Curso Geometría Analítica Sesión 4. La parábola. Secuencia didáctica Geometría Analítica 3 Septiembre 17 La parábola Ecuación de la parábola Vértice,

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    13-Feb-2015

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  • Curso Geometra Analtica Sesin 4. La parbola
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  • Secuencia didctica Geometra Analtica 3 Septiembre 17 La parbola Ecuacin de la parbola Vrtice, foco y distancia focal Asociacin de ecuaciones con las curvas correspondientes Entender la importancia y las posibles aplicaciones de las parbolas Mostrar algunos ejemplos de la vida real, donde intervienen las parbolas Discusin de los estudiantes, en torno a la existencia de parbolas Discusin 10 min Lista de posibles ejemplos de parbolas en la naturales o en artefactos fabricados Construccin de una parbola, a partir de su foco y su directriz, deduccin de la ecuacin Construccin de varias parbolas a partir de las condiciones de definicin Uso del Laboratorio de Geometra Analtica 30 min Construcciones geomtricas realizadas con el laboratorio Construir las soluciones de los problemas propuestos como tarea de cada Descripcin del profesor y trabajo de los estudiantes 10 min + 1:30 horas Soluciones a los problemas planteados Comprensin de conceptos, capacidad de razonamiento y solucin de problemas Discusin en clase y tareas encargadas para su solucin colaborativa o individual 30% participacin en clase 70% trabajo en casa Laboratorio de Geometra Analtica Ninguno Geometra Analtica de Oteyza, Emma Lam Osnaya y otros Planteamiento de problemas orientados a mostrar las aplicaciones de la parbola Enrique Caldern A.
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  • APERTURA La definicin de la parbola
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  • Introduccin Despus del crculo, estudiado y utilizado desde los tiempos de Euclides, la parbola fue tambin conocida y estudiada cuando los hombres se percataron de su existencia. Es muy probable que en los tiempos antiguos no estuviesen identificadas como casos particulares de una misma curva.
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  • En busca de una ecuacin para la parbola Por los escritos de Galileo sabemos que en el Renacimiento, se tena plenamente identificada la curva, a la que daban ya el nombre de parbola. Galileo que investigaba los movimientos de los cuerpos, intent obtener una ecuacin que la representase, pero los conocimientos matemticos aun no lo permitan. Las primeras formas conocidas, fueron ecuaciones de segundo grado que resultaban de la multiplicacin de las ecuaciones de dos rectas. La geometra analtica, permiti obtener una definicin diferente en trminos de distancias.
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  • DESARROLLO Construccin de una parbola a partir de su foco y su directriz
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  • Construccin de una parbola
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  • Tracemos una recta paralela a la directriz d, a una distancia de 5 unidades de esta y una circunferencia con centro en f (0,2) y radio igual a 5 unidades. Estas dos curvas nos determinan los puntos p1(-4.9,3) y p2(4.9,3) distantes del foco y de la directriz 5 unidades.
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  • Construccin de una parbola De igual manera, trazamos otra paralela a la directriz d, a 6 unidades de esta, y una circunferencia con centro en f y radio igual a 6 unidades. Estas dos curvas no determinan los puntos P3(-5.65,4) y P4(5.65,4), los cuales se encuentran a 6 unidades del foco y de la directriz respectivamente.
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  • Construccin de una parbola Encontremos los puntos p3(- 4.9,3) y p4(4.9,3) distantes del foco y de la directriz 6 unidades. De la misma manera encontremos un puntos ms P5(- 5.65,4) y P6(5.65,4). La parbola empieza a tomar forma, permitindonos observar que la directriz define la direccin de la parbola, o mas bien de su eje de simetra el cual es perpendicular a ella y contiene tanto al vrtice como al foco f. De esta manera, a partir de su definicin podemos construir parbolas con cualquier direccin y distancia focal (separacin entre el vrtice y el foco)
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  • Construccin de una parbola La parbola empieza a tomar forma, permitindonos observar que la directriz define la direccin de la parbola, o mas bien que su eje de simetra el cual es perpendicular a ella y contiene tanto al vrtice como al foco f. De esta manera, a partir de su definicin podemos construir parbolas con cualquier direccin y distancia focal (separacin entre el vrtice y el foco)
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  • Construccin de una parbola Observemos que al tomar cualquier punto de la parbola, al trazar segmentos de este al foco y a la directriz estos tienen la misma longitud.
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  • La ecuacin de la parbola Es interesante notar que al trazar una paralela a la directriz, que pasa por el foco, la apertura de la parbola es de 4P (y - k)^2 = 4P*(x-h) y^2= 4xP y^2= 4xP
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  • La ecuacin de la parbola Para el caso de parbolas con el eje de simetra vertical, como la de la figura, la obtencin de la ecuacin general, es igual a la de las parbolas con eje horizontal, intercambiando los roles de x y y. Como d1 = d2 tenemos que : y + P = (x^2 + (y P)^2)^0.5 por lo que: (y + P)^2 = x^2 + (y P)^2 de donde queda: 2yP = x^2 2yP de modo que: Si el vrtice de la parbola se mueve al punto p1(h,k) la ecuacin se transforma a: (x h)^2 = 4P*(y k) x^2=4yP
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  • Aplicaciones La parbola, estudiada inicialmente por Galileo en relacin con las trayectorias de los cuerpos lanzados al espacio y atradas por la Tierra, tiene varias aplicaciones importantes. As cuando se lanza un proyectil, a una velocidad determinada, este llegar mas lejos si el ngulo de disparo es de 45 respecto a la horizontal (curva morada) El estudio de las trayectorias parablicas fue utilizado durante siglos para generar tablas de artillera. La forma de las diferentes curvas obtenidas con el Laboratorio de Geometra Analtica de galileo se observan en esta grfica, el estudio completo requiere sin embargo de herramientas de calculo diferencial, por involucrar aspectos de velocidad de los proyectiles.
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  • Ejercicio Uno de los arcos parablicos que se forma en la entrada principal de la iglesia de San Antonio ubicada en Bethania, Arco que mide en su base 14 metros y su altura mxima 15 metros, es colocado en un eje de coordenadas en donde el eje de simetra coincide con el eje y, la base con el eje x. Hallar la ecuacin de la parbola en su forma ordinaria de dicho arco parablico
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  • Aplicaciones Problema a desarrollar. En la tabla adjunta se incluyen las alturas mximas y los alcances logrados por los diferentes proyectiles, lanzados todos a la misma velocidad. Se requiere obtener las ecuaciones de las trayectorias de esos proyectiles, suponiendo que en todos los casos, los proyectiles se disparan desde el punto (0,0). Encontrar la posicin del foco de la parbola en todos los casos y marcarla en la grfica. TrayectoriaAltura Max.Alcance 1 39 29.6 2 33 46.2 3 25 56.4 4 20 66.6 5 10.5 63.9 6 6.7 60 La ecuacin de las parbolas, con eje de simetra vertical como es el caso, tiene la forma (x-h)^2 = 4P *(y-k) donde (h,k) son las coordenadas del vrtice y P es la distancia del vrtice al foco..
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  • Aplicaciones. Antenas parablicas y faros Una de las propiedades mas interesantes de las parbolas es que todos las lneas que son paralelas al eje de la parbola son reflejadas por esta hacia su foco, tal como se observa en la figura. La propiedad es innata a todas las parbolas, a partir de que para cualquier punto de la parbola, su distancia al foco f es igual a su distancia a la directriz de la parbola. Veamos porque: Esta propiedad tiene una importancia singular para captar y transmitir seales y ondas electromagnticas incluyendo la luz y el sonido
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  • 2. Un arco de concreto salva un espacio de 40 metros, y una carretera de 20 metros de ancho pasa por debajo de l. La altura libre mnima sobre la carretera debe ser de 10 metros. Cul es la altura del arco ms pequeo que se puede emplear? CIERRRE