Curs 1, Curs 2, Curs 3

  • Published on
    06-Feb-2017

  • View
    234

  • Download
    4

Transcript

  • 1

    11

    SERII STATISTICE I REPREZENTRI GRAFICE

    1.1. Scurt istoric

    Rdcinile statisticii sunt fixate n antichitate odat cu primele nsemnri

    cantitative legate de populaie1.

    Originea termenului statistic se regsete n cuvntul italian stato (stat). Mai

    trziu, pornind de la acesta a aprut un nou termen statista care semnifica persoan ce

    desfura afaceri cu statul. Astfel, cuvntul statistic, semnifica la nceput colecie de fapte

    utile unui statista. Cu acest neles Statistica a fost utilizat n Italia n secolul 16, apoi a fost preluat n Frana, Olanda i Germania. Astzi acest termen semnific mult mai mult

    dect date referitoare la stat, extinzndu-se la aproape oricare domeniu.

    1.2. Noiuni fundamentale n domeniul Statisticii se opereaz cu o serie de noiuni specifice, cum ar fi: date, statistice, variabile de grupare, unitate statistic, populaie, eantion. Definiie:

    Populaie statistic - mulime de elemente supus studiului, bine delimitat spaial i

    temporal, caracterizat printr-un anumit volum i o structur proprie; Unitate statistic - element fundamental al populaiei de baz care poate fi

    caracterizat printr-un set de trsturi specifice ce fac obiectul unei cercetri;

    Eantion - reprezint numrul de uniti statistice ce urmeaz a fi extrase i

    cercetate, dintr-un populaie statistic. Variabil de grupare - caracteristic ce permite gruparea n clase omogene a unitilor

    statistice dintr-o colectivitate dat sau permite urmrirea n timp sau n spaiu a

    modificrii unei alte variabile. Date statistice - valori aferente variabilelor de grupare, prin care se studiaz

    unitile statistice dintr-o populaie, determinate pe baza unei scale de msurare.

    Orice demers statistic, nainte de a trece efectiv la calculul indicatorilor utilizai n analiza datelor, conine un set de metode pentru o prelucrarea i organizare primar a

    datelor brute culese.

    Una dintre acestea este organizarea datelor n serii statistice.

    1 Vezi A. Hald A history of Probability and Statistics and Their Applications before 1750, New

    York, Willey, 1990.

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    2

    Pentru a putea construi o serie statistic trebuie mai nti clarificate tipurile variabilelor urmrite n studiul statistic.

    1.3. Variabila de grupare Tipuri: Variabilele de grupare pot fi clasificate n mai multe categorii dup urmtoarele

    criterii:

    a) Dup coninut:

    variabile atributive - sunt atribute, nsuiri ale unitilor statistice dintr-o colectivitate dat, n funcie de care se face gruparea n clase

    omogene.

    Exemplu: sexul, vrsta, profesia, productivitatea, vechimea n munc, salariul etc.

    variabile de timp - acestea permit cunoaterea tendinelor evolutive ale unui fenomen oarecare.

    Exemplu: ziua, luna, trimestrul, semestrul, anul etc.

    Variabilele de timp, dat fiind modalitatea n care sunt folosite n

    domeniul economic, mai pot fi mprite convenional n dou

    categorii: variabile de momente de timp i variabile de intervale de timp.

    Variabilele de momente de timp vizeaz durate de timp mai mici sau

    egale cu ziua, iar cele de intervale de timp, vizeaz durate de timp mai mari dect o zi.

    variabile de spaiu - ofer posibilitatea cunoaterii variabilitii unui fenomen n profil teritorial (n spaiu).

    Exemplu: secia, ntreprinderea, localitatea, judeul, ara etc.

    b) Dup forma de exprimare:

    variabile cantitative - au variantele exprimate prin cifre, sunt variabile numerice.

    Pentru acest tip de variabile operaiile aritmetice trebuie s aib

    sens.

    Exemplu: nota la un examen, greutatea, nlimea, salariul, vrsta etc.

    Variabilele cantitative pot fi grupate n dou categorii, dac inem cont

    de valorile pe care le pot lua:

    discrete - pot lua dect anumite valori, de obicei ntregi. Exemplu: populaia unei localiti, nota la examen, numrul de muncitori, productivitatea muncii exprimat n buci etc.

    continue - pot lua orice valoare dintr-un anumit interval. Exemplu: media anilor de studiu, greutatea, salariul, productivitatea muncii exprimat valoric etc.

    variabile calitative - au variantele exprimate numai prin cuvinte. Sunt folosite pentru a realiza distincia ntre mai multe categorii.

    Exemplu: sexul, profesia, culoarea ochilor, nivelul de instruire,

    naionalitatea etc.

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    3

    Pentru o variabil calitativ se poate utiliza i o codificare numeric, dar

    aceasta nu nseamn c variabila a devenit cantitativ deoarece n continuare

    operaiile aritmetice nu au sens pentru valorile atribuite.

    Exemplu 1.1: Modul de codificare al variabilei sex n prima cifr a codului

    numeric personal. Tabelul 1.1.

    Variabila iniial Variabila dup codificare

    Brbtesc 1

    Femeiesc 2

    Se poate, n schimb, realiza trecerea de la o variabil de tip cantitativ la una de tip

    calitativ tot printr-o operaie de codificare:

    Exemplu 1.2: Modul de codificare al greutii unei persoane adulte: Tabelul 1.2.

    Variabila iniial Variabila dup codificare

    50 Mic

    50-75 Medie

    75-90 Mare

    90 Foarte mare

    n Statistic, pentru orice variabile studiate, se nregistreaz valori care pot fi cantitative sau calitative, n funcie de tipul acestora.

    Fiecare dintre aceste valori pot fi determinate utiliznd diferite scale de msurare.

    Exist patru astfel de tipuri de scale de msurare care sunt descrise n continuare pornind

    de la cea simpl ctre cea mai complex.

    a) Scala nominal valorile determinate cu ajutorul aceste scale permit doar ncadrarea

    elementele unei populaii n categorii. Cu ajutorul valorilor astfel determinate nu se pot realiza ierarhii ntre elementele populaiei studiate.

    Exemplu 1.3: n cazul variabilei culoarea ochilor studenii dintr-un an pot fi grupai n

    urmtoarele categorii: Tabelul 1.3

    Culoarea ochilor Albatri Verzi Negri Cprui Total

    Numr de persoane 30 21 15 294 360

    Pe baza acestor valori nu putem spune dect c studenii se pot distribui n cele

    patru categorii, fr a putea face vreo apreciere de genul studenii dintr-o categorie sunt primii n ierarhie. Culorile enumerate mai sus nu fac parte dintr-o mulime n care operaia

    de ordonare s aib sens.

    b) Scala ordinal valorile determinate cu ajutorul su permit realizarea de ierarhii.

    Exemplu 1.4: Putem determina preferina consumatorilor pentru un anumit produs prin

    atribuirea unui calificativ de genul: cel mai bun, bun, normal, mai puin bun, cel mai puin

    bun. n locul calificativelor putem nregistra valori numerice, cum ar fi: 1 = cel mai bun, 2 = bun, 3 = normal, 4 = mai puin bun, 5 = cel mai puin bun. Folosind oricare dintre

    variantele de nregistrare a valorilor nu putem spune c un produs cruia i s-a atribuit

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    4

    calificativul cel mai bun (1) este de trei ori mai bun dect unul care a primit calificativul

    normal (3) sau de 5 ori mai bun dect un produs care a primit calificativul cel mai puin

    bun (5), chiar i dac aceste calificative au fost date de acelai consumator. Scala ordinal nu permite determinarea cu exactitate a distanei dintre dou valori.

    c) Scala interval valorile determinate cu ajutorul su pot fi utilizate n calculul proporiilor pentru intervale determinate ntre valoarea 0 (origine) pe scala i acestea.

    Valorile nu pot fi utilizate direct n calculul proporiilor deoarece valoarea 0 este aleas

    convenional i nu semnific absena fenomenului studiat.

    Exemplu 1.5 : Un exemplu uor de neles pentru acest tip de scal este modul n care

    msurm timpul de-a lungul unei zile. Ora 0000

    nu nseamn absena timpului. Nu putem

    spune c 0800

    este de dou ori mai mare dect 0400

    dar putem spune c intervalul de timp 00

    00-08

    00 este de dou ori mai mare dect 00

    00-04

    00.

    Un alt exemplu este scala de msurare a temperaturii n grade Celsius sau

    Fahrenheit. 0oC nu semnific absena cldurii

    2. De asemenea, nu putem spune c 60

    oC

    nseamn de dou ori mai cald dect 30oC, dar putem spune c pentru a crete temperatura

    unui obiect de la 0oC la 60

    oC este necesar de dou ori mai mult cldur dect pentru a-i

    crete temperatura pn la 30oC.

    d) Scala proporional (de raport) este cel mai complet tip de scal, valorile

    determinate cu ajutorul ei putnd fi utilizate pentru toate tipurile de operaii artimetice. n

    cazul acestei scale valoarea 0 este 0 absolut i nseamn absena fenomenului studiat. Exemplu 1.6: 0 lei nseamn lipsa banilor, 100 lei nseamn de de dou ori mai mult dect

    50 lei.

    Tabelul 1.4

    Tipuri de scale Relaii matematice care au sens Indicatori ai tendinei centrale

    posibil de calculat

    Nominal - echivalen dominanta

    Ordinal - echivalen

    - ordine mediana

    Interval

    - echivalen

    - ordine - raport ntre dou intervale

    media aritmetic

    Proporional

    - echivalen

    - ordine - raport ntre dou intervale

    - raport ntre dou valori de pe scal

    media geometric

    Tipul variabilei de grupare determin tipul seriei statistice ce va fi obinut, implicit

    modul de reprezentare grafic i de analiz a datelor.

    2 Scala de msurare a temperaturii a fost construit pornind de la dou puncte: punctul de nghe al

    apei cruia i-a fost atribuit valoarea 0oC, i punctul de fierbere al apei, cruia i-a fost atribuit

    valoarea 100oC. Restul valorilor s-au determinat prin mprirea n pri egale a poriunii de scal

    cuprins ntre cele dou valori.

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    5

    1.4. Serii statistice

    Definiie: Seria statistic reprezint o paralel ntre dou sau mai multe iruri de date

    dintre care cel puin unul vizeaz variabila de grupare.

    Seriile statistice pot fi:

    serii simple - atunci cnd sunt construite dintr-o paralel ntre dou iruri de date i conin o singur variabil de grupare;

    serii complexe - atunci cnd sunt construite dintr-o paralel ntre trei sau mai multe iruri de date i conin cel puin o variabil de grupare;

    Seriile complexe sunt constituite, n general, din mai multe serii simple.

    Avnd n vedere tipurile de variabile de grupare i dependena tipului de serie de tipul variabilei de grupare se pot distinge urmtoarele tipuri de serii statistice:

    o serii de distribuie (repartiii); o serii cronologice (de timp); o serii de spaiu (teritoriale).

    1.4.1. Serii de distribuie

    Condiii: Se pot construi numai pe baza variabilelor de grupare atributive.

    Tipuri:

    Ca serie simpl (unidimensional), seria de distribuie este o paralel ntre irul variantelor sau intervalelor de variaie ale variabilei de grupare atributive i cel al

    frecvenelor corespunztoare.

    Variabila de

    grupare

    atributiv

    de timp

    de spaiu

    cantitativ

    calitativ

    discret

    continu

    de momente

    de intervale

    Figura 1.1.Tipuri de variabile de grupare

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    6

    Ca serie complex (bidimensional, tridimensional etc.), seria de distribuie este

    constituit din cel puin dou iruri de date care vizeaz variabilele de grupare atributive

    alturi de irul frecvenelor corespunztoare.

    Exemplu 1.7:

    Distribuia muncitorilor unei firme dup vrst i vechime n ntreprindere.

    vechimea (ani)

    vrsta (ani)

    1

    -

    5

    5

    -

    10

    10

    -

    15

    15

    -

    20

    20

    -

    25

    25

    -

    30

    Total

    18-25 1 1

    25-32 2 2

    32-39 3 2 5

    39-46 3 1 4

    46-53 1 2 3 6

    53-60 2 2 4

    Total 1 2 3 6 5 5 22

    Not. Limita inferioar se include n interval.

    Figura 1.4. Serie de distribuie bidimensional

    Mod de construcie:

    Serie de distribuie simpl Dac variabila de grupare atributiv este i calitativ, seria de distribuie care se

    obine este una dup variante.

    Dac variabila de grupare atributiv este cantitativ i continu, seria de distribuie care se obine este una dup intervale de variaie.

    Dac variabila de grupare atributiv este cantitativ, discret i are un domeniu

    redus de variaie, seria de distribuie care se obine este una dup variante, iar dac are un

    Distribuia muncitorilor din Firma X

    dup salariu

    Salariul (mil. lei)

    Nr. de muncitori

    1,5-2,0 3

    2,0-2,5 12

    2,5-3,0 25

    3,0-3,5 20

    3,5-4,0 10

    Total 80 Not. Limita inferioar se include

    n interval.

    Figura 1.2. Serie de distribuie

    simpl, dup intervale.

    Distribuia muncitorilor din Firma X dup categoria de calificare

    Cat. de

    calificare

    Nr. de

    muncitori

    I 3

    II 22

    III 35

    IV 20

    V 10

    Total 90

    Figura 1.3. Serie de distribuie simpl,

    dup variante

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    7

    domeniu larg de variaie atunci este recomandat construirea unei serii de distribuie dup

    intervale de variaie.

    n cazul construciei unei serii de distribuie dup variante (figura 1.3) nu se ridic

    probleme deosebite. Dup ce se determin variantele caracteristicii de grupare, se trece la

    construirea frecvenelor, prin simpla numrare a unitilor statistice din colectivitatea studiat care se ncadreaz pentru fiecare variant n parte.

    n exemplul prezentat n figura 1.3, dup identificarea celor cinci variante regsite

    la nivelul colectivitii de muncitori supuse studiului pentru caracteristica de grupare

    (categoria de calificare), s-au identificat, ci dintre cei 90 de muncitori s-au ncadrat ntr-una din variante.

    n cazul construciei unei serii de distribuie dup intervale de variaie se cer clarificate cteva elemente:

    1. Cte intervale ar trebui construite? 2. Care ar trebui s fie mrimea unui interval?

    Numrul i mrimea intervalelor sunt factori care influeneaz direct modul n care

    unitile statistice din colectivitatea studiat se vor repartiza n cadrul intervalelor de

    variaie, altfel spus influeneaz forma distribuiei i implicit mrimea i semnificaia indicatorilor sintetici ce vor fi calculai pe baza acesteia.

    Pentru construirea unui asemenea tip de serie mai frecvent se utilizeaz urmtoarele

    variante: 1. se stabilete empiric un anumit numr de intervale (n), pornind de la ideea c cel

    care urmeaz s construiasc seria beneficiaz de o bogat experien teoretic i

    practic n domeniu, caz n care rmne de determinat doar mrimea intervalelor.

    Aceasta se poate determina cu ajutorul relaiei:

    n

    xxk minmax

    unde

    minmax , xx - valoarea maxim respectiv minim a caracteristicii de

    grupare studiate

    2. se determin numrul intervalelor folosind relaia determinat experimental de statisticianul american H.A. Sturges

    Nn log322.31

    unde Nlog - logaritmul n baza 10 din numrul total de uniti

    statistice din populaia studiat n acest caz va fi necesar rotunjirea la un numr ntreg a valorii lui (n)

    determinate prin relaia lui Sturges i apoi se determin mrimea intervalelor (k)

    folosind relaia anterioar.

    Dup determinarea numrului i mrimii intervalelor de variaie se trece la

    determinarea limitelor fiecrui interval.

    Se pornete de la valoarea minim a caracteristicii de grupare ( minx ) care va

    constitui limita inferioar a primului interval. Limita superioar a intervalului va fi

    determinat adugnd mrimea intervalului (k) la limita anterioar. Limita superioar a

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    8

    intervalului precedent se preia ca limit inferioar pentru intervalul urmtor i se continu

    pn la determinarea tuturor limitelor celor (n) intervale.

    Exemplu 1.8: Pentru xmin = 10, xmax = 85 i k =15 putem construi urmtoarele

    intervale:

    Tabelul 1.5

    xi 10 25

    25 40

    40 55

    55 70

    70 85

    Dup construirea intervalelor se trece la determinarea numrului de uniti

    statistice ce se ncadreaz pe fiecare interval. Se are n vedere faptul c o limit de interval poate apare la dou intervale

    adiacente, caz n care, dac se ntlnete printre datele brute o valoare egal cu valoarea

    limitei respective, se pune problema n care din cele dou intervale va fi ncadrat. Pentru

    eliminarea acestei situaii intervalele anterior determinate vor fi nchise la unul din capete i deschise la cellalt, iar printr-o not sub tabelul distribuiei va fi precizat care dintre

    limite este inclus n interval.

    Excepie de la regula de nchidere a intervalelor fac primul i ultimul interval. Primul se nchide obligatoriu la limita inferioar, iar ultimul la limita superioar, eliminnd

    astfel i posibilitatea ca xmin sau xmax s nu fie incluse n nici un interval.

    Numrul de uniti statistice ce se ncadreaz pe fiecare interval poart numele de frecven de apariie sau frecven absolut (f).

    La finalul operaiei de determinare a frecvenelor de absolute se poate face o

    verificare:

    Nfn

    i

    i 1

    unde i - intervalul pentru care s-a determinat frecvena absolut fi .

    Aceast verificare nu evideniaz erorile de compensare.

    Exemplu 1.9: Se consider urmtoarele date referitoare la muncitorii unei secii

    de fabricaie dintr-o ntreprindere:

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    9

    Tabelul 1.6.

    Nr.

    crt

    productivitatea

    orar muncii

    (wh)

    -mii lei-

    salariul

    (s)

    -mil. lei-

    Nr.

    crt

    productivitatea

    orar muncii

    (wh)

    -mii lei-

    salariul (s)

    -mil. lei-

    1 105 1,7 10 131 2,8

    2 100 1,9 11 133 2,8

    3 103 2,1 12 122 2,2

    4 111 2,2 13 138 2,4

    5 119 2,1 14 129 2,8

    6 150 3,2 15 124 2,7

    7 148 3 16 122 2,4

    8 141 3 17 125 2,5

    9 115 2,5 18 128 2,5

    Construim seria de distribuie numai dup variabila salariu. Variabila de grupare salariul este de tip atributiv, este cantitativ i cu variaie

    continu, deci tipul de serie care se poate construi cu ajutorul su este : serie de

    distribuie dup intervale de variaie. Calculm numrul i mrimea intervalelor :

    5170015.518log322.31 n intervale

    30.05

    7.12.3

    k mil. lei

    Construim intervalele i apoi distribuia incluznd n interval limita inferioar: Tabelul 1.7.

    Salariul (s)

    -mil. lei-

    Nr. de

    muncitori

    1,7-2,0 2

    2,0-2,3 4

    2,3-2,6 5

    2,6-2,9 4

    2,9-3,2 3

    Total 18

    Not: Limita inferioar este inclus n interval.

    Se observ c se verific egalitatea dintre suma frecvenelor absolute i numrul

    de uniti statistice din populaie.

    2+4+5+4+3=18

    Serie de distribuie bidimensional Principiile folosite pentru construcia unei serii de distribuie bidimensionale sunt aceleai ca i pentru seriile de distribuie simple, diferenieri apar doar datorit faptului c

    n acest caz se lucreaz simultan cu dou variabile de grupare.

    n funcie de tipul celor dou variabilelor atributive care sunt folosite la construirea seriei putem obine patru variante de serie:

    - serie de distribuie dup intervale pentru prima variabil de grupare i dup intervale pentru a doua variabil de grupare;

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    10

    - serie de distribuie dup intervale pentru prima variabil de grupare i dup variante pentru a doua variabil de grupare;

    - serie de distribuie dup variante pentru prima variabil de grupare i dup intervale pentru a doua variabil de grupare;

    - serie de distribuie dup variante pentru prima variabil de grupare i dup variante pentru a doua variabil de grupare.

    Pentru construirea intervalelor se procedeaz la fel ca la seria de distribuie simpl.

    Vom exemplifica modul de construcie pentru o serie de distribuie bidimensional folosind datele de la exemplul anterior.

    Exemplul 1.10: Identificm tipul variabilelor de grupare:

    - productivitatea orar a muncii (mii lei) variabil atributiv, cantitativ i cu variaie continu;

    - salariul (mil. lei) variabil atributiv, cantitativ i cu variaie continu.

    Dac ntre cele dou variabile de grupare exist o relaie de dependen (aa cum se ntmpl n cazul de fa - salariul depinde de productivitate), atunci variabila

    independent va fi plasat n prima coloan a tabelului iar cea dependent n prima linie

    a tabelului seriei de distribuie.

    Seria de distribuie va fi construit dup intervale de variaie pentru ambele variabile de grupare.

    Se determin numrul de intervale pentru prima variabil de grupare

    productivitatea orar a muncii (X):

    5170015.518log322.31 n intervale

    Este acelai numr de intervale determinat i n cazul salariului.

    105

    100150

    k mii lei

    Pentru salariu (Y) valorile privind mrimea i numrul de intervale au fost

    determinate n exemplul precedent:

    5n intervale; 30.0k mil. lei Construim tabelul seriei de distribuie bidimensional :

    Tabelul 1.8.

    Y

    X

    1,7

    -

    2,0

    2,0

    -

    2,3

    2,3

    -

    2,6

    2,6

    -

    2,9

    2,9

    -

    3,2

    fx

    100-110 2 1 0 0 3

    110-120 0 2 1 0 0 3

    120-130 0 1 3 2 0 6

    130-140 0 0 1 2 0 3

    140-150 0 0 0 0 3 3

    fy 2 4 5 4 3 18

    Not: Limita inferioar este inclus n interval.

    Pentru determinarea frecvenelor absolute dup ambele variabile zona gri din

    tabel se procedeaz la gruparea fiecrei perechi de valori (x,y) n caseta

    corespunztoare din tabel: - muncitorul nr. 1 x=105, y=1,7 va fi ncadrat n caseta de la intersecia rndului 100-

    110, cu coloana 1,7-2,0;

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    11

    - muncitorul nr. 2 x=100, y=1,9 va fi ncadrat n caseta de la intersecia rndului 100-110, cu coloana 1,7-2,0;

    Se continu pn la terminarea perechilor de valori (x,y), n casete la final regsindu-se frecvena de apariie a cazurilor.

    i n cazul seriei de distribuie bidimensionale se pot face cteva verificri:

    Nfffn

    i

    n

    j

    ij

    n

    j

    y

    n

    i

    x ji

    1 111

    unde:

    ixf - frecvene absolute determinate numai dup variabila X, ignornd variabila Y;

    jyf - frecvene absolute determinate numai dup variabila Y, ignornd variabila X;

    ijf - frecvene absolute duble determinate simultan dup ambele variabile X i Y (se

    afl poziionate n zona gri din tabel);

    Tabelul unei serii de distribuie bidimensionale conine de fapt trei distribuii:

    1. Distribuia unitilor statistice numai dup prima variabil de grupare (X), dac din tabel se separ prima i ultima coloan serie de distribuie simpl numai dup variabila X, ignornd variabila Y.

    Tabelul 1.9.

    Productivitatea

    orar a muncii (wh) -mii. lei-

    Nr. de

    muncitori

    100-110 3

    110-120 3

    120-130 6

    130-140 3

    140-150 3

    Total 18

    2. Distribuia unitilor statistice numai dup a doua variabil de grupare (Y), dac din tabel se separ prima i ultima linie serie de distribuie simpl numai dup variabila Y, ignornd variabila X.

    Tabelul 1.10.

    Salariul (s) -mil. lei-

    Nr. de muncitori

    1,7-2,0 2

    2,0-2,3 4

    2,3-2,6 5

    2,6-2,9 4

    2,9-3,2 3

    Total 18

    3. Distribuia bidimensional - dup ambele variabile X i Y tot tabelul. n cadrul seriilor de distribuie se pot utiliza mai multe tipuri de frecvene. Cel mai des

    ntlnite sunt:

    - frecvenele absolute (fi) - arat numrul de cazuri ce corespunde unui interval de variaie sau variante;

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    12

    - frecvenele relative (pi) - arat proporia cazurilor ce se ncadreaz pe un interval sau o variant, n total cazuri;

    - frecvenele cumulate - arat numrul (fci) sau proporia (pci) cazurilor sub sau peste o anumit valoare a variabilei de grupare. Dac sau construit pe baza frecvenelor absolute se numesc frecvene absolute cumulate. Dac sau construit pe

    baza frecvenelor relative se numesc frecvene relative cumulate. Pot fi cumulate

    cresctor sau descresctor.

    Exemplu 1.11: Pentru calculul acestor tipuri de frecvene vom folosi datele din

    exemplul anterior:

    Tabelul 1.11.

    Salariul (xi)

    -mil. lei-

    fi pi fci cumulate

    cresctor

    fci cumulate

    descresctor

    pci cumulate cresctor

    1,7-2,0 2 2/18=0,111 2 18 0,111

    2,0-2,3 4 4/18=0,222 6 16 0,333

    2,3-2,6 5 5/18=0,278 11 12 0,611

    2,6-2,9 4 4/18=0,222 15 7 0,833

    2,9-3,2 3 3/18=0,167 18 3 1

    Total 18 1 * * *

    Interpretare:

    fi= 5 - cinci muncitori din cei 18 au salariul cuprins ntre 2,3 i 2,6 mil.

    lei; pi =0.278 - o proporie de 0,278 (27,8%) din cei 18 muncitori au salariul

    cuprins ntre 2,3 i 2,6 mil. lei;

    fci cresc = 11 - 11 muncitori din cei 18, au salariul cuprins ntre 1,7 i 2,6 mil. lei;

    fci descresc= 12 - 12 muncitori din cei 18, au salariul cuprins ntre 2,3 i 3,2 mil.

    lei; pci cresc = 0,611 - o proporie de 0,611 (61,1%) muncitori din cei 18, au salariul sub 2,6

    mil. lei;

    1.4.2. Serii cronologice Condiii:

    1. Se pot construi numai pe baza variabilelor de grupare de timp. 2. Valorile variabilei de grupare de timp trebuie s ordonate cronologic. 3. Trebuie s conin un numr suficient de mare de valori pentru a permite surprinderea

    tendinelor evolutive ale variabilelor urmrite n timp.

    4. Valorile variabilelor a cror tendin se studiaz, cuprinse n serie, trebuie s se refere la aceeai unitate spaial.

    Tipuri:

    Ca serie simpl (unidimensional), seria cronologic este o paralel ntre irul momentelor sau intervalelor de timp, care vizeaz variabila de grupare, i cel al valorilor

    altei variabile, a crei tendin evolutiv se urmrete.

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    13

    Ca serie complex (multidimensional), seria cronologic este o paralel ntre irul

    momentelor sau intervalelor de timp, care vizeaz variabila de grupare, i cele ale valorilor

    altor variabile a cror tendin evolutiv se urmrete. Seriile cronologice nu pun probleme deosebite n ceea ce privete construcia, att

    timp ct sunt ndeplinite condiiile de baz.

    Exemplu 1.12:

    1.4.3. Serii de spaiu

    Condiii: 1. Se pot construi numai pe baza variabilelor de grupare de spaiu. 2. Trebuie s conin un numr suficient de mare de valori pentru a permite surprinderea

    variaiilor variabilelor urmrite n profil teritorial.

    3. Valorile variabilelor a cror variaie se studiaz, cuprinse n serie, trebuie s se refere la aceeai perioad de timp.

    Tipuri: Ca serie simpl (unidimensional), seria de spaiu este o paralel ntre irul

    variantelor variabilei de grupare, i cel al valorilor altei variabile, a crei variabilitate

    teritorial se urmrete.

    Ca serie complex (multidimensional), seria de spaiu este o paralel ntre irul

    variantelor variabilei de grupare, i cele ale valorilor altor variabile a cror variabilitate

    teritorial se urmrete..

    Evoluia cifrei de afaceri a firmei X.

    Anul

    Cifra de

    afaceri

    -mil. lei-

    1995 600

    1996 850

    1997 748

    1998 805

    1999 983

    2000 1005

    2001 1300

    Figura 1.5. Serie cronologic

    simpl, dup intervale de timp

    Situaia stocului de piese tip A i de combustibili la firma X

    Autotransport.

    Data

    Stocul de

    piese tip A

    -buc-

    Stocul de

    combustibil

    -tone-

    1.01.01 80 100

    1.02.01 120 *

    1.03.01 100 248

    1.04.01 115 305

    1.05.01 125 *

    1.06.01 150 305

    1.07.01 260 300

    Figura 1.6. Serie cronologic complex, dup

    momente de timp.

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    14

    Exemplu 1.13:

    Legtura dintre variabilele de grupare i tipul seriei statistice care se poate obine din acestea este ilustrat n figura urmtoare:

    1.5. Reprezentri grafice

    Introducere Ori de cte ori se vehiculeaz informaii statistice, apare necesitatea prezentrii lor

    ntr-o form care s permit nelegerea ct mai simpl i mai corect a fenomenului pe

    care l descriu. De foarte multe ori o reprezentare grafic realizat corect a condus la descoperirea n timp util a soluiilor necesare pentru rezolvarea anumitor probleme critice.

    Cea mai des ntlnit form de prezentare a informaiei este cea grafic.

    Populaia la data de 1 iul. 2004

    Judeul Populaia

    Dolj 720554

    Gorj 386097

    Mehedini 305901

    Olt 488176

    Vlcea 416908 Sursa: Anuarul statistic al Romniei

    2005

    Figura 1.7. Serie de spaiu simpl.

    Durata medie de via a populaiei din sud-vestul

    Romniei, 2002-2004

    Judeul

    Durata medie de via

    - ani-

    Masculin Feminin

    Dolj 67.56 74.31

    Gorj 68.42 75.34

    Mehedini 68.22 74.20

    Olt 67.46 75.13

    Vlcea 69.29 75.80 Sursa: Anuarul statistic al Romniei 2005

    Figura 1.8. Serie de spaiu complex.

    Variabila de

    grupare

    atributiv

    de timp

    de spaiu

    cantitativ

    calitativ

    discret

    continu

    de momente

    de intervale

    Figura 1.9.Tipuri de variabile de grupare tipuri de serii statistice

    serie de distribuie

    dup variante

    serie de distribuie

    dup intervale

    serie de distribuie

    dup variante

    serie cronologic

    serie de spaiu

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    15

    Utilizat corect i cu discernmnt aceast form de prezentare reuete s redea

    complet i intuitiv informaiile statistice.

    Pentru a putea ilustreze cu fidelitate informaiile, reprezentarea grafic pe scurt graficul trebuie s respecte condiiile constructive impuse de principiile metodologice.

    1.5.1. Elemente constructive ale unui grafic statistic 1. Titlul graficul - sintetizeaz foarte clar, printr-un text scurt i concis

    coninutul graficului.

    Dac graficul urmeaz s fie prezentat integrat ntr-un text, titlul graficului va fi trecut

    sub acesta, iar dac graficul va fi prezentat independent, titlul va fi trecut deasupra sa. 2. Scara de reprezentare - este unul dintre elementele eseniale, dat fiind faptul c

    el asigur proporionalitatea indicatorilor reprezentai grafic.

    n funcie de indicatorii ce urmeaz a fi reprezentai grafic se poate alege ntre mai multe tipuri de scri de reprezentare, astfel nct s se evidenieze comod i complet pe

    grafic fenomenul urmrit.

    Dup form, exist dou tipuri de scri de reprezentare: - liniar - cu diviziunile plasate pe o linie dreapt. Exemplu: rigla, metrul

    etc.

    Figura 1.10

    - neliniar - cu diviziunile plasate pe o linie curb. Exemplu: kilometrajul auto, scara aparatelor de msur etc.

    Figura 1.11

    Dup mrimea intervalelor dintre diviziuni:

    - scar uniform - cu intervale egale;

    - scar logaritmic - cu dimensiunea

    intervalelor proporional cu

    logaritmii zecimali ai indicatorilor

    reprezentai grafic. Figura 1.12

    3. Reeaua graficului - este compus din mulimea segmentelor de dreapt duse din dreptul diviziunilor scrii de reprezentare. innd cont de tipurile de scri de reprezentare determinate dup mrimea intervalelor

    dintre diviziuni, se pot distinge mai multe variante de reele, n sistemul axelor

    rectangulare.

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    16

    - reea simpl uniform - o singur ax cu scar de reprezentare uniform - reea dubl uniform - dou axe cu scri de reprezentare uniforme; - reea simpl logaritmic - o singur ax cu scar de reprezentare

    logaritmic;

    - reea logaritmic - dou axe cu scri de reprezentare logaritmice; - reea semilogaritmic - dou axe, una cu scar de reprezentare uniform

    i una cu scar de reprezentare logaritmic.

    4. Figura propriu-zis - elementul esenial, de coninut al graficului. Forma i dimensiunile sale sunt determinate exclusiv de nivelurile i tendinele variaionale ale indicatorilor reprezentai grafic, prin intermediul scrii de reprezentare.

    Cel mai frecvent sunt utilizate urmtoarele figuri geometrice: cercul, ptratul,

    dreptunghiul, paralelipipedul, cilindrul etc. Alegerea uneia sau alteia se realizeaz n funcie de graficul ce urmeaz a fi construit,

    de legturile funcionale existente ntre indicatorii reprezentai, de scopul urmrit etc.

    5. Legenda i nota explicativ. Legenda - apare de obicei, atunci cnd n cadrul aceluiai grafic sunt reprezentai mai muli indicatori. Prin legend se realizeaz practic identificarea

    fiecrui indicator reprezentat.

    Nota explicativ - apare atunci cnd trebuie prezentate anumite particulariti ale indicatorilor reprezentai: perioada de referin, lipsa de date, sursa datelor etc.

    Evoluia Cifrei de Afaceri

    LegendaTop SRL

    Fenic SRL

    Not: Firma Fenic SRL a fost nfiin la 1 ian. 1999at

    Figura 1.13

    Elementele prezentate anterior, utilizate conform metodologiei de construcie prezentate n

    continuare asigur realizarea unor reprezentri grafice profesionale.

    Este recomandabil ca pe lng metodologia prezentat n continuare s se in seama i de unele aspecte psihologice care condiioneaz percepia i nelegerea

    Titlul graficului

    Scara de reprezentare

    Reeaua graficului

    Figura graficului

    Legenda

    Nota explicativ

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    17

    informaiilor reprezentate grafic. Astfel trebuie eliminate eventualele situaii care conduc la

    iluzii optice ce pot deforma modul de percepie al informaiilor reprezentate, cum ar fi:

    - plasarea figurilor geometrice, pentru compararea lor vizual, n poziii ca cele de mai jos:

    Comparai lungimea segmentului vertical i al celui orizontal din figura 1.14 a), a celor

    dou segmente orizontale din figura 1.14 c), i diametrul cercurilor mici din figura 1.14 b), fr s le msurai cu vreun instrument de msur. Credei c sunt egale? Care

    este mai mare? Msurai-le apoi ca s v convingei.

    - utilizarea pentru graficele tridimensionale, a culorilor care deformeaz perspectiva de

    spaiu cum ar fi combinaia rou-albastru.

    Pentru reprezentarea corect a datelor statistice trebuie mai nti s stabilim dac acestea constituie o serie statistic, reprezint o comparaie sau o structur. Dup aceast

    identificare se poate trece la alegerea tipului de grafic adecvat pentru reprezentarea lor.

    1.5.2. Reprezentarea grafic a seriilor statistice

    1.5.2.1. Grafica seriilor de distribuie

    Pentru acest tip de serie, se folosesc mai frecvent urmtoarele tipuri de reprezentri grafice: histograma, poligonul frecvenelor, curba frecvenelor cumulate.

    Histograma - se deosebesc mai multe tipuri, n funcie de figura geometric ce st la

    baza reprezentrii. Se poate utiliza n cazul distribuiilor dup variante ale variabilei de

    grupare atributive caz n care figura geometric utilizat va fi plasat n dreptul diviziunii, iar pentru seriile de distribuie dup intervale de variaie, figura geometric va fi plasat n

    dreptul intervalelor de variaie.

    Histograma prin batoane - se utilizeaz mai frecvent n cazul seriilor construite dup variante, dar se poate utiliza i pentru seriile dup intervale respectnd

    modul de poziionare al figurii (baton segment de dreapt vertical).

    Histograma prin dreptunghiuri - este specific seriilor construite dup intervale de variaie (care au la baz variabile continue). ntre figurile geometrice utilizate

    (dreptunghiuri) nu se las nici un spaiu. Dac se utilizeaz pentru reprezentarea seriilor

    construite dup variante, ntre figurile geometrice utilizate se las un spaiu liber egal ca

    mrime. n locul figurilor geometrice prezentate se mai pot utiliza i altele (paralelipiped,

    cilindru, figuri simbolice etc.), inndu-se cont de faptul c nlimea acestora va fi

    proporional cu mrimea indicatorilor prezentai. Metodologia de construcie

    Se folosete drept suport sistemul axelor rectangulare.

    a) b) c)

    Figura 1.14

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    18

    Pe abscis (axa Ox) se trec valorile scrii de reprezentare aferente variabilei de grupare

    (x).

    Pe ordonat (axa Oy) se trec valorile scrii de reprezentare aferent frecvenelor (fi). Din dreptul diviziunilor, pentru seriile construite pe baz de variabile discrete, se

    ridic batoane sau dreptunghiuri a cror nlime este proporional cu frecvena

    corespunztoare fiecrei variante. n cazul utilizrii dreptunghiurilor se las un spaiu liber egal ca mrime.

    Din dreptul mijlocului intervalului - pentru histograma prin batoane - sau din dreptul

    intervalului - pentru histograma prin dreptunghiuri, n cazul seriilor de distribuie

    construite dup variabile continue, se ridic figuri geometrice de nlime proporional cu frecvena fiecrui interval. n cazul histogramei prin dreptunghiuri nu se las nici un spaiu

    liber ntre acestea. Dreptunghiurile vor avea lime egal cu mrimea intervalelor.

    Foarte rar n practic se utilizeaz histograme pentru ale cror figuri geometrice, ca elemente de proporionalitate s fie folosite toate dimensiunile acestora.

    Exemplu 1.14:

    Tabelul 1.12. Distribuia dup greutate a coletelor potale transportate pe

    calea ferat, ianuarie 2001

    Greutatea

    (kg)

    Numr

    de colete

    40 45 7

    45 50 26

    50 55 27

    55 60 37

    60 65 43

    65 70 34

    70 75 27

    75 80 11

    Total 212

    40 45 50 55 60 65 70 75 80

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    50

    55

    0

    5

    10

    Figura 1.16. Histograma prin

    dreptunghiuri (pentru variabil continu)

    40 45 50 55 60 65 70 75 80

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    50

    55

    0

    5

    10

    Figura 1.15. Histograma prin

    batoane (pentru variabil continu)

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    19

    Histograma prin dreptunghiuri este folosit i la construcia grafic a unor indicatori sintetici (dominanta).

    Poligonul frecvenelor - se obine prin unirea vrfurilor batoanelor din

    histograma prin batoane sau a mijloacelor bazelor superioare ale dreptunghiurilor, din histograma prin dreptunghiuri.

    Tabelul 1.13.

    Distribuia dup categoria de calificare

    a muncitorilor din firma Y martie 2002

    Categoria de calificare

    Numr de muncitori

    I 5

    II 15

    III 50

    IV 55

    V 23

    VI 2

    Total 150

    I II III IV V VI

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    50

    55

    0

    5

    10

    Figura 1.17. Histograma prin

    dreptunghiuri (pentru variabil discret)

    I II III IV V VI

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    50

    55

    0

    5

    10

    Figura 1.18. Histograma prin batoane

    (pentru variabil discret)

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    20

    Exemplu 1.15:

    Curba frecvenelor cumulate (ogiva sau curba lui Galton) Are acelai principiu de construcie ca cel al histogramei prin dreptunghiuri cu

    deosebirea c pe ordonat se folosesc frecvenele cumulate. Dac se utilizeaz frecvenele cumulate cresctor se obine partea ascendent, iar dac se utilizeaz frecvenele cumulate

    descresctor se obine partea descendent.

    Este folosit de obicei n cazul seriilor de distribuie dup intervale de variaie.

    Metodologie de construcie

    Se ridic, de pe abscis, din dreptul fiecrui interval, dreptunghiuri a cror nlime

    este proporional cu frecvena cumulat corespunztoare intervalului. Se pornete din colul stnga-jos al primului dreptunghi i se unesc, prin segmente de dreapt, colurile din

    dreapta sus ale dreptunghiurilor, obinndu-se astfel ogiva.

    Exemplu 1.16: Folosim datele din exemplele anterioare: Tabelul 1.14.

    Distribuia dup greutate a coletelor potale transportate pe calea ferat, ianuarie 2001

    Greutatea (kg) fi fci 40 45 7 7

    45 50 26 33

    50 55 27 60

    55 60 37 97

    60 65 43 140

    65 70 34 174

    70 75 27 201

    75 80 11 212

    Total 212 *

    Figura 1.20. Poligonul frecvenelor

    construit pe baza histogramei prin

    dreptunghiuri

    Figura 1.19. Poligonul frecvenelor

    construit pe baza histogramei prin

    batoane

    40 45 50 55 60 65 70 75 80

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    50

    55

    0

    5

    10

    40 45 50 55 60 65 70 75 80

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    50

    55

    0

    5

    10

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    21

    Curba frecvenelor cumulate se utilizeaz i la calculul grafic al unor indicatori statistici (median, cuartile).

    Grafica seriilor de distribuie bidimensionale Se realizeaz n sistemul axelor rectangulare tridimensionale:

    - pe axa Ox se reprezint variantele sau intervalele de variaie pentru variabila principal.

    - pe axa Oy se reprezint variantele sau intervalele de variaie pentru variabila secundar.

    - pe axa Oz (axa vertical) se reprezint valorile corespunztoare frecvenelor duble (fij).

    Se folosesc aceleai tipuri de reprezentri grafice ca la seriile undimensionale cu

    diferena c n acest caz se vor chema: - stereograma prin batoane (dreptunghiuri etc.) - reea poligonal

    Exemplu 1.17: Folosim datele din distribuia urmtoare, pentru construcia unei reele

    poligonale, respectiv unei stereograme prin paralelipipede (figurile 1.22,1.23). Tabelul 1.15.

    Y

    X

    1,7

    -

    2,0

    2,0

    -

    2,3

    2,3

    -

    2,6

    2,6

    -

    2,9

    2,9

    -

    3,2

    fx

    100-110 2 1 0 0 0 3

    110-120 0 2 1 0 0 3

    120-130 0 1 3 2 0 6

    130-140 0 0 1 2 0 3

    140-150 0 0 0 0 3 3

    fy 2 4 5 4 3 18

    Figura 1.21. Curba frecvenelor cumulate

    40 45 50 55 60 65 70 75 80

    60

    80

    100

    120

    140

    160

    180

    200

    220

    0

    20

    40

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    22

    100-1

    10

    110-1

    20

    120-1

    30

    130-1

    40

    140-1

    50

    1,7-

    2,0

    2,0-

    2,3

    2,3-

    2,6

    2,6-

    2,9

    2,9-

    3,2

    0

    0,5

    1

    1,5

    2

    2,5

    3

    Figura 1.23. Stereograma prin paralelipipede

    Figura 1.22. Reea poligonal

    100-

    110

    110-

    120

    120-

    130

    130-

    140

    140-

    150

    1,7-2,

    02,0

    -2,3

    2,3-2,

    62,6

    -2,92

    ,9-3,2

    0

    0,5

    1

    1,5

    2

    2,5

    3

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    23

    nceputurile utilizrii acestui tip de reprezentare grafic sunt ilustrate n imaginea

    urmtoare:

    Sursa: www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/

    Figura 1.24 Prima stereogram din lume

    1.5.2.2. Grafica seriilor cronologice

    Se deosebesc dou cazuri n care se utilizeaz frecvent reprezentarea grafic a seriilor

    cronologice:

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    24

    a) pentru evidenierea evoluiei unor indicatori care nu sunt influenai de factori naturali sau sezonieri;

    b) pentru evidenierea evoluiei unor indicatori care sunt influenai de factori naturali sau sezonieri;

    n cazul a) se utilizeaz de obicei urmtoarele tipuri de reprezentri: cronograma,

    historiograma, diagrama prin coloane. n cazul b) se utilizeaz des graficele: diagrama polar radial sau diagrama polar

    sectorial.

    Cronograma Se construiete n sistemul axelor rectangulare XOY.

    Pe abscis se trec variantele caracteristicii timp, astfel:

    - n dreptul diviziunilor pentru seriile cronologice de momente (similar cu reprezentarea variabilelor atributive discrete);

    - n dreptul intervalelor dintre diviziuni, pentru seriile cronologice dup intervale de timp (similar cu reprezentarea variabilelor atributive continue).

    Pe ordonat se trec valorile scrii de reprezentare aferente variabilei/variabilelor a

    cror evoluie se urmrete. De pe abscis din dreptul diviziunilor pentru seria de momente, sau din dreptul

    centrelor intervalelor pentru seria de intervale, se ridic perpendiculare de nlime

    proporional cu mrimea indicatorilor ce trebuie reprezentai. Prin unirea vrfurilor perpendicularelor prin segmente de dreapt se obine cronograma.

    Exemplu 1.18: Se cunosc datele:

    Tabelul 1.16.

    Anul 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

    Rata

    omajului (%)

    Masculin 7.5 6.3 5.7 6.5 7.4 7.7 7.1 8.9 7.5 9 7.7 8

    Feminin 8.6 7.3 6.4 6.1 6.2 6.4 5.9 7.7 6.4 6.9 6.4 5.7

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

    Masculin Feminin

    Figura 1.25 Cronograma. Dinamica ratei omajului, 1995-2006

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    25

    Historiograma

    Se construiete similar cu cronograma, cu deosebirea c, fie pe orizontal, fie pe

    vertical, are un canal de ntrerupere care simbolizeaz renunarea la unele poriuni din scara de reprezentare.

    Canalul de ntrerupere vertical apare atunci cnd seria cronologic prezint o ntrerupere

    lipsesc valori corespunztoare variabilei de reprezentat, pentru unele variante ale caracteristicii timp.

    Canalul de ntrerupere orizontal apare cnd seria cronologic prezint valori mari ale

    indicatorilor coninui, dar diferenele dintre acestea sunt mici, caz n care o poriune a

    graficului (dintre origine i valoarea minim de reprezentat) rmne neutilizat. n cazul n care graficul conine evoluia a mai mult de un indicator atunci devine

    necesar legenda.

    Exemplu: Folosind datele de la exemplul anterior construim historiograma:

    Figura 1.26 Historiograma. Dinamica ratei omajului, 1995-2006

    Diagrama prin coloane Se construiete similar cu cronograma, cu deosebirea c din dreptul diviziunilor

    pentru serii dup momente de timp sau din dreptul intervalelor pentru serii dup

    intervale de timp se construiesc coloane de nlime proporional cu mrimea

    indicatorilor ce trebuie reprezentai. Pe rol de coloane pot fi folosite figuri geometrice (dreptunghi, paralelipiped, cilindru, con, piramid etc) sau figuri simbolice.

    Exemplu 1.18: Din anuarul statistic al Romniei 2005, se cunosc datele: Tabelul 1.17

    Anul colar 1999/

    2000

    2000/

    2001

    2001/

    2002

    2002/

    2003

    2003/

    2004

    2004/

    2005

    Studeni

    nscrii 21923 25551 28779 28197 28547 29418

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    26

    Figura 1.26 Historiograma. Dinamica ratei omajului, 1995-2006

    n cazul reprezentrii evoluiilor sezoniere sau ciclice se recomand utilizarea

    diagramelor polare.

    Diagrama polar Diagramele polare se construiesc n sistemul axelor polare, avnd ca suport un cerc

    a crui raz, pentru a pstra proporionalitatea nivelurilor reprezentate, se determin ca medie a valorii termenilor seriei de reprezentat sau:

    2

    minmax xxr

    unde xmax, xmin - valorile maxim, respectiv minim pentru variabila ce se dorete

    a fi reprezentat.

    Dup determinarea mrimii cercului, acesta se mparte ntr-un numr de sectoare

    egal cu cel al termenilor seriei. Pe una din razele cercului se marcheaz diviziunile i

    valorile scrii de reprezentare.

    Pn n acest punct construcia ambelor tipuri de diagrame polare sectorial i radial este identic.

    Diagrama polar radial n cazul diagramei polare radiale, variantele caracteristicii timp se plaseaz n

    dreptul razelor cercului iar nivelurile seriei se reprezint prin puncte, pe raze - pentru valori

    mai mici sau egale cu media lor simbolizat prin raza cercului - sau pe prelungirea razelor - pentru valori mai mari dect media. Centrul cercului reprezint originea (valoarea zero).

    Punctele obinute anterior se unesc cu segmente de dreapt, obinndu-se diagrama

    polar radial (figura 1.27). Excepie fac primul punct - corespunztor primului termen al

    seriei - i ultimul punct - corespunztor ultimului nivel al seriei - care nu se unesc. Prin aceasta se simbolizeaz ireversibilitatea timpului.

    Diagrama polar sectorial n cazul diagramei polare sectoriale variantele caracteristicii timp se trec n dreptul

    sectoarelor de cerc. Pentru nivelurile termenilor seriei din dreptul punctelor, care

    simbolizeaz mrimea lor, se traseaz sectoare de cerc. Sectoarele de cerc astfel obinute se unesc cu segmente de dreapt, excepie fcnd i n acest caz primul i ultimul (figura

    1.28).

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    27

    Exemplu 1.19: Pentru vnzrile de ngheat, pe o pia oarecare, se cunosc

    datele:

    Tabelul 1.18

    Luna

    Valoarea vnzrilor

    de ngheat -mil. lei-

    Luna

    Valoarea

    vnzrilor de

    ngheat

    -mil. lei-

    ianuarie 5 iulie 35

    februarie 6 august 18

    martie 9 septembrie 10

    aprilie 10 octombrie 8

    mai 16 noiembrie 7

    iunie 30 decembrie 6

    mil. lei; 1cm 10 mil. lei

    Prima diagram polar a fost inventat i realizat de Florence Nightingale cunoscut totodat ca prima sor medical modern.

    n 1858, dup ce a fost martor a condiiilor sanitare deplorabile din Crimeea, a

    scris Note asupra cauzelor care afecteaz sntatea, eficiena i administrarea spitalului

    armatei engleze, n care a evideniat printr-un set de grafice statistice originale cauzele deceselor semnalate n armata englez, pe care le-a mprit n dou: cauze legate de

    condiiile de lupt i cauze nelegate de condiiile de lupt (cauze preventive).

    Ian

    Feb

    Mar

    Apr

    Mai

    Iun

    Iul Aug

    Sep

    Oct

    Noi

    Dec

    Figura 1.27. Diagrama polar

    radial

    Ian

    Feb

    Mar

    Apr

    Mai

    Iun Iul

    Aug

    Sep

    Oct

    Noi

    Dec

    Figura 1.28. Diagrama polar

    sectorial

    202

    535

    r

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    28

    Sursa: www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/

    Figura 1.29 Prima diagram polar

    1.5.2.3. Grafica seriilor de spaiu

    Pentru reprezentarea grafic a seriilor de spaiu se utilizeaz mai frecvent urmtoarele

    tipuri de grafice:

    - diagrama prin coloane - diagrama prin benzi - cartodiagrama

    Diagrama prin coloane Are aceeai metodologie de construcie ca la seria cronologic, deosebirea

    constnd n faptul c pe axa Ox se reprezint de data aceasta variabila de spaiu (figura

    1.30).

    Exemplu 1.20: Tabelul 1.19

    Populaia la data de 1 iul. 2004

    Judeul Populaia

    Dolj 720554

    Gorj 386097

    Mehedini 305901

    Olt 488176

    Vlcea 416908 Sursa: Anuarul statistic al Romniei 2005

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    29

    0

    100000

    200000

    300000

    400000

    500000

    600000

    700000

    Dolj Gorj Mehedini Olt Vlcea

    Populaia

    Figura 1.30 Diagrama prin coloane. Populaia judeelor din sud-vestul Romniei

    la 1 iulie 2004

    Diagrama prin benzi

    Metodologia de construcie este similar cu cea de la diagrama prin coloane pentru serii de spaiu, cu deosebirea c rolul axelor este inversat: variantele variabilei de spaiu se

    reprezint pe axa Oy iar valorile variabilei a crei variabilitate se urmrete, pe axa Ox

    (figura 1.31). Folosind aceleai date de la exemplul anterior obinem:

    0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 700000

    Dolj

    Gorj

    Mehedini

    Olt

    Vlcea Populaia

    Figura 1.31 Diagrama prin benzi. Populaia judeelor din sud-vestul Romniei

    la 1 iulie 2004

    Cartograma Se construiete avnd ca suport o hart fizic, pe care valorile indicatorilor se

    reprezint la nivelul fiecrei zone prin hauri diferite (figura 1.32 a).).

    Cartodiagrama Se construiete avnd ca suport o hart fizic, peste care n dreptul fiecrei zone se

    construiesc figuri geometrice ale cror dimensiuni sunt proporionale cu valorile indicatorilor de reprezentat (figura 1.32 b).).

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    30

    a). Excluderea social prin disponibilizare i concediere,

    1990-2003, pe regiuni (%)

    b). Ponderea populaiei ocupate (% fa de populaia activ), pe regiuni de dezvoltare

    2002. Sursa: Studiul statistic al pieei muncii din regiunea Oltenia, C. Radu. N. Vasilescu, C. Ionacu,

    Editura Sitech, Craiova, 2005, p. 121. Figura 1.32

    Banat 11

    Criana Maramure 7

    Muntenia 10

    Oltenia 13

    Bucureti 9

    Legend

    sub medie peste medie

    Media = 9%

    Dobrogea 15

    Transilvania 8

    Moldova 7

    Legend

    sub medie

    peste medie

    Media naional = 91,6%

    Nord-Est

    92,4 Centru

    91,6

    Vest 92,8

    Nord-Vest 92,3

    Sud-Est

    89,6

    Sud 90,1

    Sud-Vest 93,1

    Bucureti 91,2

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    31

    Ca i n cazul altor reprezentri grafice i cartodiagrama a fost utilizat prima dat

    pentru a gsi soluia unei situaii critice. n 1855, n timpul epidemiei de holer din Londra, dr. J. Snow a observat c

    majoritatea cazurilor de mbolnviri (reprezentate prin suprafeele negre) au aprut n

    jurul unei pompe de ap. Folosind informaia obinut astfel a stopat epidemia.

    Sursa: www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/

    Figura 1.33 Prima utilizare a cartodiagramei

    1.5.3. Reprezentarea grafic a comparaiilor

    n multe situaii datele care trebuie reprezentate grafic constituie de fapt o comparaie

    i nu o serie statistic. n asemenea situaii se utilizeaz reprezentri grafice specializate care se bazeaz pe folosirea figurilor geometrice plane sau tridimensionale sau a figurilor

    simbolice pentru evidenierea comparaiei.

    n cazul utilizrii figurilor geometrice plane n comparaii, aria acestora trebuie s fie

    construit proporional cu mrimea indicatorilor de comparat. Dac se folosesc figuri tridimensionale, volumul figurilor construite va fi proporional cu valoarea indicatorilor

    comparai.

    Cele mai des utilizate figuri geometrice sunt:dreptunghiul, cercul, ptratul, paralelipipedul, cilindrul, sfera.

    Dreptunghiul Se cunoate faptul c aria dreptunghiului depinde de cele dou dimensiuni ale sale:

    A = L . l

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    32

    Pornind de la aceasta, un dreptunghi a crui arie s fie proporional cu mrimea

    indicatorilor de comparat, poate fi construit n dou variante:

    a) pe baza unei singure dimensiuni, cealalt se meninndu-se constant; b) pe baza ambelor dimensiuni.

    Prima variant se folosete n cazul n care se reprezint indicatori monofactoriali. Exemplu 1.21: Se compar producia a dou firme de acelai profil.

    Tabelul 1.20.

    Anul 2005

    A doua variant se folosete n cazurile n care indicatorii de compara pot fi scrii ca produs de doi factori.

    Exemplu 1.22: Se compar producia (Q) a dou firme de acelai profil, pentru care

    se mai cunosc numrul de muncitori (N) i productivitatea (w). Producia fiecrei firme poate fi scris astfel: Q = w

    . N, aa nct pe fiecare latur a dreptunghiului se poate

    reprezenta unul din factori (w respectiv N), aria rezultat fiind proporional cu volumul

    indicatorului general (Q). A = L

    . l

    Q = w . N

    Tabelul 1.21. Anul 2005

    Firma Producia (P)

    - mil. lei -

    Numrul de

    muncitori

    Productivitatea muncii

    - mii lei -

    A 350 200 1750

    B 250 156 1603

    Firma Producia (P)

    - mil. lei -

    A 350

    B 250

    A

    B

    P=350 mil lei

    P=250 mil lei

    Figura 1.34

    A B

    P=350 mil lei P=250 mil

    lei

    N = 200 munc. N = 156 munc.

    w =

    17

    50 m

    mii

    lei

    w =

    16

    03 m

    mii

    lei

    Figura 1.35

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    33

    Cercul Pentru cerc elementul de proporionalitate l constituie raza. Pornind de la faptul c

    aria cercului (A) va fi proporional cu mrimea indicatorului de reprezentat (Q - element cunoscut), se poate determina raza cu ajutorul relaiei urmtoare :

    QAr

    n practic, pentru uurarea construciei grafice i fr a afecta proporionalitatea ariei

    cercului cu mrimea indicatorului de reprezentat, poate fi neglijat

    Ar Exemplu 1.23: Folosind datele din exemplul anterior, n cazul reprezentrii produciei

    vom avea:

    7.18350 AA Qr ; 8.15250 BB Qr

    Stabilim scara de reprezentare 1cm10mil.lei, deci cercul pentru firma A va avea o raz de 1.87 cm iar cel pentru firma B de 1.58 cm.

    Ptratul Metodologia de construcie este similar cu cea de la cerc.

    AllA 2

    Paralelipipedul Fiind o figur tridimensional, volumul su trebuie s fie proporional cu valoarea

    indicatorilor de comparat. Dup cum se cunoate volumul paralelipipedului poate fi

    determinat astfel :

    A B

    Q=350 mil. lei Q=250 mil. lei

    Figura 1.36

    A B

    Q=250 mil. lei Q=350 mil. lei

    Figura 1.37

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    34

    hlLV

    Este indicat pentru situaiile n care se reprezint grafic indicatori trifactoriali, cum ar

    fi NwcV (unde : V - valoarea produciei, c- costul pe bucata de produs, w - productivitatea muncii exprimat n buci, N - numrul de muncitori), caz n care pe

    fiecare dimensiune poate fi reprezentat un factor.

    Exemplu 1.24:

    Tabelul 1.22. Anul 2004

    Firma Producia (P)

    - mil. lei -

    Numrul

    de

    muncitori

    Productivitatea

    muncii

    - buc -

    Costul unitar - mii lei/buc-

    A 8750 200 1750 25

    B 7200 150 1600 30

    Cilindrul Volumul su poate fi calculat cu ajutorul relaiei :

    hAV b

    unde bA - reprezint aria bazei 2 rAb

    h - nlimea cilindrului Poate fi utilizat pentru reprezentarea indicatorilor bifactoriali - unul pe raza cercului

    baz i unul pe nlimea sa.

    Exemplu 1.25: Prelund datele utilizate la dreptunghi (n cazul utilizrii ambelor

    laturi),i reprezentnd pe raza bazei numrul de muncitori (N), iar pe nlime

    productivitatea muncii (w), comparaia prin cilindru va arta astfel:

    1.14200 Ar muncitori ; 5.12156 Br muncitori;

    1 cm10 muncitori 41.1 Ar cm i 25.1Br cm

    A B

    N=200 muncitori N=200 muncitori

    w=

    1750 b

    uc

    w=

    1600 b

    uc

    Figura 1.38

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    35

    Sfera Are metodologia de construcie similar cu cea de la cerc.

    Exemplu 1.26: Prelund datele prezentate la utilizarea cercului n comparaii,

    graficul va arta astfel :

    n cazul reprezentrilor grafice prin figuri geometrice ce permit ilustrarea

    indicatorilor bi sau trifactoriali, nu trebuie pierdut din vedere faptul c indicatorul rezultant

    din produsul factorilor, care este proporional cu volumul figurii utilizate, trebuie s aib sens.

    A B

    Q=350 mil. lei Q=250 mil. lei

    Figura 1.40

    A B

    Figura 1.39

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    36

    1.5.4. Reprezentarea grafic a structurilor

    n cazul n care indicatorii ce trebuie reprezentai constituie pri dintr-un ntreg, se

    recomand utilizarea reprezentrilor grafice pentru structuri. i n cazul graficelor pentru structuri se utilizeaz aceleai figuri geometrice ca i n

    cazul comparaiilor, deosebirea fiind c n aceast situaie se construiete, ntr-o prim

    faz, o singur figur a crei arie (pentru figurile plane) sau al crei volum (pentru figurile tridimensionale) este proporional cu suma indicatorilor structurali i care apoi, ntr-o a

    doua faz, se mparte n sectoare de dimensiune proporional cu nivelurile acestora,

    haurate diferit.

    Modul de sectorizare al figurilor geometrice folosite poate fi particularizat n funcie de caracteristicile fiecreia. Astfel pentru dreptunghi, paralelipiped, cilindru se procedeaz

    de obicei la sectorizare folosind o singur dimensiune, de obicei lungimea.

    Exemplu 1.27: Structura valoric a vnzrilor de produse de la unitatea comercial X n luna martie 2002 a fost urmtoarea:

    Tabelul 1.23.

    Categoria de produse Valoarea vnzrilor

    (mil. lei) %

    Total, din care: 1100 100,00

    - alimentare 300 27,27

    - electrocasnice 600 54,54

    - mbrcminte 150 13,64

    - alte produse 50 4,55

    n cazul ptratului, acesta se mparte n 100 de ptrele egale, prin mprirea fiecrei laturi n 10 pri egale, fiecare ptrel reprezentnd un procent. Indicatorii de

    reprezentat se exprim mai nti procentual i apoi se reprezint pe figur prin haurarea

    unui numr de ptrele egal cu cel al valorii procentuale determinate pentru fiecare.

    - alte produse

    - mbracaminte

    - electrocasnice

    - alimentare

    Diagram de structur prin a) dreptunghi b) paralelipiped

    Figura 1.41

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    37

    Exemplu 1.28: Folosind datele de la reprezentarea anterioar vom obine.

    1.331100 l mil. lei; 1 cm1 mil. lei

    n cazul cercului, se consider c acesta reprezint 100%, 1% fiind echivalent cu un

    sector de cerc construit pe baza unu unghi la centru de 3,6o.

    Exemplu 1.30: Folosind aceleai date vom obine:

    1.331100 r mil. lei; 1 cm1 mil. lei

    Tabelul 1.24.

    Categoria de produse Vnzri Grafic

    % (grade)

    Total,din care: 100,00 360

    - alimentare 27,27 98,18

    - electrocasnice 54,54 196,34

    - mbrcminte 13,64 49,10

    - alte produse 4,55 16,38

    - alimentare

    - electrocasnice

    - mbrcminte

    - alte produse

    Figura 1.42. Diagram de structur prin ptrat

    Figura 1.43. Diagram de structur prin cerc

    27,27%

    54,54%

    13,64%

    4,55%

    - alimentare

    - electrocasnice

    - mbrcminte

    - alte produse

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    38

    O caracteristic a graficelor pentru structuri este prezena obligatorie a legendei,

    avnd n vedere c pe acelai grafice se reprezint mai muli indicatori diferii.

    1.5.5. Alte tipuri de reprezentri grafice

    n anumite situaii, pentru evidenierea unor aspecte particulare ale indicatorilor de reprezentat, practica a impus construirea unor reprezentri grafice speciale. Aceste

    reprezentri sunt dedicate numai cazurilor particulare pentru care au fost concepute i nu

    este recomandat utilizarea lor n alte situaii.

    Din aceast categorie de reprezentri fac parte: diagrama de balan i diagrama prin coloane n aflux, piramida vrstelor etc.

    Diagrama de balan Este destinat reprezentrii grafice a micrii stocurilor, situaie frecvent ntlnit

    n domeniul economic. Acest tip de grafic ilustreaz de fapt indicatorii din diagrama de

    balan, care arat astfel:

    21 NEIN

    unde: 1N , 2N - stocul existent la nceputul, respectiv la sfritul perioadei de

    analiz;

    EI , - intrrile, respectiv ieirile din stoc aprute de-a lungul perioadei

    de analiz;

    Analiza statistic a stocurilor de materii prime sau de produse finite, analiza micrii forei de munc, a fondurilor fixe etc. impune determinarea indicatorilor prezeni

    n diagrama de balan.

    Metodologia de construcie este urmtoarea: Se folosete ca suport sistemul axelor rectangulare Ox, Oy.

    Pe axa Ox se construiesc patru intervale egale, cte unul pentru fiecare indicator al

    ecuaiei de balan, n ordinea n care acetia se regsesc n ecuaie.

    Pe axa Oy se reprezint, volumul stocului iniial (N1), respectiv cel al stocului final (N2) precum i mrimea rezultat din cumularea stocului iniial cu cea a intrrilor n cursul

    perioadei (I) (membrul stng al ecuaiei de balan) i mrimea rezultat din cumularea

    stocului final cu cea a ieirilor din cursul perioadei (E) (membrul drept al ecuaiei de balan).

    Pentru stocul iniial i cel final se ridic dreptunghiuri de nlime proporional cu

    valoarea acestor indicatori. Pentru intrri se construiete un dreptunghi suspendat n

    dreptul intervalului corespunztor de pe abscis, cu baza plasat la nlimea determinat pentru dreptunghiul corespunztor stocului iniial i de nlime proporional cu valoarea

    intrrilor. Pentru intrri se procedeaz la fel ca pentru ieiri, cu deosebirea c se ia ca reper

    nlimea dreptunghiului determinat pentru stocul final.

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    39

    Exemplu 1.31: Pentru un depozit de produse se cunosc datele:

    N1=3000 buc.; I = 500 buc.; E = 1500 buc. ; N2 = 2000 buc.

    Diagrama prin coloane n aflux

    Este specializat pentru ilustrarea grafic a comparaiilor n timp, simultan pentru

    mai muli indicatori din aceeai grup, exprimai n aceeai unitate de msur. Metodologia

    de construcie este similar cu cea a diagramei prin coloane utilizat n cazul seriilor de timp, cu deosebirea c fiecrei variante sau interval pentru variabila timp i sunt ataate, pe

    grafic, mai multe coloane de lime egal i nlime corespunztoare fiecrui indicator

    reprezentat, plasate una n spatele celeilalte i decalate de obicei cu jumtate din limea bazei.

    Figurile geometrice utilizate mai des pe post de coloane sunt : dreptunghiul,

    ptratul, cercul, paralelipipedul, cilindrul etc.

    Exemplu 1.32 : Se cunosc datele :

    Tabelul 1.25.

    - mii tone-

    Anul Gru Porumb Secar

    1990 50 100 10

    1995 60 120 20

    2000 55 150 25

    500

    1000

    1500

    2000

    2500

    3000

    3500

    N1 I E N2

    Figura 1.44. Diagrama de balan

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    40

    Figura 1.46. Piramida vrstelor pentru populaia activ din Romnia.

    Pentru selectarea rapid a tipului de grafice adecvate tipului de date de reprezentat

    este util schema din figura urmtoare :

    Masculin Feminin

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    140

    1990 1995 2000

    Figura 1.45. Diagrama prin coloane n aflux

    160

    Populaia activ

    omeri

    Ani

  • Serii statistice i reprezentri grafice

    41

    Serii statistice

    de distribuie

    de timp

    de spaiu

    poligonul frecvenelor

    curba recvenelor cumulate

    fr sezonalitate

    Comparaii

    Figura 1.47.Tipuri de date tipuri de reprezentri grafice

    histograma

    historiograma

    diagrama prin coloane

    cronograma

    diagrama polar radial

    diagrama polar sectorial coloane diagrama prin coloane

    diagrama prin benzi

    cartodiagrama

    Structuri

    Figuri geometrice plane

    cu sezonalitate

    Cerc

    Ptrat

    Dreptunghi

    Figuri geometrice tridimensionale Paralelipiped

    Cilindru

    Sfera

    Cazuri speciale Diagrama de balan

    Diagrama prin coloane n aflux

  • STATISTIC. Teorie i aplicaii

    42

    SERII STATISTICE I REPREZENTRI GRAFICE ...................................................................................... 1

    1.1. Scurt istoric ......................................................................................................................... 1 1.2. Noiuni fundamentale .......................................................................................................... 1 1.3. Variabila de grupare ............................................................................................................ 2 1.4. Serii statistice ...................................................................................................................... 5

    1.4.1. Serii de distribuie .......................................................................................................... 5 1.4.2. Serii cronologice ......................................................................................................... 12 1.4.3. Serii de spaiu .............................................................................................................. 13

    1.5. Reprezentri grafice .......................................................................................................... 14 1.5.1. Elemente constructive ale unui grafic statistic ............................................................. 15 1.5.2. Reprezentarea grafic a seriilor statistice ................................................................... 17

    1.5.2.1. Grafica seriilor de distribuie ................................................................................ 17 1.5.2.2. Grafica seriilor cronologice .................................................................................. 23 1.5.2.3. Grafica seriilor de spaiu....................................................................................... 28

    1.5.3. Reprezentarea grafic a comparaiilor ......................................................................... 31 1.5.4. Reprezentarea grafic a structurilor ............................................................................ 36 1.5.5. Alte tipuri de reprezentri grafice ................................................................................ 38