Dinamika Mit

  • Published on
    09-Jul-2016

  • View
    15

  • Download
    5

Embed Size (px)

DESCRIPTION

dinamika mit predavanja skripta

Transcript

  • Page of 1 43dinamika 24

    mozemo da modelujemo konstrukciju svaku kao, analiza vibriranja jedan mod at a time, konceptualno shvatanje matematike, modalna analizasuma kontribucije svakok svojstvenog moda

    finite system moze da se primeni na kontinualni

    modal expansion theorem

    sve vektore pozicije x predstavimo kao superpoziciju svake kontribucije moda sa time dependant behavior g(t) , to su svojstvene kordinate, natural kooordinates, amplituda koliko u tom modu donosi iksu

    n dof, n natural modessistem vibriria predpostavka

    u je mod shape vektor, broj za koji modx su generalizovane kordinate,

  • Page of 2 43

    mode shape vektors su konstante, brojevi

    mode shapes imaju jedan pun sin wave, sin n p x/l, za kanap, lastis, l duzina kanapa n broj moda

    ako pogodimo pocetne uslove za 2 vibrirace samo u 2

    i u nasu genralnu jednacinu kretanja,ubacimo ovo gorei mnozimo sa transponovanom matricom u, pre multiply

  • Page of 3 43sta se sad matematicki dogadja

    to mnozenje sa transponovanom nam matematicki daje dijagonalnu matricu Mi

    za dampinogavanje to vazi samo za idealno dampingovanje, inace i krutost tako kad opicimo dobijamo dijagonalnu matricu Ki

    matrica je singularna ako je determinata jednaka nuli, kvadratne matrice, i ona se ne moze invertovatiadjungovanu delimo sa determinantom, adjungovanje je transponovanje kofaktor matricea kofaktor kad clan zamenimo njegovim minorom, determinantom od ne precrtanih vrsta i kolona

    svaka sad kombinacija pocetnih uslova ce moci biti opisana modalnom superpozicijom

    mod sejpovi su ortogonalni jedan na drugi, pa dobijamo diajgonalne

    n independant sdof systems, resavamo jedan po jedani matematicki to je jednacina kao za sdof system oscilator

    ako samo udarimo sipku, na nju vise ne deluje external force, pa je odgovor na inicijelne uslove

    svodimo na sdof

    imas first bending mode, vertikalna konzola levo desnofirst torzional mode

    stao na 30 minutavratio se na 20

  • Page of 4 43mode shapes are ortogonal to each other

    ako pomnoziomo dve sinusne funkcije razlicitih perioda, i onda integralimo tu funkcju, dobijamo nulu

    free vibration je odgovor na inicijalne uslove

    mozemo n dof sisteme da modelujemo sa jedan ili 2 sdof sistem oscilators

    kada merimo od static ekvilibrijum ne zezamo se sa gravitacijom

    c dolzi id trenja mase o sipku pa smo tako zasebno diskretizovali dampere

  • Page of 5 43

    kod linearnih sistema matrice krutosti simetricne

  • Page of 6 43

    resenje ovog gore za determinatu jednaku nuli, dobili smo svojstvene frekvencije pa se vracamo na mod shape vektore

    mod 1 u1, prva masa se pomeri 1, druga 2.2667 puta tolikko, odnos

    ovo nam je modalna analiza

    ovi m1 kroz k1 mora da bude wn1, onda je dobro

  • Page of 7 43

    ovo su sad dve jednacine za modalnu analizu, zasebne

    trebaju nam inicijalni uslovi, kako dobiti inicijalni uslovi za pocetne uslove

    za modalnu analizuproblem samo kada su opcetni uslovi bas jednaki ovom mod paternu sta gde kolko ide, onda je nula desna strana

  • Page of 8 43

    znamo da za sdof je ovo resenje

    ubacimo sve to za mod 1 vrednosti

    fali sin wd1t kod 2 jednacine kao u prvoj

    kriva je v0 ordinata je x0to je odgovor na inicijalne uslove, aproximatley x0 ta inicijalna vrednost na ordinati, v0 inicajlna slope, ali se malo siftuje zbog zeta wn x0, mada mozemo uzeti samo v0

    fali jos aproksimacija za 0, ovo dijagonaljenej ne moze uvek za damping

    za malo dampingovane moze, nije ortogonalno ovo uveka za malo dampingovane mozemo da ignorisemo to sto nije nulapa ona modalna jednacina preko toga ce malo zavisiti i nece biti nezavisna

  • Page of 9 43

    rajlijevo dampingovanje

    alfa i beta parametrinjima manipulisemo dva free parametranjima manipulisemda dobijemo izmereno dampingovanje

    targetujemo a i beta da izucemo ortogdampinga

    sad sa ovom predpostavkom po beta bicemo uslovljeni za damping u 2 tonukad stavimo alfa i beta, mozicemo da aproksimiramo dobar damping za oba tona njihovom manipulacijom, ako 3dof onda sa a i b zakucavamo neku uslovljenu damping za 3 ton

    sa rajlijem i deo dampinga za modalnu analizu postaje ortogonalan

  • Page of 10 43

    mode shapes for mode n, za ndof

    ratio for amplitudes

    a ovako je ok da ga normalizujemo

    ako se 1 pomeri za 12 ce se pomeriti za polovinu u suprotnom p

    ako se generalizovana kordinatapomeri za 1, generalizovana 2 ce se pomeriti za 1/2u supr pravcu

    ratio je cons u modu

    odnos generalizovanih koordinata je const, shape je const

    dao 11 vezbu, za pendulum, imali smo tu sinus i ne mozemo da ga izbacimo kao vamo g, pa jednacine nisu linearne, ali smo ih linearizovali i predpostavili male uglove, mala pomeranja

    linearne matrice krutosti su uvek simetricne

  • Page of 11 43

    svojstvena frekvencija je svojstvena vrednost sistemne matrice

    odnosno wi na kvadrat je lamda i

    kvadrat svojsvene frekvencije je svojstvena vrednost matrice sistema

    svojstveni vektori su xi, to su svojstveni modovi

    karakteristicna jednacina je kada je determinanta matrice sistema jednaka nulinjjom nsdjrmo svojstverne frekvencije, odnosno eigen values, pa njima nadjemo eigen vectorsdole dodatak na ovo

  • Page of 12 43

    pa se vratis na ovo kad si nasao lamda, i sa lamda zamenis m-1k, i resis sistemodnosno vratis se u matricu sistema sa w1 za u1, pa w2 za u2, dobijas ratio form preko matrice sistemato je sa ove gornje sile jednacina, to je predpostavljeno resenje

    ovo lrvo jr ptrdpostavljeno resenje

    pokazao na 11 sniuimuku, biting, kad jedna radi pa stane pa opet radi, kao superpozicija dva tona, kada su blizu dve frekvencije

  • Page of 13 43In linear algebra, an eigenvector or characteristic vector of a square matrix is a vector that does not change its direction under the associated linear transformation. In other wordsif v is a vector that is not zero, then it is an eigenvector of a square matrix A if Av is a scalar multiple of v. This condition could be written as the equationako matrica strecuje vektor, vektor je svojstveni vektor, a taj strecin faktor je skalar i svojstvena vrednost

    kada ubacimo lamda u a i determinanta toga kad je nula

    ZNACI KADA U MATRICU SISTEMA UBACIMO LAMDA KADA JE DETERMINANTA TOGA JEDNAKA NULI TO JE KARAKTERISTICNA JEDNACINAi onda ubacimo karakteristicni vektor, predpostavimo resenje i resavamoznaci ne ubacujes lamda x, nego prepostavis x, i u to resenje ubacis lamdai radis resenje za kar vektor

    ppa za w1 nadjes u1 u2pa za w2 nadjes u1 u2

    modal expansion theoremodredimo sejp vektore

    i teorema kaze da mode sejpovi formiraju complete independant set of vectors that are ortogonal to each other, suma moze da predstavlja evry posible motion of system

    u zavisnosti od pocetnih uslova i mod sejpa krece oscilovanje

    dobije pocetne uslove za tacno srazmerno za 1 sejp

    transfer samo kod linearnih

    stedy state dynamic, w output jednake w input, za linearne sistemeako nije g u funkciji kordinata onda ga zanemarujemo

    ako samo smanjimo frekpreko mase, pasce ampl

    ako povecamo kmoze i da pada i da raste

    a samo sa porastom mase uticaj ce se smanjiti

    ako se frekvencija priblizava spoljasnjoj amplituda raste, ako se udaljava, amplituda opada, i onda se gleda uticaj preko krutosti, kada wn raste i ida dalje amplituda opada ali krutst raste pa uticaj rastei tu sa masom ustvari zavisi gde je wn, ako ce ga pribliziti w onda amplituda raste

  • Page of 14 4325 lekcija

    modalna analiza gleda sisteme sa n stepeni slobode i resava jedan po jedansvaki mod resava kao sdof

    sad da bi to znali za neku harmonisku silu, moramo da znamo damping

    dijagonalna je modalna masa

  • Page of 15 43

    ako je damping jedan, posle jedne oscilacije se zakuca, kritican damping

    ovo desno puta sin ovog u zagradi

    odgovor na inicijalne uslove

    sad smo uveli damping matricu pa mozemo da uvedemo force vibration

    tesko se fizicki pozicionirati u modalne kordinate

    auto ide vertikalno gore dole i klati seovo je prvi modtranslacija na gore i desni kraj se dizena dole isto

  • Page of 16 43produzis linije i gde je presek tu je modalna kordinata za mod 1

    za mod dva

    ovaj primer, ali generalno ne mozemo, tesko

    imamo damping krecemo na silu

    q je modalna sila

    h je transfer function, greska nije q2 nego q1

    transfer funkcija kao kod sdof

    desno je transfer funkcija

    u rezonanciji levo dole nula, desni izraz 2 x damping, izraz jednak q/2k damping

  • Page of 17 43

  • Page of 18 43

    ali mod 2 nece rezonovati

    stao na 53 minuta

    e sad kako ubaciti u x

    transfer funkcija, razlicite kolicine dampinga razliciti peak daju

    u rezonanciji na 1, isprekidana linijamod 1 u rezonancijisa modom dva levo, 0.3 w/w2za mod 2 u stifnes control regionponasa se kao oprugatu levo da static response za mod 2

  • Page of 19 43faze angle diagram za ovo, u rezonanciji predje na p/2

    kako da dodjemo do x1 x2

    ako stavimo excitation w kao 1 1 mod ce da dominira, ako stavimo na w2 drugi mod ce da dominira

    ako je ovde mod 1 1 hz, 2 je 2, 3 je 4.

    sve sa modalne za 2 sto smo naucili mozemo da primenimo na ndof

  • Page of 20 43

    kontualni sistemi imaju neke nepomerljive tacke u modovima, ako na nepomerljivu tacku u 2 modu delujemo sa w2 necemo imati mod 2

    zategnemo kao trugao na sredini, tu je objasnio neku vezu sa furijeovim redovima kako da opisemo trougao sinusnom funkcijomali pustimo taj trougao primarno ce os