centre de cette plane`te et dont les

    axes sont diriges vers trois etoiles tre`s eloignees (on peut parler de referentiel

    planetocentrique). Ce referentiel est aussi suppose galileen.Si la plane`te est la Terre, il sagit du referentiel geocentrique.

    Fiche 2 - La force dinteraction gravitationnelle

    La force dinteraction gravitationnelle entre deux points

    materiels

    On peut redonner lexpression de la force dinteraction gravitationnelle (voir la

    che 1 du chapitre Dynamique) entre deux poins materiels A et B, de masses

    mA et mB, distants de d :

    FAB = (5.1)

    avecFAB la force gravitationnelle (en N) de A sur B,

    FBA celle de B sur A,

    G = 6, 67.1011 m3.kg1.s2 la constante de gravitation universelle, mA et mBles masses (en kg), d la distance entre A et B (en m), uAB le vecteur unitairedirige de A vers B.

    On peut rappeler que la force gravitationnelle est toujours attrac-tive.

    2

  • CHAPITRE 5. SATELLITES ET PLANE`TES

    La force dinteraction gravitationnelle entre des corps a`

    repartition spherique de masse

    La loi precedente sapplique encore a` des objets a` symetrie spherique de

    masse (la masse volumique ne depend que de la distance au centre). La force

    exercee par A sur B (reciproquement par B sur A) peut se modeliser par une

    force unique, appliquee au centre de B (reciproquement de A), donnee par la

    relation 5.1.

    Ainsi (ce resultat sera admis), un corps a` repartition spherique de masse equi-

    vaut (a` lexterieur de ce corps), du point de vue de linteraction gravitationnelle,

    a` un point materiel concidant avec le centre de la sphe`re et dont la masse est

    egale a` la masse totale du corps spherique.

    Le Soleil, la Terre, la Lune, toutes les etoiles, plane`tes et satellites sont donc

    en general remplaces par leur centre, en y concentrant la masse totale.

    Ce resultat nest valable que si les corps ont des repartitions sphe-

    riques de masse. Par exemple, la force quexerce un asterode (qui nest en

    general pas un objet spherique) sur un objet nest pas donnee par la loi prece-

    dente.

    Figure 5.1: interaction gravitationnelle dans le cas dun corps qui na pas lasymetrie spherique de masse.

    3

  • CHAPITRE 5. SATELLITES ET PLANE`TES

    Fiche 3 - Denition du champ gravitationnelG

    Denition du champ gravitationnelG

    Il existe un champ gravitationnelG 1 en un point de lespace, lorsquune

    masse amenee en ce point subit une force gravitationnelle. Ainsi, il re`gne au-

    tour de la Terre un champ gravitationnel car toute masse y est soumise a`

    linteraction gravitationnelle de la Terre.

    Par denition, si on ame`ne un objet de masse m en un point quelconque, le

    champ gravitationnel cree en ce point est deni par :

    G = (5.2)

    Le champ gravitationnel G est enm.s2 ou enN.kg1. Il estdonc homoge`ne a` une acceleration.Comme la masse m est toujours positive,

    F et

    G ont toujours memedirection et meme sens.

    Champ gravitationnel cree par une masse ponctuelle

    On peut determiner le champ gravitationnel cree, par la masse ponctuelle m,

    en un point quelconque A situe a` la distance r. Pour cela, on place, en A, une

    1. On noteG pour ne pas confondre avec la constante de gravitation universelle G. Cette

    notation na rien docielle.

    masse ponctuelle m. Dapre`s la denition 5.2 :

    G = = (5.3)

    On remarque que le champG ne depend pas de la masse m. Ainsi, une

    fois admise cette denition, il nest pas necessaire davoir un objet en A pour

    que le champG existe. Ce champ est toujours dirige vers la masse m. Il

    est radial et centripe`te.

    Champ gravitationnel cree par un objet a` symetrie

    spherique de masse

    Comme on la vu precedemment, un objet a` symetrie spherique de masse peut

    etre remplace (du point de vue de linteraction gravitationnelle) par une masse

    ponctuelle en son centre.

    Ainsi, pour un objet de masse M , on retrouve (a` lexterieur de lobjet) la meme

    expression quen 5.3 :

    G = = (5.4)

    4

  • CHAPITRE 5. SATELLITES ET PLANE`TES

    Champ gravitationnel cree par la Terre

    On peut supposer que la Terre est un objet a` symetrie spherique de masse. En

    appelant MT la masse de la Terre et RT son rayon, le champ gravitationnel

    cree par la Terre secrit (a` laide de 5.4) :

    G = = (5.5)

    Cette expression generale donne le champ gravitationnel en un point quel-

    conque a` lexterieur de la Terre. On peut donc lexprimer pour un point

    a` la surface de la Terre, cest-a`-dire pour r = ou h = :

    G0 = (5.6)

    En prenant MT = 5, 98.1024 kg et RT = 6380 km, on trouve :

    G0 ' (5.7)

    Cette valeur G0 est tre`s proche de celle du champ de pesanteur g0 a` la surfacede la Terre. Ces deux valeurs sont en fait egales si on neglige leet de la

    rotation de la Terre (voir Fiche 2 du chapitre Dynamique ainsi que la

    suite).

    Le champ gravitationnel depend de laltitude h, on peut le noter G (h). Ainsi :

    G (h) = (5.8)

    On remarque que lorsque h augmente, le champ G diminue. En utili-sant G0 = , on peut aussi ecrire :

    G (h) = (5.9)

    Champ gravitationnel et champ de pesanteur

    Le champ gravitationnel verieG = . Le champ de pesanteur verie

    g = . Ainsi, en supposant que la force gravitationnelle F est egale

    au poidsP , les deux champs sont identiques. On a vu (che 2 du chapitre

    Dynamique ), que ces deux forces sont egales lorsquon neglige leet

    de rotation de la Terre.

    On peut donc retenir que, en toute rigueur :

    g 6= G (5.10)

    Lorsque leet de la rotation de la Terre est neglige :

    g = G (5.11)

    La plupart du temps, cette dernie`re approximation est utilisee.

    5

  • CHAPITRE 5. SATELLITES ET PLANE`TES

    Fiche 4 - Mouvement general des satellites et des

    plane`tes : generalites, mouvements

    Generalites

    Figure 5.2: conguration generale.

    On suppose quun objet de masse m est soumis a` linuence (interaction gra-

    vitationnelle) dun objet de masse M (avec M m). Ces deux objets sonta` symetrie spherique de masse. Le referentiel detude a pour origine le

    centre de la masse M , avec des axes diriges vers trois etoiles lointaines. Ce re-

    ferentiel sera toujours suppose galileen. Nous etudions dans ce chapitre le

    mouvement des plane`tes autour du Soleil et des satellites autour des plane`tes.

    Ces deux situations sont en fait formellement identiques.

    Si on etudie le mouvement des plane`tes, le referentiel detude est le refe-

    rentiel heliocentrique. M est la masse du Soleil et m celle de la plane`te.

    Si on etudie le mouvement des satellites autour dune plane`te, le referentiel

    detude est le referentiel planetocentrique. M est la masse de la plane`te et

    m celle du satellite. Sil sagit de satellites de la Terre, on utilise le referentiel

    geocentrique.

    Trajectoires

    De facon generale, lobjet de masse m evoluant dans le champ gravitationnel

    de lobjet de masse M a pour trajectoire, selon limportance de la vitesse (et

    donc de lenergie cinetique), une ellipse, un cercle (cas particulier de lel-

    lipse), une parabole ou une hyperbole (gure 5.3). On remarque que les

    trajectoires elliptiques et circulaires sont liees, cest-a`-dire quelles restent lo-

    calisees autour du centre attracteur. En revanche, les trajectoires paraboliques

    et hyperboliques sont ne sont pas liees (on parle de diusion) car le mobile

    seloigne alors a` linni du centre attracteur.

    Figure 5.3: dierentes trajectoires possibles dans la champ gravitationnel.

    6

  • CHAPITRE 5. SATELLITES ET PLANE`TES

    Le mouvement des plane`tes autour du Soleil

    Les plane`tes du syste`me solaire tourne autour du Soleil. De facon generale, la

    trajectoire des plane`tes est elliptique. En fait, la plupart des plane`tes (en

    dehors de Mercure et Pluton) ont des trajectoires quasi circulaires.

    Le mouvement de la Terre est donc presque circulaire. Elle tourne

    autour du Soleil (mouvement de revolution) en 365,25 jours dansun plan appele plan

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