(dependent variable) (independent variable). ,,x ... z w w dan y z w w = derivatif parsial dari x dan y dx dan dy = diferensial x dan diferensial y Jika z=f(x 1,x 2,.,x n), maka diferensia totalnya adalah:

  • Published on
    06-Feb-2018

  • View
    261

  • Download
    29

Embed Size (px)

Transcript

  • A. Pendahuluan Dalarn kehidupan nyata, suatu variabel terikat tidak hanya dipengaruhi oleh satu variabel

    bebas saja, akan tetapi dapat dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas. Pada bagian ini

    merupakan kelanjutan dari fungsi dengan satu variabel bebas yang telah dipelajari

    sebelumnya. Fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas sering kita jumpai dalam bidang

    ekonomi dan bisnis. Diantara variabel-vartabel bebas ini ada yang saling mempenqaruhi

    (tidak bebas) satu sama lainnya, tetapi ada pula yang tidak saling rnempenqaruh (bebas satu

    sama lainnya)

    Pada bagian ini dibahas mengenai konsep tentang derivatif parsial, diferensiasi total, derivatif

    total, dan derivatif total parsial, dan derivatif fungsi implisit untuk mengukur tingkat

    perubahan dari variabel terikat (dependent variable) yang diakibatkan oleh perubahan satu

    (parsial) atau keseluruhan (total) dari variabel-variabel bebas (independent variable).

    Jika y=f(x1,x2,,xn), dimana x1,x2,,xn tidak saling mempengaruhi, maka derivatif parsial

    (tingkat perubahan seketika variable terikat y yang diakibatkan oleh perubahan salah satu

    dari variable bebas xi dimana variable bebas xi lainnya dianggap konstan) adalah:

    nx

    y

    x

    y

    x

    y

    ,......,,

    21

    atau

    nfff ,.....,, 21

    Jika fungsi dalam bentuk y=f(u,v,w), maka derivatif parsialnya adalah fu, fv, fw atau

    w

    y

    v

    y

    u

    y

    ,......,,

    Contoh:

    Carilah derivatif parsial dari fungsi 2

    221

    2

    121 345),( xxxxxxfy

    Jawab:

    21

    1

    1 410 xxdx

    yf

    21

    2

    2 64 xxdx

    yf

    Jika z=f(x,y)

    xxxxx zx

    f

    x

    zf

    x

    zf

    2

    2

    2

    2

  • xyxy zy

    f

    xyx

    f

    yx

    zf

    )(

    22

    yxyx zx

    f

    yxy

    f

    xy

    zf

    )(

    22

    Contoh:

    33 39 yxyxz , maka

    yxx

    zf x 93

    2

    299 yxy

    zf y

    9)(2

    y

    z

    xyx

    zf xy

    xx

    z

    xxx

    zf xx 6)(

    2

    yy

    z

    yy

    zf yy 18)(2

    2

    Jika y=f(x)

    )(' xfdx

    dy , atau

    Jika z=f(x,y), maka:

    dyy

    zdx

    x

    zdz

    dimana:

    dz= diferensial total

    yyyyy zy

    f

    y

    zf

    y

    zf

    2

    2

    2

    2

    Disebut derivatif

    Parsial Silang

  • x

    z

    dan

    y

    z

    = derivatif parsial dari x dan y

    dx dan dy = diferensial x dan diferensial y

    Jika z=f(x1,x2,.,xn), maka diferensia totalnya adalah:

    n

    n

    dxx

    zdx

    x

    zdx

    x

    zdz

    .......2

    2

    1

    1

    a/ nndxzdxzdxzdz .....2211

    a/

    n

    iiidxzdz

    1

    , dimana i=1,2,,n

    Contoh:

    Hitung diferensial total dari 63 6y-12xy- 5x=z

    Penyelesaian

    Derivatif parsial dari x dan y adalah:

    yxzx 12152 dan 53612 yxz y

    Jadi diferensial total adalah : )dy 3612(dx 1215 52 yxyxdz

    Konsep derivative parsial hanya dapat digunakan pada fungsi dua atau lebih varibel

    bebas, dimana diantara variable-variabel bebas tersebut tidak saling mempengaruhi.

    Jika diantara variable-variabel bebas saling mempengaruhi satu sama lain, harus

    digunakan derivative total.

    Misal : y=f(x,w)

    dimana : x = g(w)

    Jadi: variable bebas w merupakan sumber perubahan utama, dimana w mempengaruhi y

    melalui 2 saluran, yaitu:

    a) Secara tidak langsung melalui fungsi g kemudian fungsi f

    b) Secara langsung melalui fungsi f

    diferensial total : dy=fx dx + fw dw

    dw

    dwf

    dw

    dxf

    dw

    dywx

    wx fdw

    dxf , atau :

  • Bentuk umum fungsi implisit : f(x,y)=0

    Contoh:

    Jika y=7x2 y =0, maka turunan fungsi implisitnya:

    y

    x

    f

    f

    dx

    dy

    xx

    ff x 14

    dan 1

    y

    ff y

    Jadi : xx

    dx

    dy14

    1

    14

    SOAL LATIHAN.

    1. Carilah fx dan fy dari fungsi beikut ini:

    a. f(x,y) = 3x2 10y3

    b. f(x,y) = 10 x2 + 2xy 6y2

    c. f(x,y) = 6x2 xy+30y2

    d. f(x,y) = (x2 5y)(2x+4y5)

    e. f(x,y)=(4x+3)/(y-2)

    2. Carilah derivatif parsial kedua dari fungsi-fungsi beriku ini:

    a. f(x,y) = 3x2

    + 5y2

    + 10

    b. f(x,y) = 5x3

    + 3xy +3y2

    c. f(x,y) = -20x5 + 10xy + 6y

    3

    3. Carilah diferensial y , untuk masing-masing fungsi berikut ini:

    a. y= -x(x2 +3)

    b. y=7x3

    5x2 + 6x -3

    c. y = (x-8)(7x + 5)

    y

    x

    f

    f

    dx

    dy

    x

    y

    f

    f

    dy

    dx

  • d. )1( 2

    x

    xy

    e. 3)89( xy

    4. Carilah diferensial total jika diketahui fungsi:

    a. z=3x2+xy-2y

    3

    b. u = 2x + 9xy +y2

    c. yx

    xyz

    2

    5. Carilah derivatif total, jika diketahui:

    a. z=2x + xy y2, dimana x=3y

    2

    b. z = 6x2 +15xy+3y

    2, dimana y=7x

    2

    c. z=(13x-18y)2, dimana y = x+6

  • A. Pendahuluan.

    Seperti telah diketahui bahwa diferensial membahas tentang tingkat perubahan sehubungan

    dengan perubahan kecil dalam variable bebas fungsi bersangkutan. Dengan diferensial dapat

    diketahui kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik

    maksimum, titik belok, titik pelana dan titik minimumnya jika ada.

    Berdasarkan manfaat-manfaat inilah konsep diferensila menjadi salah satu alat analisis yang

    sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan

    ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat

    minimum. Dalam hal fungsi dengan satu variable bebaspun dapat diturunkan lagi. Turunan

    berikut dari turunan parsial tadi sudah barang tentu bias sangat bervariasi, tergantung dari

    bentuk turunan parsial tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang

    terdiri dari satu variable bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. Konsep

    derivatif parsial hanya dapat digunakan pada fungsi dengan 2 atau lebih variable bebas

    dimana variable-variabel bebas itu seringkali mempengaruhi satu sama lain.

    B. Aplikasi Ekonomi untuk Derivatif Lebih dari Satu Variable.

    1. Biaya Marginal

    Jika fungsi biaya untuk menghasilkan dua produk x dan y adalah : C=f(Qx,Qy), maka

    derivatif parsial dari C terhadap Qx dan Qy disebut sebagai fungsi biaya marginal; jadi :

    xQ

    C

    adalah biaya marginal dari C terhadap Qx

    yQ

    C

    adalah biaya marginal dari C terhadap Qy

    Umumnya biaya marginal adalah positif

    ( 0

    xQ

    C dan 0

    yQ

    C)

    Contoh:

    Jika biaya gabungan untuk menghasilkan produk X dan Y berbentuk 22 4325 yyxx QQQQC , maka :

    yx

    x

    QQQ

    C

    6

    yx

    y

    QQQ

    C8

  • Seandainya Qx=2 dan Qy = 5, maka 17

    xQ

    C dan 42

    yQ

    C;

    17

    xQ

    C artinya, dengan nilai Qy dianggap konstan yaitu 5. Maka setiap tambahan satu

    unit produksi Qx akan meningkatkan (menambah) biaya sebesar 17.

    42

    yQ

    C, artinya..?

    2. Permintaan Marginal dan Elastisitas Permintaan Parsial

    Jika dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya maka permintaan

    akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang

    tersebut.

    Qda = f(Pa,Pb) dan

    Qdb = f(Pa,Pb)

    Derivatif parsial dari fungsi tersebut dinamakan permintaan marginal. Derivatif dari

    fungsi-fungsi tersebut ada 4 macam.

    a

    da

    P

    Q

    adalah marginal permintaan akan barang A berkenaan dengan

    aP

    b

    da

    P

    Q

    adalah marginal permintaan akan barang A berkenaan dengan

    bP

    a

    db

    P

    Q

    adalah marginal permintaan akan barang B berkenaan dengan

    aP

    b

    db

    P

    Q

    adalah marginal permintaan akan barang B berkenaan dengan

    bP

    Elastisitas Permintaan Parsial

    Elastisitas harga permintaan : Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan

    permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang itu sendiri

    da

    a

    a

    da

    a

    da

    a

    da

    daQ

    P

    P

    Q

    EP

    EQ

    P

    Q*

    %

    %

    db

    b

    b

    db

    b

    db

    b

    db

    dbQ

    P

    P

    Q

    EP

    EQ

    P

    Q*

    %

    %

    Elastisitas Silang permintaan: Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan

    permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang lain.

    da

    b

    b

    da

    b

    da

    b

    da

    abQ

    P

    P

    Q

    EP

    EQ

    P

    Q*

    %

    %

  • db

    a

    a

    db

    a

    db

    a

    db

    baQ

    P

    P

    Q

    EP

    EQ

    P

    Q*

    %

    %

    Jika 00 baab dan A dan B saling melengkapi (komplementer), artinya jika

    harga salah satu barang turun, akan mengakibatkan kenaikan permintaan terhadap

    keduanya.

    Jika 00 baab dan A dan B kompetitif (substitutif), artinya jika harga salah satu

    barang turun, akan mengakibatkan kenaikan permintaan terhadap barang tersebut dan

    penurunan permintaan atas barang lainnya

    Contoh 1:

    Fungsi permintaan akan barang A dan B masing-masing adalah sebagai berikut:

    A: 0132 bada PPQ

    B: 013 badb PPQ

    Tentukan elastisitas masing-masing barang dan hubungannya.

    Jawab.

    0132 bada PPQ 013 badb PPQ

    32

    32

    1

    baba

    da PPPP

    Q 133

    1

    baba

    db PPPP

    Q

    332

    ba

    a

    da PPP

    Q

    23

    ba

    b

    db PPP

    Q

    423

    ba

    b

    da PPP

    Q

    143

    ba

    a

    da PPP

    Q

    Maka:

    32

    332*

    ba

    a

    ba

    da

    a

    a

    da

    daPP

    PPP

    Q

    P

    P

    Q =-2

    1*13

    23

    ba

    b

    ba

    db

    b

    b

    db

    dbPP

    PPP

    Q

    P

    P

    Q

    33*32

    42

    ba

    b

    ba

    da

    b

    b

    da

    abPP

    PPP

    Q

    P

    P

    Q

  • 33*13

    14

    ba

    a

    ba

    db

    a

    a

    db

    baPP

    PPP

    Q

    P

    P

    Q

    1|| da Barang A adalah elastis

    1|| db Barang B adalah unitary elastis

    0ab dan 0ba Barang A dan B bersifat komplementer.

    Contoh 2:

    Fungsi permintaan dari 2 macam produk adalah:

    yxx PPQ 217

    yxy PPQ 214

    Maka fungsi permintaan marjinalnya adalah:

    02

    x

    x

    P

    Q

    01

    y

    x

    P

    Q

    01

    x

    y

    P

    Q

    02

    y

    y

    P

    Q

    Karena 0

    x

    y

    P

    Q dan 0

    y

    x

    P

    Q, maka kedua produk bersifat komplementer.

    3. Produktivitas Marginal (MP)

    Produk marjinal adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor

    produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marginal rnerupakan derivatif

    pertarna dari fungsi produk total. Beberapa faktor produksi untuk memproduksi barang

    Antara lain misalnya tanah, bahan baku, modal, mesin-mesin, dan sebagainya.

    ),....,,( 21 nxxxfP , dimana :

    P =Jumlah keluaran

    ix = masukan yang digunakan (i = 1,2,,n)

    Jika ada dua macam masukan variabel (k dan l), maka fungsi produksinya : P=f(k,l)

  • Produk Marjinal Parsial :

    k

    P

    = Produk marjinal berkaitan dengan k

    l

    P

    = Produk marjinal berkaitan dengan l

    Contoh.

    Fungsi Produksi suatu barang dinyatakan dengan 3/13/26 lkP

    a>. Bentuklah fungsi produksi marjinal untuk masing-masing faktor produksi b>. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 8 unit k dan 27 unit l

    Jawab.

    a.> 3/13/14 lk

    k

    PMPk

    3/23/22

    lk

    l

    PMPl

    b.> Jika k=8 dan l=27, maka

    68

    )27(443/1

    3/1

    3/1

    3/1

    k

    lMPk

    9

    88.23/2

    3/2

    l

    MPl

    4. Utilitas Marginal Parsial & Keseimbangan Konsumsi

    Jika U = kepuasan konsumsi

    xi = Barang-barang yang diproduksi

    maka fungsi utilitas : u =f(x1,x2,,xn)

    untuk 2 macam barang konsumsi : u=f(x,y)

    x

    u

    = utilitas marjinal berkenaan dengan x

    y

    u

    = utilitas marjinal berkenaan dengan y

    Contoh:

    Kepuasan konsumsi untuk 2 barang yang dikonsumsi x dan y : 32 yxu

    a> Bentuklah fungsi utilitas marginal untuk masing-masing barang

    b> Berapa utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y

    Jawab.

    a> 32 yxu

    Marjinal Utilitas terhadap x = 32xy

    x

    UMU x

  • Marjinal Utilitas terhadap y = 223 yx

    y

    UMU y

    b> Jika x=14 dan y=13, maka

    61.516131422 33 xyMU x

    372.99131433 2222 yxMU y

    Latihan:

    1. Diketahui pasangan fungsi permintaan berikut. Tentukan fungsi permintaan marjinal,

    sifat hubungan diantara kedua barang dan elastisitas permintaan parsial.

    a. bada PPQ 220 dan badb PPQ 29

    b. yx

    y

    dxPP

    PQ

    2 dan

    2

    2

    yx

    x

    dyPP

    PQ

    2. Untuk setiap fungsi produksi Q=f(K,L) berikut ini, carilah produktivitas marjinal

    terhadap k dan l

    a. 22 225 LKKLQ pada K=1 dan L=1

    b. 2/1

    5.04.003.0 3 LKLKQ pada K=8 dan L=4

Recommended

View more >