DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE VIGAS DE SEÇÃO T

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    07-Jul-2015

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<p>DIMENSIONAMENTO TIMO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO COM SEO T Ana Beatriz C. e Silva, Gines A. S. Falcn, Sergio L. G. GarciaUniversidade Estadual do Norte Fluminense, Laboratrio de Engenharia Civil, Avenida Alberto Lamego, 2000 Parque Califrnia, CEP: 28013-602, Fax: +55 22 27397047, Campos dos Goytacazes, RJ, Brasil abeatrizcs@gmail.com gines@uenf.br liluiser@uenf.br Palavras chave: Otimizao estrutural, Concreto armado, Vigas reforadas. Resumo.Umtemadefundamentalimportnciaparaaindstriadaconstruocivila reduodecustosnaobra.Assim,autilizaodetcnicasdeprojetotimodeestruturas estsetornandocadavezmaisfreqente,principalmentenodimensionamentotimode vigas e pilares de concreto armado utilizados em edificaes modernas. Neste contexto, este artigoapresentaumametodologiaparadimensionamentotimodevigasdeconcreto armadocomseoT,submetidasflexosimples.Nomodelodeotimizaoproposto, objetiva-sereduziraomnimopossvelocustodefabricaodaviga.Combaseno comportamentomecnicodaviga,buscam-seconfiguraesqueaproveitemcommxima eficincia as caractersticas do ao e do concreto, ou seja, o modelo gera solues prximas aolimiteentreosdomnios3e4ondeoconcretoestemiminenterupturaeoao encontra-seemescoamento.AsdimensesprincipaisdaseotransversaldavigaTeas reasdasarmadurasnaszonasdetraoedecompressosoconsideradasvariveisde projeto,comlimiteslateraisadotadossegundocritriosarquitetnicosenormasusuais.As restriesdeprojetoconsideradasverificamofuncionamentodaviganodomniomais eficientepormeiodaposiodalinhaneutra,almdeoutrasrestriesmecnicase geomtricas.Adicionalmente,foidesenvolvidaumametodologiaiterativaparaanliseda vigaque,combasenoestadolimiteltimodaseocrtica,possibilitaadeterminaoda posiodalinhaneutraedomomentoresistente,deformaautomticaparaqualquer configurao corrente da seo. O problema de otimizao foi implementado utilizando-se o mtododeProgramaoQuadrticaSeqencial.Apartirdeumdadomomentofletor solicitante, os cdigos computacionais implementados permitem o dimensionamento timo da seo. Os resultados obtidos mostram que os custos de fabricao das vigas so bastante competitivos em relao aos projetos usuais. Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 9217-9230 (artculo completo)Eduardo Dvorkin, Marcela Goldschmit, Mario Storti (Eds.)Buenos Aires, Argentina, 15-18 Noviembre 2010Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar1INTRODUO Atualmente,aindstriadaconstruocivilvemsedesenvolvendo aceleradamente.Comrelativafreqnciasodivulgadasnovidadesno desenvolvimentodenovasmetodologiasrelacionadasaodimensionamentoe projeto estrutural, bem como novas tcnicas construtivas. Areduodocustodefabricaodecadaumdoselementosestruturaisde uma construo em concreto armado traz uma economia significativa no custo final da obra. Alm disso, a produo em grande escala de elementos pr-moldados de grandeinteresseparaomercadodaconstruocivil,umavezqueestapode disponibilizar produtos de qualidade superior e de menor custo.Oselementosestruturaisemconcretoarmadoapresentamum comportamento no-linear devido associao do comportamento mecnico do ao edoconcreto.Enquantooconcretoresistebemcompressoedeficientena trao,oaocomplementaoconcretodemodoideal,porpossuirumaboa resistnciatantotraocomotambmcompresso,comoilustradonaFig.1, ondefydatensodeescoamentodoao,fcdaresistnciacompressodo concreto(valordeclculo), cc adeformaodoconcretoe sc ,adeformaodo ao. Figura 1: Diagramas tenso-deformao do ao e do concreto. No projeto de vigas em concreto armado submetidas flexo simples, diversas configuraessopossveis.Noentanto,existeumaondeosdoismateriaisso aproveitados ao mximo o ao escoa e o concreto chega a sua iminente ruptura. A estaconfiguraod-seonomedesoluotima.Portanto,aidentificaodesta configurao tima assunto de grande relevncia na Engenharia Civil.Almdisso,vigascomseoTsoelementoscadavezmaisutilizadosem estruturas como lajes macias e nervuradas, galpes industriais, vigas de pontes etc. Naconstruocivil,emgeral,avigamoldadamonoliticamentecomalajee, portanto,aseodavigaconstitui,narealidade,umaseoTaoinvsdeuma simplesseoretangular.Poroutrolado,aseoTpodeserconsideradamais A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA 9218Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.areficiente que a seo retangular, devido ao fato de que a seo T reduz a quantidade de concreto na zona tracionada da viga, onde este ineficiente. Nosltimosanos,diversosestudosreferentesotimizaodepeas estruturais de concreto armado foram publicados: CHAKRABARTY (1992), ZIELINSKI et al.(1995),RATHetal.(1999).Noentanto,amaioriadelesdestinadaavigascom sees retangulares e raramente se dedicam a vigas de seo T, como em FERREIRA etal.(2003),queapresentaramummodeloparamaximizaodomomentofletor, utilizando como varivel de projeto a razo entre a rea de ao comprimido e a rea de ao tracionado.OsmtodosclssicosdeotimizaobaseadosemProgramaoMatemtica partemdeumaconfiguraoiniciale,iterativamente,estasoluomelhorada. Atravs desta tcnica, calculada uma direo de busca e o quanto se deve andar nestadireoenecessriooclculodosgradientesdasfunesquecompemo modelo de otimizao.Umacaractersticaimportantedestastcnicasqueelasconvergem rapidamenteparaasoluotima,porm,comadesvantagemdenogarantirem umasoluoglobaldoproblemamultimodal,ouseja,quandoacurvapossuivrios extremos. Nestecontexto,esteartigopropeaimplementaodeumametodologia paraprojetotimodevigasdeconcretoarmadocomseoT,submetidasflexo simplesutilizando-seoalgoritmodeProgramaoQuadrticaSeqencial,coma finalidade de minimizar o custo total de fabricao. Noproblemadevigasdeconcretoarmadosubmetidasflexosimples,o dimensionamentoqueapresentaresultadosmaiseconmicosaquelecujaposio dalinhaneutraseencontraprximafronteiradosdomnios3e4dedeformao, ou seja, quando o concreto est na iminncia da ruptura e o ao est em escoamento gerando,portanto,umarupturacomavisoprvioapartirdedeslocamentose fissuraes visveis. Assim,nestetrabalho,odimensionamentotimorealizadoexigindo-se, atravsdeumarestriodeprojeto,queaposiodalinhaneutraseencontre prxima a esta fronteira, considerando que este seja o comportamento mecnico que leva configurao tima do problema.Comosesabe,paraomesmomomentofletoratuante,assoluescom armaduraduplarequeremumamaiorreatotaldeaodoqueassoluescom armaduras simples. Assim, espera-se, neste trabalho, que a soluo de custo mnimo paraoestadodeformacionalltimosejaobtidacomarmaduramnimadeao comprimido. Almdisso,acadaiteraofeitaumaanliseestruturaldavigaapartirde valoresdasvariveisdeprojetocorrentesafimdeobterrespostasmecnicas atuantesnaviga,comovaloresdastensesnasarmadurasdetraoede compresso, posio da linha neutra e momento resistente ltimo da seo.Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 9217-9230 (2010) 9219Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar2 CARACTERSTICAS GEOMTRICAS DA SEO T A geometria da seo T da estrutura em concreto armado mostrada na Fig. 2: Figura 2: Geometria da seo T.Sendo hfa altura da mesa, bfa largura da mesa, bw a largura da nervura, d a alturatil,aadistnciadocentrodegravidadedaarmaduraatabordamais tracionada, As a rea da armadura de trao e As a rea da armadura de compresso. 3 MODELAGEM DO PROBLEMA DE OTIMIZAO De maneira geral, o processo de otimizao de estruturas segue iterativamente o esquema mostrado na Fig. 3. Figura 3: Esquema geral de otimizao estrutural. Nesteesquema,considera-seque,apartirdeumaconfiguraoinicial(Xk), obtm-se uma configurao melhorada (Xk+1) por meio de um processo iterativo que integra dois mdulos de clculo importantes. No mdulo de anlise estrutural, a cada A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA 9220Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ariterao so calculadas as respostas mecnicas atuantes na estrutura.Enquanto que, nomdulootimizadorsodefinidasnovasconfiguraesquereduzemovalordo objetivo e que, na soluo, verificam todas as restries impostas ao modelo. Utilizandotcnicasdeprogramaomatemticaasoluodoproblema consiste,basicamente,emidentificaraconfiguraoquesejaomximooumnimo da funo objetivo e que satisfaa todas as restries do projeto, como segue minimizar( ) x f sujeito a ( ) ; 0 s x gim i ,..., 1 =(1) ( ) ; 0 = x hj p j ,..., 1 =</p> <p>b bu x l s sOnde( ) x f ,( ) x g e( ) x h sofunesdiferenciveisnonecessariamente linearesemep soosnmerosderestriesdedesigualdadeedeigualdade, respectivamente. Neste algoritmo baseado no Mtodo de Programao Quadrtica Seqencial, a funo objetivo ( ) x f substituda por uma aproximao quadrtica e as restries ( ) x g e( ) x h sosubstitudasporaproximaeslineares,TELESeGOMES(2010).A atualizao da matriz Hessiana aproximada pelo mtodo BFGS e os gradientes das funes so obtidos atravs do mtodo aproximado das diferenas finitas.Emparticular,nesteartigoapresentadaaformulaoparaoproblemade minimizaodocustodefabricaodevigasdeconcretoarmadodeseo transversalTconsiderandoumavigaisostticasimplesmenteapoiadacom carregamento homogneo distribudo, ou seja, o momento fletor positivo ao longo da viga.Asvariveisdeprojetonoprocessodeotimizaosod,As,As,bfehf.A funo objetivo o custo de fabricao da viga, onde so considerados os custos das armaduras,concretoeformas.Assim,nafunoobjetivoapresentadanaEq.(2), considerado o custo por unidade de comprimento: ( ) ( ) ( ) | | { } ( ) ( ) | |f f s s s c f w f fC b a d C A A C h a d b h b x f + + + + + + + = 2 ) ('(2) Onde:Ccocustodoconcretoporunidadedevolume,Csocustodoao por unidade de volume e Cf o custo da forma por unidade de rea. 3.1 Anlise estrutural da viga Nesta etapa realizado o processo de verificao da seo transversal, ou seja, efetuadooclculodomomentoresistenteltimoapartirdosdiversoscasos ilustradosnaFig.4.Apartirdesteprocesso,possvelcalcularaposiodalinha neutra ( x ) e as tenses nas armaduras de trao e de compresso da viga. Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 9217-9230 (2010) 9221Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar Figura 4: Diversos casos considerados na anlise da seo transversal da viga. Nos casos I, III e V, a seo se comporta como seo retangular de largura bf, isto,aposiodalinhaneutraselocalizanamesa.JnoscasosII,IVeVI,alinha neutra passa pela nervura: a seo se comporta como T verdadeira.Os casos I e II, correspondem s sees que esto no domnio 2; os casos III e IV correspondem ao domnio 3 e os casos V e VI, ao domnio 4.Odomnio2correspondedeformaoporalongamentodoaode1%ea deformaoporcompressodoconcretovariaentre0e0,35%.Nodomnio3,a deformao do concreto de 0,35% e a deformao do ao varia entre a deformao deescoamento ydc e1%,ouseja,oconcretoencontra-senarupturaeoao,em escoamento a este tipo de seo, d-se o nome de seo subarmada. No domnio 4 o concreto tambm atinge a ruptura (0,35%) e a deformao do ao varia entre 0 e a deformaodeescoamento ydc .Conseqentemente,oaomalaproveitado,ea seo, superarmada. A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA 9222Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.ar3.1.1 Clculo das deformaes das armaduras Combasenoestadolimiteltimo,paracadadomniohumaequaode compatibilidadeparaasdeformaesdosaosdecompressoedetrao,como segue: a)Domnio 2:d x 259 , 0 sNestedomnio,oaotracionadopossuiumadeformao% 1 =sc ea deformao do ao comprimido pode ser calculada por: ( )x da xs =01 , 0' c(3) b)Domnio 3: sydEfx d+s s0035 , 00035 , 0259 , 0 Neste domnio, o ao tracionado tambm possui uma deformao% 1 =sce a deformao do ao comprimido pode ser calculada por: ( )xa xs=0035 , 0' c(4) c)Domnio 4: sydEfx+&gt;0035 , 00035 , 0 No domnio 4, a deformao do ao tracionado pode ser calculada por: ( )xx ds=0035 , 0c (5) A deformao do ao comprimido pode ser calculada pela Eq. (4). 3.1.2 Seo retangular de largura bf e seo T verdadeira Oclculodasequaesdeequilbrioparaaseodavigacom comportamento retangular de largura bf foi baseado na Fig. 5. Figura 5: Diagrama de tenses da seo transversal da viga com comportamento retangular de largura bf.Mecnica Computacional Vol XXIX, pgs. 9217-9230 (2010) 9223Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.arNeste caso, as equaes de equilbrio de foras e momentos so dadas a seguir:s s f cd s s xA x b f A F o o = + = E 68 , 0 0' ' (6) ) 4 , 0 ( 68 , 0 ) ( 0' 'x d x b f a d A M Mf cd s s u + = = E o(7) Paraoclculodasequaesdeequilbriodaseodavigaquesecomporta como T verdadeira, a seo foi dividida em trs partes, como ilustra a Fig. 6. Figura 6: Diagrama de tenses da seo transversal da viga com seo T verdadeira, sendo 3 2 1 s s s sA A A A + + =e 3 2 1 u u u uM M M M + + = .Neste caso, as equaes de equilbrio de foras e momentos so dadas por: ( )||.|</p> <p>\| = = E285 , 0 0111fw f f cd u Ahd b b h f M Ms(8) ||.|</p> <p>\| = = E201 11 fs s u Fhd A M Mco (9) s s s s xA A F o o2' ' 20 = = E (10) s s w cd xA x b f F o3368 , 0 0 = = E (11) 3.1.3 Particularidade no clculo da posio da linha neutra Nocasoondeaseoestnodomnio4esecomportacomoretangularde largurabf,utilizadaaequaodeequilbriodeforasEq.(6),aplicandoaleide Hooke (s s sE c o = ): s s s f cd s sE A x b f A c o = + 68 , 0' ' (12) Sendo a deformao do ao tracionado scpara o caso de domnio 4, a partir das equaes de compatibilidade, dada pela Eq.(5). A. E SILVA, G. FALCON, S. GARCIA 9224Copyright 2010 Asociacin Argentina de Mecnica Computacional http://www.amcaonline.org.arAssim,aequaoparaoclculodaposiodalinhaneutraparaocasode seo com comportamento retangular de largura bf a equao de segundo grau: ( ) 0 0035 , 0 0035 , 0 68 , 0' ' 2= + + d E A x E A A x f bs s s s s s cd fo(13) No caso onde a seo est no domnio 4 e se comporta como T verdadeira, utilizada a equao de equilbrio de foras Eq.(11), fazendo s s sE c o = :s s s w cdE A x b f c368 , 0 =(14) Sendo, para o caso de domnio 4, scdada pela Eq.(5). Assim,aequaoparaoclculodaposiodalinhaneutraparaocasode seo de comportamento T verdadeira a equao de segundo grau: 0 0035 , 0 0035 , 0 68 , 03 32= + d E A x E A x f bs s s s cd w(15) 3.1.4 Clculo do momento resistente da viga Nestetrabalho,prope-seocalculoiterativodastensesatuantesnaviga. Segundo RIOS (2004), como aproximao inicial das tenses atuantes nas armaduras detraoedecompresso,podemseradotadososvaloresdetensode escoamento correspondentes e, posteriormente, determina-se o valor da posio da linhaneutraeasdeformaesnasarmaduras.Emseguida,considerandoosvalores anteriormentecalculados,osvaloresdastensesatuantespodemsercorrigidos, aplicando-sealeideHookeparadeformaesmenoresqueadeformaode escoamento;enquantoque,paradeformaesmaioresqueesta,assume-sequeo aoescoa(atensopassaaserigualtensodeescoamentofyd).Esteprocesso repetido at que as tenses calculadas sejam muito prximas das tenses calculadas na iterao anterior, chegando, assim, ao valor real das tenses nas armaduras. Finalmente,apartirdosvalorescalculadosdaposiodalinhaneutraedas tenses nas armaduras de trao e de compresso, calculado o momento resistente ltimodaseodavigautilizando-seaEq.(16)paraocasodeseoretangularde largura bf e a Eq. (17) para o caso de seo T verdadeira. ( ) ( ) x d x b f a d A Mf cd s s u4 , 0 68 , 0' ' + = o(16) ( ) ( ) ( ) x d x b f a d Ahd b b h f Mw cd s sfw f f...</p>